Intégration. Formule définitive. — On a successivement

R = -♦7-^^^ — r tang<8 poH ^ (Po— - ) 7—^ — - i^îî|i / s dp

Po(i-a) "" L cos*^ V'^ -/J po(i-a) cosU ./^

a / a \ a tang-s T?' .

= tang^ ( I H — ) 7 f— / s dp

i—a ° \ 2C0S*z/ po(i — a) cos^s J^ ^

2COSÎ;5 J Poil — a) cos^ JS J ^

RÉFRACTION ATMOSPHERIQUE. 33

L^intégration par partie donne

^"•^ p dr

Jj\ dp = {ps)9; -Jp ds=-^ a£ ^-^f = a£

r^ désignant le rayon de la couche supérieure de l'atmosphère.

Soient ïïj le poids d'une colonne verticale d'air ayant pour base l'unité de surface et s'étendant de l'observateur à la limite de l'atmosphère, g l'accélération de la pesanteur au point de l'atmosphère dont la densité est pv^o cette accélération au point où se trouve l'observateur; on a successivement

d'où

=r'^p^''' £ = ï' .. = aVo^"e^^

Soient D la densité du mercure, h la hauteur barométrique observée

d'où

r'' dr DA

Par suite,

R = a tangz i -h -i^ ^ -. r — f

Nous avons, dans le dernier terme, négligé a au dénominateur;

les o,ooo3 du dernier terme sont absolument insensibles, car

DA /î V I

— = 0,001 , a = oo , — 7- = 200 au maximum.

apo ' ' ' cos-*^

29. Réfraction moyenne. Correction pour la température et la pression. — Il importe de mettre en nombres la formule ci-dessus.

On a

D = io5i7,3;

si la hauteur du baromètre est réduite à o",

- JL ' P^~ 0,76 i-t-mf'

m étant le coefficient de dilatation de Tair, d'où

— = ^55iil^(,-^mO, avec a = 6366198. apo a

Posons

k est environ 0,001 . On a aussi

a-«oPo-ao^^^g n-m^

Posant

on a

r 3 >t , /i AM R= «oÊTj tang^ n- -ao£T) h tang*^( -aoST) \y

On appelle réfraction moyenne la réfraction dans les conditions normales ^ = o^, A = 0,76 :

R„,= ao tang^ 14- -aj— A--^ tang'^f - a©— ^'j L

R On constate que — diffère de Rm, au plus d'une seconde pour

R;;, est une fonction de z que l'on a pu réduire en Table. Pour avoir R on multiplie R^ par le produit ev^. La Connaissance des Temps donne à cet effet des Tables calculées par Caillet ; seulement on y a pris pour réfraction moyenne la réfraction sous la pression 0,76, à la température de -+- 10**, qui est plus voisine que o** de la moyenne des températures auxquelles se font les observations astronomiques.

R;„ pour la hauteur de 44° est i'; à la hauteur de 26**, 2'; à la hauteur de 18°, 3'; à la hauteur de i3°^, 4'; à la hauteur de lo^^f, 5'; à la hauteur de 5°, 10'; à la hauteur de i**|, 20'; à la hauteur de o-, 33'48".

30. (Grandeur de l'influence de la réfraction sur les coordonnées équatoriales d'un astre ; sur la différence des coordonnées de deux astres. — Certains instruments d^ Astronomie donnent l'azimut et la distance zénithale de l'astre; les Tables déduites de la théorie

précédente permettent de corriger immédiatement de la réfraction les observations faites au moyen de tels instruments. D'autres sont appropriés à la mesure des angles horaires et des distances polaires, ou plutôt des différences entre les angles horaires et les distances polaires de l'astre que l'on étudie et d'un astre très voisin dont les coordonnées sont supposées connues. Nous allons établir les formules qui servent à corriger dans ces deux cas les observations.

Le triangle sphérique, qui ^ pour sommets le pôle, le zénith et l'étoile, permet d'exprimer l'angle horaire H et la distance polaire P en fonction de la latitude cp, de l'azimut A et de la distance zénithale z. En différentiant les formules où on regarde s, H et P comme variables, et remplaçant leurs différentielles par leurs variations, on aura des formules exactes à des termes près du second ordre. II importe de se rendre compte du degré de précision que ce procédé comporte.

Soit dz la réfraction en distance zénithale. Pour z = 85°,

dz = lo'. D'où dz^=: (io')^= ^T- = 2^' environ, ce qui n*est pas négligeable. Si l'on s'arrête à ^ = 80°, dz = 5', dz^= ^iV'. On

voit donc que si l'on avait réellement à calculer la réfraction en angle horaire et en distance polaire, les termes du second ordre ne seraient sûrement négligeables que pour des valeurs de z notablement inférieures à 80".

Mais on n'a à considérer que la différence entre les corrections relatives à deux astres très voisins.

Supposons que la différence de distance zénithale des deux astres soit de 20'. La variation de dz^ d'un astre à l'autre est 2 dzZdz,

Si ;î = 85**, dz = 10' et les Tables donnent 8rf.3 = 3i". Donc

idz^dz= x-r^ 3i'= ©".a.

Pour z = 80**, dz = 5', eiZdz = lo'',

idzhdzz= o',o3.

On peut donc en toute sécurité remplacer les accroissements finis parles différentielles.

