Suppression d'un terme au dénominateur de la fonction
%ifférentielle. — On peut aussi négliger au dénominateur le terme
— 5^ sin^^. Pour le montrer nettement, il est nécessaire d'évaluer
approximativement l'erreur commise. Nous y parviendrons en
faisant une hypothèse sur la constitution de l'atmosphère.
Supposons la température constante. Nous allons montrer qu'alors
P = poe-'«^
où la valeur de m est à peu près égale à 8oo.
Soient, en effet, p la pression de la couche d'air de densité p, g l'accélération de la pesanteur en cette couche, p^^ p^, gf^ les valeurs de /?, p, ^ à la surface de la Terre. Entre ^ et ^o? o^ a la relation
La température étant constante, on a
P^ Po
Par l'hypothèse fondamentale, on a aussi
rf/? = — ^ p e/r = — ^0 ^ P û?r .
On en déduit
po P ""^ r
d'où, en intégrant et observant que p = po pour r = a,
(9) p = pocP« * ^'' ^=poe P' =poe-'»*.
Si l'on prend pour unité de longueur le mètre, pour unité
(le masse la masse du mètre cube d'air à o° sous la pression de Oj-jô, pour unité de volume le mètre cube, pour unité de densité, celle de Tair dans les conditions normales, la densité du mercure est io5i7,3. Donc, si, à la surface delà Terre, les conditions de température et de pression sont les conditions normales,
y?o=io5i7,3 X 0,76 xpo^g= 7993, ï47po^o et, par suite,
Comme a est environ
on voit que m diffère peu de
2o. Hauteur maximum de l'atmosphère. — La formule (9) montre que s est toujours une très petite quantité. Si l'on veut,
en effet, que — soit moindre qu'un nombre donné /i, il suffira de faire
* > — loff — •
Le logarithme népérien de loooo étant environ 9, la densité sera 10 000 fois moindre qu'à la surface si
A des hauteurs plus grandes, l'atmosphère n'exerce visiblement plus sur la réfraction d'influence appréciable.
26. Fin de la question posée au n** 25. — Si l'on néglige au dénominateur de la formule (8) le terme — ^^sin^^;, l'erreur relative commise sur un élément est
cos*>5 — 2a ( I — — ) -h2Jsin*«
\ Po/
Ce rapport augmente avec 5, puisque son dénominateur peut
3o DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE II
s'écrire
tfr— -j — (i — 25)sin2^
L'élément de Tinlégrale augmente aussi avec^; il suffit donc, pour avoir une limite de Terreur commise, de supposer z = 90°. La réfraction horizontale, si Ton emploie la formule (9), est
m(i — s)e-"^^ ds
et l'erreur commise, en négligeant le terme — s^ sin^Zy est P a r^ m{\ — s)e-'^^ i 5»
Dans ces formules, ^i désigne la valeur de 5 à la limite supérieure de l'atmosphère. Les numérateurs renfermant le facteur ^-ms q^ii devient insensible dès que s dépasse la valeur Si, on peut prendre les intégrales entre les limites 00 et o, sans erreur sensible.
Posons
Nous aurons
du
--- = i-h a /ne-"".
ds
La valeur de cLm étant environ 0,2, on a
u = \kSy
[X étant compris entre 0,8 et i. Pour nous rendre compte de la grandeur des intégrales R et E, nous regarderons (x comme une constante. Nous remplacerons aussi au numérateur i — s par i. Nous avons alors
Ko = -p=z I — — as,
E = -H!^ f e-'»* \/7 ds.
L'intégration par partie, en observant que e''^ ds est la difTé-
rentielle de e"^'"*, donne
„ a r* g-"" ds R
"" 8|JLv/ïlI(i~a) J^ v^ ""8^*
RÉFRACTION ATMOSPHÉRIQUE. 3l
Pour obtenir Rq, posons
ds idt
^ m nous aurons
v/m ^s yjm
Faisant
m = 800, |jL = o,9, a = o,ooo3,
on trouve approximativement
Ro = 2000', d'où
27. Développement de l'intégrale en série; termes à conserver. — On conservera donc celte formule, suffisante dans tous les cas,
^ asin-3 /*P' Cl — s^dp
(i-a)po
cos*-5 — 2a ( I — — ) -h 25 sin*;;
\ Po/
OÙ R désigne la valeur absolue de AO.
Tant que cos^^ est plus grand que issvcî^z^ ou z moindre que 80% on peut, en mettant cos^ en facteur au dénominateur, développer le radical par la formule du binôme.
On a alors
po(f-a)./„ L cos'-s '^ a " J '
^y^ L cos*2 cos*5 2 ° J "^
— -tang^
Po(» — a) Jq
Le terme conservé
est de beaucoup le plus grand terme du troisième ordre. L'intégration par partie donne
5«û?p = (p5*)P« — 2 / s^ds — — 7. I s^ds,
Le terme (i i) devient donc, au signe près,
sods.
po(r^a)'
Or, si Ton suppose la température de Tatmosphère constante,
p = poe-'"*.
L'expression (12) devient
tang»^ / e-"^^s ds = ~ tane*z.
I — a Jo I — a m»
Si la température va en diminuant, l'intégrale diminue, car l'abaissement de température a pour effet d'abaisser les molécules et, par suite, de diminuera.
Si l'on fait
on a
tang»>5 — 5867 et
— tang»;; =
ou en secondes : a'^.
Pour 3 = 75°, tangs^ = 724, et la valeur du terme s'abaisse à o",3.
On peut donc, pour des distances zénithales qui ne dépassent pas 76", prendre
que nous allons intégrer.
