APPARENCES QU'OFPRENT LES ASTRES
Nous supposons / positif pour le cône de pénombre, n pour le cône d'ombre pure.
Par le centre de la Terre menons trois axes rectangulaire OP, OQ et par la position O'de l'observateur trois axes para O'Z', O'F, O'Q'.
Nous supposons OZ parallèle à Taxe SS' du cône, axe voisin de Pécliptique ; nous menons OP dans l'écliptique à c OZ vers l'est, OQ vers le nord. Soient :
K et K' les points où l'axe du cône perce les plans POQ, P'< O'' le point où la droite O'H perce le plan POQ; u le rajon O'K'; a'IerayonO'^K; 6i Tangle que fait u avec O'Q';
Z, P, Q ; Z', P', Q' les coordonnées du centre de la Lune pa port aux deux systèmes d'axes.
On a, quel que soit le cône considéré
( asinei= P', (i) < acos6i= Q',
{ u— u' =(Z — Z')tang/.
Sauf e^ et 6| , toutes les quantités qui figurent dans ces équs peuvent être déduites, à une date donnée, des éphémérides i nomiques : l'élimination de u et de 6| donnerait donc, ent coordonnées géocentrîques de l'observateur O', une équatio définirait, à la date donnée, l'intersection du cône d'ombre sidéré avec la surface de la Terre.
Occupons-nous maintenant du calcul des quantités introdi
On a d'abord, et dans tous les cas,
(a) sin/=— ^,
en prenant le signe supérieur pour le cône de pénombre, le inférieur pour le cône d'ombre proprement dite.
Observons, à ce propos, que pendant une période d'éc partielle on peut, à chaque instant, envisager, dans le plan pa par la ligne des centres et l'observateur, la tangente menée position de l'observateur au globe de la Lune comme tange
une sphère o* concentrique au globe solaire. Cette droite est alors une génératrice, passant par l'observateur, d*un cône circonscrit à la Lune et à la sphère o*. On peut donc assimiler une phase quelconque de Téclipse à un contact des bords : il suffit de regarder 5' dans la valeur de sin/ comme une variable susceptible de prendre toutes les valeurs depuis + s' jusqu^à — s'. D'autre part, soient :
)/, ^' les longitude et latitude sélénocen triques du centre 5' du Soleil ;
z^p, q les coordonnées rectangulaires géocentriques du point O';
Z, P, Q celles du centre S de la Lune;
r, /, b les coordonnées polaires géocentriques écliptiques du centre de la Lune;
r'j /', b' celles du centre du Soleil;
a', d' son ascension droite et sa déclinaison;
f , b" les longitude et latitude géocentriques de la droite OZ' parallèle à O'H;
Z', P', Q' les coordonnées rectangulaires de S par rapport aux axesO'Z'FQ';
p, L, B les coordonnées polaires géocentriques écliptiques de l'observateur.
Toutes ces coordonnées varient peu, sauf L et B dont la variation résulte du mouvement diurne de la Terre.
Les coordonnées polaires écliptiques des directions OZ, OP, OQ sont
Pour OZ V P'
» OP >^' -+- 90* o
» OQ X' 90*»-+- p'
et si M {fig> 65) désigne la projection de S sur la sphère céleste géocentrique et II le pôledel'écliptique, les triangles IIMZ, DMP, nMQ donnent
IZ = r[sinp'sin6 h- cosp'cos6 cos(/ — X')], P = rcos6sin(/ — X'), Q = r[cosp'sin6 — sinp'cos6cos(/ — X')].
données polaires écliptiques de ces trois droites sont : PourOZ' l' h'
» OP' /'^rQO* o
» OQ" /' 90<»-+-ô'
Par rapport aux axes P et Q soient : P'', Q' les coordonnées géocentriques du centre de la Lune ; />*, (f celles de l'observateur.
Par rapport à des axes parallèles aux précédents et menés par le point O' soient P,, Q* les coordonnées du centre de la Lune.
On a par la considération de triangles ayant pour sommets, sur une sphère géocentrique, le pôle de l'écliptique, la trace de l'un des axes P^, Q'' et la position géocentrique du centre de la Lune ou celle de l'observateur
iP" = r cos6 sin(/ — /'), Q'= rsinô cos6' — rcos6 sin6''cos(/ — /';, y=pcosBsin(L-r), 5r'= p sinB cos6'— p cosB sin6' cos(L — /').
