DES CARTES GÉOGRAPHIQUES

261 . Énoncé du problème général. — Étant données deux surfaces, on peut, d'une infinité de manières, faire correspondre les points de la seconde aux points de la première. Si tout point de la seconde correspond à un point de la première et à un seul, et que Ton ait le moyen de déterminer les points correspondants, on aura représenté sur la seconde surface les points de la première.

L'application de cette idée à la représentation du ciel étoile sur une sphère offre le cas le plus simple, celui où, sur deux sphères concentriques, on fait correspondre les points situés sur une même droite issue du centre. Dans ce cas et dans tous les cas où les deux surfaces sont homothétiques, la représentation conserve les angles, modifie les longueurs et les aires dans des rapports constants dont le second est le carré du premier.

L'usage des globes est aujourd'hui tombé en désuétude à cause des difficultés de maniement et d'exécution; on prend généralement pour la seconde surface un plan. Si la première est la surface de la Terre on a, dans le sens le plus général, une carte géographique.

Il est manifestement impossible, en général, de trouver un système de correspondance dans lequel les longueurs se conservent. Cette condition, si elle était réalisée, entraînerait l'égalité de toutes les figures infiniment petites correspondantes; ces deux surfaces seraient applicables l'une sur l'autre. Dans le cas des cartes géographiques, cette circonstance ne se présente pas. Il y a lieu de rechercher comment, dans un mode quelconque de correspondance, se modifient les longueurs, les angles, les aires, pour des éléments infiniment petits : cette recherche conduit au théorème général suivant dû à M. Tissot.

262. Loi de la déformatioii de Tissot. — Toute représentation (Tune surface sur une autre peut être remplacée par une infinité de projections orthogonales ramenées chacune à une échelle convenable.

Soient O et O' deux points correspondants. Supposons qu'à deux directions opposées issues de O correspondent en O' deux directions opposées et que, si une direction en O varie d'une manière continue, il en soit de même de la direction correspondante. A deux angles droits adjacents AOB, AOB, correspondent des angles supplémentaires A'O'B', A'O'B'^. Si AOB tourne, d'une manière continue, de trois quadrants jusqu'à coïncider avec AOBi , l'angle correspondant variera d'une manière continue de la valeur A'O'B' à la valeur A'O'B', . 11 y a une position dans laquelle cet angle est droit. Donc, il existe toujours au point O deux tangentes rectangulaires telles que les tangentes correspondantes en O' soient aussi rectangulaires.

Soient M un point de la première surface infiniment voisin du point O et M' le point correspondant. La limite du rapport do OM' à OM s'appelle rapport de longueur au point O suivant la direction OM.

Soient a et 6 les rapports de longueur suivant les deux directions rectangulaires OA, OB, auxquelles correspondent des directions rectangulaires O' A', O'B'; supposons a plus grand que b. Construisons un rectangle homothétique au rectangle O'A'M'B'

en prenant - pour rapport de similitude. Le côté O'A' deviendra

O'A" égal à OA et le côté O'B' devient 0'B% on aura

Le rectangle O'A'M'B' est donc homothétique à un rectangle que l'on peut obtenir en projetant le rectangle OAMB sur un plan

faisant, avec le sien, un angle ^ dont le cosinus soit-> et ce

cosinus ainsi que le rapport d'homothétie sont indépendants du point M. La proposition s'applique donc à toute figure infiniment petite autour du point O.

De plus, le lemme fondamental relatif à l'existence, en chaque

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point, d'angles droits correspondants, prouve que ron peut tracer sur la première surface deux familles de courbes ortliogonaleSy telles que les courbes correspondantes de l'autre surface soient aussi orthogonales,

Enlin, si l'angle <I> n'est pas nul et qu'un angle droit ROS en O ait pour correspondant en O' un angle droit R'O'S', dans le passage du premier au second par projection orthogonale, l'un des côtés OR, OS doit être parallèle à l'intersection des deux plans. Si donc a n'est pas égal à 6, il n'y a en O qu'un angle droit AOB auquel corresponde un angle droit A'O'B'. La condition a =: b peut être réalisée en des points particuliers; par exemple, dans une projection orthographique sur Téquateur, elle Test au pôle. Si elle l'est pour tout point de la première surface, le mode de correspondance adopté conserve les angles. Dans ce cas, il existe sur les deux surfaces une infinité de systèmes de trajectoires orthogonales correspondantes; dans tout autre cas, il n'en existe qu'un,

263. Ellipse indicatrice. — Si Ton connaît au point O de la première surface les tangentes principales^ c'est-à-dire les deux directions OA, OB auxquelles correspondent, sur la seconde des tangentes rectangulaires O'A', O'B', on obtient, comme il suit, la direction O'M' qui correspond à une direction quelconque OM.

Considérons un cercle de rayon infiniment petit ayant pour centre le point O, et soient OA, OB les rayons rectangulaires de ce cercle auxquels correspondent des droites rectangulaires O' A', O'B'. Soient a et 6 (a > 6) les rapports de longueur suivant OA et OB. On passe de l'élément infiniment petit en O à l'élément correspondant par une projection orthogonale en faisant coïncider OA avec O.V, plaçant les deux éléments de façon

que l'angle de leurs plans 1*, P' ait pour cosinus - et remplaçant

la figure ainsi obtenue par une figure homothélique pour laquelle le rapport de similitude soit a.

On peut renverser l'ordre des opérations : remplacer le cercle OAB {^Jig* 33) dont nous prendrons le rayon pour unité, par un cercle concentrique OA, B| de rayon a et projeter ce second cercle sur le plan V , La projection sera une ellipse de cenlre O, ayant

4iO DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE XIX.

pour demi-axes les longueurs OA et OB' dirigées suivant OA et OB, et égales respectivement à a et 6. A un point M du cercle O correspond le point M', ce qui permet d'étudier, de la façon la plus simple, les propriétés des points correspondants; notamment, la déformation des angles, des longueurs, des aires autour du point O. Cette ellipse a été appelée, par M. Tissot, indicatrice du système de projection.

Fig. 53.

On voit de suile qu'à deux directions rectangulaires quelconques correspondent deux diamètres conjugués de cette ellipse. A un angle infiniment petit de sommet O correspond un angle dont la grandeur varie avec la position du premier. A un angle aigu <p dont un côté coïncide avec OA, correspond un angle ©' moindre que ©, tel que

, b tang<p'= - tang«p,

relation d'où Ton tire la suivante

qui montre que l'altération de cet angle, nulle pour '^ = o, est nulle de nouveau pour © = -, et passe par un maximum to pour une valeur ^ de cp telle que