31 . Correction de l'angle horaire et de la distance polaire d'un astre. — La réfraction amène l'astre de E en E'. Menons l'arc de grand cercle E'F perpendiculaire sur PE. La substitution précédente revient à faire

AP = FE, sinPAH = E'F

Fig. 8.

et à regarder le triangle E'FE comme rectiligne. On a donc

AP = cosEA^, AH = -.— ^ A^.

dz est négatif 5 sinE et sinP sont positifs; la réfraction rapproche l'astre du méridien; il s'ensuit que, tandis que la première formule s'applique à tous les cas, la seconde doit s'écrire

sinE

± AH = -T— 5 A«, sinP

en prenant le signe supérieur après le méridien, le signe inférieur

avant. On a

A^ = — a tangz,

a étant un coefficient fonction de z^ mais dont la variation est assez lente pour que, dans la question qui nous occupe, nous puissions le regarder comme constant en lui attribuant la valeur qui correspond à la moyenne des distances zénithales des deux astres.

Donc

.-. acosEsinz , »tt sinEsin^

AP = , ± AH = a -r-^fT ,

cos^ sinPcos^

en changeant les signes pour avoir des formules permettant de passer des positions observées aux positions vraies.

En remplaçant dans ces expressions cos^, sinzsinE, sin;;cosE par les valeurs que donne l'application des formules fondamen-

taies au triangle PZE, on a

^^ ^sinosinP — cosçcosPcosH

AP = a -T— i 5 ^ . p ir y

sm çp ces P -+- ces «p sm P ces H

=t AH = a -r

cos<p sinH

sinP(sincp cosP •+- cosç sinP ces H )

32. Correction de la différence d'angle horaire et de la différence de distance polaire de deux astres. — AP et AH sont les corrections qu'il faut apporter à des coordonnées P et H mesurées directement pour passer des coordonnées vues aux coordonnées vraies. Comme nous l'avons dit, on emploie, à l'ordinaire, les instruments équatoriaux à mesurer les différences d'ascension droite et de distance polaire entre l'astre que l'on étudie et une étoile voisine connue. Si 5P et ùJR, sont les différences mesurées (astre — •) en distance polaire et en ascension droite, il faut manifestement appliquer à ces différences la correction

8aP, 8 ah.

Or on a

Le calcul des quatre dérivées partielles est trop facile pour que nous nous y arrêtions. En posant

tangN = cotcpcosH, tangM = ~^,

^ cosHP-W)'

on trouve

c^AP

êcos(2P — N) sin«P '

cosN cos(P — M)

' cosMsinP

Nous ajouterons que, le plus souvent, l'observation est tellement conduite que les deux astres ont même angle horaire; alors il n'y a pas lieu de tenir compte des seconds termes de 8 AP et 0 AH.

33. Mesure des hauteurs au moyen du baromètre. — Nous plaçons naturellement dans ce Chapitre la mesure des différences d'altitude de deux stations voisines, au moyen du baromètre.

Soient, comme précédemment, p la densité de l'air, p sa force élastique, 8 sa température en un lieu donné

où a désigne le coefficient de dilatation de l'air o,oo366, et Aune constante dont la valeur numérique est égale à 7993, en supposant que les unités soient celles adoptées au n® 24, et que ^0 désigne l'accélération de la pesanteur au point où on a déterminé le nombre 7993, D'autre part,

g désignant l'accélération de la pesanteur à la distance r du centre de la Terre. Posons

go ('-o-^-'S)* Donc

dp ri dz

Pour intégrer cette équation, on regarde 8 comme constant, et on lui attribue une valeur moyenne entre les températures des deux points considérés.

D'autre part, si ^ = 0, /? = nj, ce qui détermine la constante d'intégration; l'intégration donne

logf ^or. .

'm Â"(i + a6)(roH- 2)

Soient h et h' les hauteurs du baromètre aux stations inférieure et supérieure, la dernière étant ramenée à la température T du baromètre à la station inférieure; soit m la densité du mercure à cette station

^ = mg^h, p = mgh'= ^^^^ • On en conclut

, A . r-^rz gofz

•h' ° r A'(^i-t-aO)(r-+-2)

REFRACTION ATMOSPHÉRIQUE. Sg

11 importe de remplacer les conslantes par leurs valeurs numériques. On a d'abord a = o,oo366. Pour tenir compte de ce que, quand la température augmente, la quantité de vapeur d'eau augmente aussi, on peut remplacer a par 0,004. D'autre part, go varie avec la latitude et, si G en est la valeur à Paris,

__ (1 — o,oo2588 cos2<p)G 1 — 0,002588 CCS 2 ço

«po étant la latitude de Paris 48**5o'I4'^ Pour remplacer le log népérien par un log vulgaire, on le multiplie par le module

Poisson prend A" = 7961,100, le nombre 7961,10 répondant à un état moyen d'humidité de l'air, d'où

M et on en conclut

(i — o,oo2588 cos2?o) = 18337, 46G,

i8337,46rn-^i^^ti^| ^ / -\1/

'= 1-0,002588^3% rgÂ^-^^^<^g(""^)J("^^)'

Si au deuxième membre on néglige - > que l'on augmente un

peu le coefficient 1 8337,46 et que l'on fasse (p = 45**, on obtient la formule ordinaire

La formule de Laplace, dont les coefficients ont été déterminés en s'aidant des observations, est

iî = i8336(i-f-o,oo2845 cos2(p)ri -+- ^~1 [(' -^ 7) '^^^ -4-^0,868589! .

4o DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE 111.