D'autre part
et, 0, désignant l'angle que fait avec OQ'' la projection sur le plan POQ" du rayon de la Lune qui aboutit au point de contact des disques
(lo) Pî = 5sineî, Q; = 5cose;.
On en conclut
*sineî = P" — pcosBsin(L — /'),
^'^ \ *cos6; = Q'—p[8inBcos6'—cosBsin6'cos(L — /•)].
Les deux équations (i i) sont les deux équations cherchées.
Les équations (ii) sont quelquefois employées par Haiisen dans la solution des problèmes auxquels donne lieu l'étude des éclipses; les équations (6) le sont plus fréquemment; mais il faut d'abord exprimer p', V, j3' en fonction des éléments des éphémérides astronomiques, et les coordonnées écliptiques L, B, de l'observateur, en fonction des coordonnées équatoriales, pour arriver à
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les exprimer en fonction du temps. Nous ne ferons la transformation que dans les équations (6).
277. Calcul des coordonnées sélénocentriques du SoleiL — On a, par le changement de l'origine des coordonnées,
p' cos p' cos V = r' cos b' cos /' — r cos b cos /,
p' cos p' sin X' = r' cos b' sin /' — r cos b sin /,
p'sinp'= r's'inb' — rsin6.
Le rapport de r à r' est environ de i à 4oo; / — P et b — 6' ne dépassent pas i^i&; il s'ensuit que Ton peut négliger les termes petits du second ordre, et l'on a
(la)
S78. Introduction des coordonnées équatoriales de Tobservateur. — Pour effectuer la substitution des coordonnées équatoriales, |JL et cp', de l'observateur aux coordonnées écliptiques
Fig. 66.
considérons, sur une sphère céleste géocentrique, le triangle qui a pour sommets le pôle nord D de l'écliptique, le pôle nord N de Téquateur et le point Z de coordonnées écliptiques X', ^' {fig* 66). Ce triangle a pour côtés
NZ = 90"— 0', nz = 90°— p',
pour angles
d' et S' désignant Tascension droite et la déclinaison du point Z.
De même, le triangle, qui a pour sommets H, N et la position géocentrique O' de l'observateur, a pour côtés
Nn = e, N0'=90»— (p', nO'=9o«— B,
pour angles opposés
O', 90**— L, 9o«-HjjL.
On déduit de la considération du dernier triangle
1 sinB = sîncp'cose — cos^'sinesinji,
(i3) \ cosB sinL = sin<p' sine -h C05<p' cosesinfi,
( cosB cosL = coscp'cosfx.
Cela étant, si Ton part des équations (6), que l'on déduise des deux dernières u sin9, u cos9, en posant 6 = 0| — A, que des expressions obtenues Ton élimine L etB au moyen des équations (i3) et qu'on y introduise e, a', 8' au lieu de A, V, P' par la considération du triangle NIIZ, on trouve
Iu = u' — p[8in(p'sin8'-hcos<p'cos8'cos([i — a')] tang/, asin6 = P cosA — Q sinA — p cos(p'sin(fx — a'), ucos6 = PsinA-+-Qcos/it — p[sin9'coso'— cos^' sînS'cos([i— a'j].
L'angle 6 est analogue à 6|. Ce dernier est à peu près l'angle que fait, avec le cercle de latitude du point X'P', le grand cercle ayant pour centre l'observateur et passant par le centre de la Lune et par le point Vp'. L'angle 0 n'en diffère qu'en ce que le cercle de déclinaison du point V P' remplace le cercle de latitude.
279. Influence de la réfiraction atmosphérique. — Un rayon lumineux LAB {fig* 67) issu d'un point du bord de la Lune, entrant en A dans l'atmosphère, est dévié, et arrivant à la surface de la Terre au point O où se trouve l'observateur, paraît avoir la direction OL' de la tangente à la trajectoire AO de ce rayon lumineux. La théorie ordinaire de la réfraction donne l'angle des rayons LA et OL'. Elle n'est pas immédiatement applicable ici.
