CHAPITRE m
34. Notions générales sur la parallaxe. — Pour rendre comparables les observations faites en divers points de la surface de la Terre, il convient de déduire des coordonnées ainsi observées les coordonnées géocentriques, La correction à apporter, à cet effet, aux résultats de l'observation a reçu le nom de parallaxe.
Il est manifeste que Ton ne peut opérer cette réduction que si Ton connaît, d'une part, les coordonnées géocentriques de l'observateur, et, d'autre part, la distance de l'astre à la Terre. Toutes les fois que cette distance dépassera 2062648 rayons terrestres, la correction de parallaxe sera inférieure à o",i et sera regardée comme insensible. Le maximum de cette correction pour le Soleil est environ 8", 9; pour Neptune o*^, 3 ; on voit donc qu'il n'y a lieu de l'appliquer qu'aux astres qui font partie du système solaire.
Nous verrons ultérieurement comment on peut déterminer pour chacun de ces astres la parallaxe maximum, ou parallaxe horizontale équatoriale, c'est-à-dire l'angle que fait la direction géocentrique de l'astre avec la direction qui serait observée si l'observateur était sur l'équateur, Taslre à l'horizon, à la distance du centre de la Terre où il se trouve réellement. En désignant par P cette parallaxe horizontale équatoriale, a le rayon équatorial de la Terre et A la distance de l'astre au centre de la Terre, on a la relation
(i) sinP=J,
a et A étant évaluées au moyen de la même unité.
Nous étudierons dans un autre Chapitre la forme de la Terre: nous verrons que la Terre est, avec une approximation suffisante pour notre objet actuel, un ellipsoïde de révolution aplati. La latitude d'un point est l'angle que fait la normale de ce point avec l'équateur. Nous avons besoin, dans le présent Chapitre, du rayon
PARALLAXE. 4l
vecteur mené au centre et de l'angle que fait ce raj^on vecteur avec l'équateur, angle qui a reçu le nom de latitude géocentrique ou latitude réduite (*). U est évident que, si Ton connaît les dimensions de l'ellipsoïde terrestre, la Géométrie permet de calculer ce rayon vecteur r et cette latitude géocentrique <p en fonction de la latitude géographique. Nous supposerons ce calcul fait, et observerons seulement que le rajon vecteur, la latitude géocentrique et le temps sidéral de l'observation sont les coordonnées polaires équatoriales géocentriques de l'observateur. Le temps sidéral t en est l'ascension droite, et la latitude géocentrique la déclinaison.
35. Équations fondamentales. — Cela étant, si A, a, S sont les coordonnées géocentriques de l'astre. A', a', 8' les coordonnées observées, on a immédiatement, par les formules du changement de coordonnées rectilignes quand on ne fait que déplacer l'origine, les relations
IA' cos o' cos a' = A cos 8 cos a — r cos «p cos t, A'cosô' sina'= A cos8 sina — rcosç sin/, A' sin 8' = A sin S — r sin îp.
Profitant de ce que - est toujours une petite fraction, nous allons
déduire de ces formules les valeurs de a' — a et 8' — 8 en fonction de a, 3, A, <p, /, r.
36. Parallaxe dans les observations méridiennes. — Nous examinerons d'abord, à cause de son extrême simplicité, le cas d'observalions méridiennes. Dans ces observations, a — ^ est nul, ou tout au moins très petit, bien inférieur à i" de temps, ou à 2^;
le produit ^ sin (a — t) est donc négligeable. Or on déduit des
deux premières équations
A' cos 8' cos (a'-— a) = A cos8 — rcosçpcos(a — ;),
^ A' coso' sin(a' — a) = r coscp sin(a — t)\
on a donc
(') Legendre a aussi donné le nom de /a/jYacfe rcc?ai7e à l'anomalie excentrique de l'ellipse méridienne..
// ny a paSy dans les observations méridiennes, de corrections de parallaxe en ascension droite.
