DI^S CARTES GEOGRAPHIQUES
ce qui donne
tang*=^'i
et
smoi = .-♦
L'altération de l'angle de deux rayons quelconques est la somme ou la différence des altérations des angles que forment ces rayons avec OA. Il s'ensuit que l'altération maximum est ato, et appartient à l'angle formé par deux directions symétriques par rapport à OA faisant, avec cette ligne, l'angle <^.
On voit aussi que, si l'angle de deux rayons se conserve dans la projection, ces rayons font avec OA d'un même côté des angles cpi et Q2 tels que
tangfpi tan^Oj
a -h 6 tang^^pi ~ a -h 6 tang*oj
ou
b cotcpj= - tangçi,
de sorte que ^2 est le complément de o\ et de même o^ de cp^.
On obtient le rapport de longueur r suivant la direction cp par les équations
r cos(p'= acos<p, r siii<p'= ft sîncp, r* = a' cos*ç H- b^ sin*<p.
Le maximum et le minimum de r sont a et b.
Si Ti et /•2 correspondent à deux directions rectangulaires de la première surface, les directions de r^ et de Tj étant celles de deux diamètres conjugués, on a, par les théorèmes d'Apollonius,
r} 4- r| = a' -h 6*, ririCOs6 = a6.
Si r^ et r2 correspondent à deux directions ©i et (pa dont l'angle se conserve dans la représentation, les relations
Ti coscp'i = a cos<pi, /•j siiKpj = b sinçpî,
si Ton tient compte de ce que
donnent
Ti sin«pj=: a cosçi,
/•jcosoi = b sincpî, /', /'j =: ab.
Le rapport suivant lequel est modifiée l'aire de l'élément infiniment petit en O est égal à aè, c'est-à-dire au rapport de l'aire de l'ellipse à l'aire du cercle.
264. Détermination de l'indioatrice en un point quelconque. — Supposons les deux surfaces rapportées à un même système d'axes de coordonnées rectangulaires ; soient généralement
les équations qui définissent les coordonnées de la première en fonction de deux paramètres a, p; les coordonnées x, y, z du point correspondant delà seconde s'exprimeront par des fonctions connues des mêmes paramètres
Ayant donné à a, p des valeurs déterminées ao, ^o auxquelles correspondent des points G(a:o7o^o)? C^x'^y^ZQ)^ on peut considérer, dans le plan tangent à la première surface, un cercle ayant le point G pour centre et un rayon infiniment petit. Un point de ce cercle Xq -+- dx, yo + dy, Zq -f- dz correspond à des valeurs ao -h rfa, [3o+ d[i de a et P, et l'on a
dx^ -r- dy^ -h dz^ = e'.
Le point correspondant de la seconde surface x'^ -f- dx'^ y'^ 4- dy\ z'^ -f- dz' est donné par les formules
da:-='td. + %d^, dy=^d^+%d'^, dz-=p^.d^^%d}.
m DEUXIEME PARTIE. — CHAPITRE Xl\.
On a donc, pour les coordonnées polaires du point P\
r = R(tang(po -»-^), rO = XRsin(<po -*-^)»
0 désignant l'angle MOF.
En M, rindicatrice est un cercle et les déformations sont insensibles. Nous déterminerons l'indicatrice en un autre point P par un procédé particulier.
Pour cela, déterminons les deux diamètres conjugués qui en P' correspondent aux directions du méridien et du parallèle. Le second est la tangente en P' à Tare MP' et sa demi-longueur est la variation que subit MP' quand le point P se déplace de e sur son parallèle; c'est donc aussi e. Le demi-diamètre qui correspond au
méridien a pour longueur ^., i désignant l'angle B'P' F' (yîg^. 54)
Fig. 54.
sur lequel le rayon vecteur coupe la représentation du méridien de P', puisque la distance normale des deux parallèles voisins est £ sur la carte comme sur la sphère. Quant à l'angle i, on l'obtient en regardant "k comme constant dans les équations ci-dessus; elles définissent alors la représentation du méridien de longitude ).; l'élimination de x en donnerait l'équation. On a
rdb RXcos(?o-
^ Xsin(QoH-x)
tangço-f-a:
rr/O ^ (r-
tano;a>o'i cos(oo-+- ar) — sin CooH-t)
dr
tang^po