On déduit de la première formule (3)
A'cosS' = Acos8 — rcosç; comme
A' sin o' = A sin 8 — r sin cp, on obtient
sin(o'— o)= ■- sin(8'— <p).
Il n^existe qu'un seul cas dans lequel le cube de la parallaxe soit
sensible, celui de la Lune, pour laquelle - est environ g^, de sorte
que le cube de la parallaxe en est la y^— partie ou à peu près i''. Donc, dans tous les autres cas, on a, avec une précision suffisante,
0 — 0 = - sin(o — o).
Il faut observer seulement que r et A ne sont pas, à l'ordinaire, exprimés par rapport à la même unité. /* est donné par rapport au rajon a de l'équateur terrestre, et les distances des corps célestes sont exprimées en prenant pour unité la moyenne distance A du Soleil à la Terre. Il convient donc d'écrire
0 — 0 = - -r- — sin(o — ©).
Nous représenterons toujours dans ce qui va suivre par la
lettre /• le rapport - , par la lettre A le rapport-^ > et nous poserons
' a — = sinm,
m étant la parallaxe horizontale équatoriale du Soleil que Ton peut confondre avec son sinus. Si l'on exprime m en secondes d'arc, on aura ainsi, en secondes d'arc,
(3) a'-8 = ^Tnsin(a'-cp).
37. Cas de la Lime. — Dans le cas de la Lune, les réductions qui précèdent ne sont plus permises; en outre, on ne peut observer le centre, mais un bord, et le point observé n'est pas le
même pour un observateur placé à la surface de la Terre que pour un observateur placé au centre. La lunette méridienne ne permettant pas d'observer le centre, mais un bord, il y a une correction de parallaxe en ascension droite et cette correction est analogue à celle que l'on applique à des observations extraméridiennes. Nous nous en occuperons à la fin de ce Chapitre. Il n'en est pas de même de la parallaxe en déclinaison. On a soin d'observer toujours assez près du méridien pour qu'il n'en résulte pas d'erreur sensible sur celui des bords supérieur ou inférieur qui est visible. Nous supposerons donc, pour le calcul de la parallaxe en déclinaison, l'observation faite rigoureusement au méridien.
38. Parallaxe de la Lune en déclinaison dans les observations méridiennes. — Soient (^fig^ 9) :
A l'observateur ;
AH la trace de l'horizon sur le plan du méridien pris pour
plan de la figure ; O le centre de la Terre ; OE l'équateur; L le centre de la Lune ; AC, OD les rayons menés des points A et O tangentiellement à
la Lune au bord supérieur; A la distance du centre de la Lune au centre de la Terre ; J la distance zénithale observée du bord supérieur de la Lune,
corrigée de la réfraction 5 :; la distance zénithale vue de O; \ la latitude de l'observateur; f la latitude réduite.
Menons deux axes rectangulaires Ox et Oy parallèles à AH et à la verticale.
Les coordonnées du point A sont
rsin(X — (p), rcos(X — ©).
Celles du point L sont
Asin(^-hA), Acos(.s-hA).
L'équation de la droite AC est
sinz'ly — rcos(X — o)] — cosz'[x — rsin(X — <p)] = o.
Cette droite est tangente au disque de la Lune si la distance du centre L à cette droite est
Celte condition donne
sin^'[A cosz -\- h) — r cos(X — tp)]
— cos^'[ A sin(5 -h A) — rsin(X — cp)] = — A sin/i
ou
A sin(5'— z — h) — r sïn{z' — X -4- cp) = — A sinA, d'où, en désignant par p la parallaxe et posant z' — X + ç = ÎJ, sin (/? — h) — - sin Ç = — sin h.
Soit P la parallaxe horizontale équatoriale du centre de la Lune au moment de l'observation,
sinP =
par suite,
sin {p — A) = - sin P sin J — sin h.
En admettant que P soit 5^' ou environ ^, P' est environ 3-^
de P, ou i"; les termes en P' ne sont pas négligeables et de même
ceux en A' ; mais ceux du quatrième ordre n'atteignent pas ^ de
seconde. On peut donc s'en tenir à ceux du troisième ordre.
Ayant
sin(/7 — A) = m, on a
en posant
Pour le bord inférieur, il faudrait changer A en — h.
Les valeurs de/?i et p^ sont exprimées en parties du rajon si P et h le sont. Si P et A sont donnés en secondes, il faut conserver/71, mais multiplier /)2 psir le carré du sinus de i'^. Dans ces conditions, on a
I />, = — /^ i P, cos* î ± 1 p» A sin î — i p A«^ sin ^ sin
39. Corrections de parallaxes dans les observations équatoriales extra-méridiennes. — Revenons actuellement à des observations faites dans une position quelconque.
Nous déduisons des deux premières équations (2) les suivantes :
A'cos8'sin(a'— a)= rcosç' sin(a — t), A'cos8'cos(a' — a) = AcosS — r cos(p' cos(a — t).
Par division, en posant
rcoso'
A cosû
nous aurons
msîn(a — 0
tang(a'— a) =
— mcos(a — t)
On déduit aussi des deux premières équations (2) en les multipliant respectivement par cos et sin > et les ajoutant
cos (p cos ( tj
A' cos8' = A cos 8 ^ .
cos
Posant
tangY = tangcp'
cos nous avons
A' cos 8' = A cos 8 — r sin«p' coty.
Combinant avec (G) A'sin8' = A sin8 — rsinç',
nous déduisons
smy
/•Nr >x . rsino'cos(8 — y)
A'cos(o — 0) = A î — : — ^ *-•
^ ' siny
Posant
nous avons
A siny
tang(8'— 8)= ^ ,^ ' •
^'^ ^ I — /icos(ô — Y)
40. Ordre de grandeur de a'— a et 8'— 8. — Les quantités m et n sont toujours petites à cause du facteur -•
En vérité, si 8 approche de 90**, m peut augmenter considérablement; mais cela tient au système de coordonnées employées et n'a aucune importance. En effet, a' — a est de l'ordre de m. Or ce qui caractérise la précision d'une observation en ascension droite, ce n'est pas la précision de a, mais celle de acoso. Si Aa varie, mais que AacosS reste constant, l'astre se déplacera d'une même quantité sur la sphère.
A l'égard de n, il faut observer que cette quantité ne grandit pas quand sin y s'approche de zéro. En effet, cela ne peut avoir
lieu que si tang(p approche de zéro. Maïs
COStp
cosY
cos
sincp
siny
cos
On voit qu'alors le rapport ^!^ qui est facteur de n ne grandit
pas, et même que son dénominateur est voisin de i et son numérateur moindre que I. La correction de parallaxe en déclinaison
est donc toujours de l'ordre de -•
41. Expressions définitives des corrections de parallaxe. — Les
formules qui donnent a' — a et S' — 8 sont de la forme
a ûnx tang7 =
i — a cosar
Nous avons vu au Chapitre IX de la première Partie de cet Ouvrage que Ton en déduit
V = A:ir-ha8ina7H sina^-t- -=-sm3r -h
Ici l'application de ce développement se limite au premier
terme, et Ton a
Ara cososin(p — t)
CL ■^a= - - rr- î 5 ,
A a A coso
^ Pl r a sinçsin(o — y) , ^ tang©
o' — o = ----v- 1 — r-î= ^-y OU tangy , ' ,'
A aA smy ° ' cos(a — t)
Nous avons déjà dit que la moyenne distance A de la Terre au Soleil est prise pour unité de distance dans le système solaire, le rayon équatorial a de la Terre, pour unité dans la mesure des
rayons terrestres, et j la parallaxe horizontale équatoriale m du Soleil égale 8", 9.
