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APPARENCES QU'OFFRENT LES ASTRES. iyS

de sorte que 8 — N' diffère peu de 90® ou de 270**. On pose

et, sin^ différant peu de 1, on multiplie par sind/ la valeur de du. Si en même temps on néglige ;r, Aa' ^^zn* ^^ ^

cosïpi(sinN'cos^-h cosN' sinrsinS')

Os) tSEifir^ = -— — ^ — .

^^ cos<pi[cosN'cos/— (sinN'sinS'zp tang/coso')sin^J

en prenant le signe supérieur si ^ est voisin de 90**, le signe inférieur s'il est voisin de 270®. L'angle ^ est l'angle que fait avec l'orbite de la Lune le grand cercle qui passe par le centre de la Lune et le point Vp', ou, à peu près, le centre du Soleil. Cette considération montre pourquoi, au maximum de l'éclipsé, ^ diffère peu de ±90**.

Le calcul des points des courbes limites se fait comme il suit : Des combinaisons faciles des deux dernières équations (6**) donnent u sini{; et u cos^. Dans la valeur de u sin^ on remplace u par la valeur que donne la première équation (6**). On a alors une équation linéaire en sin^i etcoscpi d'où l'on tire cp, sous la forme

(i3) sin(<pi— A)=-^ ^,

a et A désignant des nombres connus.

Pour une série de valeurs de t, cette équation, où l'on remplace d*abord ^ par ± i, donne cp<, puis l'équation (12) donne ^, après quoi l'équation (i 3) donne plus exactement cp, ; ensuite la première équation (6**) donne u et la valeur de u cos^ donne X.

Il y a lieu de remarquer que les valeurs de ^p, situées dans la première demi-circonférence, donnent, si u est positif, la courbe limite nord, les autres la courbe sud; l'inverse a lieu si u est négatif.

283. Courbes limites nord et sud pour les diverses phases. — Ces lignes s'obtiennent comme il vient d'être expliqué pour les courbes limites nord et sud de l'éclipsé générale. Il suffit d'adopter pouryies valeurs qui correspondent aux phases considérées. Si l'on veut une phase de i doigts, c'est-à-dire de { douzièmes, on

prendra

sin/= —.

Si l'on a calculé les valeurs /< et /a relatives aux contacts extérieur et intérieur, on a

sin/= sin/i =^-= -^i,

et, séc/ différant très peu de l'unité, on a aussi

Pour la ligne d'éclipsé centrale, il suffit de remplacer le cône par la ligne des centres du Soleil et de la Lune, et par suite de remplacer / et m' par zéro. Les équations se simplifient considérablement; nous ne nous y arrêterons pas.

284. Courbes limites est et ouest. — L'angle de position 6 résulte de la génératrice du cône de pénombre sur laquelle se trouve l'observateur O'. Il en est de même de l'angle de position i. Pour un point d'une des courbes limites nord ou sud cet angle ^ est voisin de itpo**. Pour les points intermédiaires il peut avoir des valeurs quelconques. Si Ton considère les points de la Terre qui correspondent à une même valeur de i(^ la génératrice qui* passe en l'un de ces points perce la surface de la Terre en un autre point situé au-dessous de l'horizon du premier et qui, par suite, au même instant, ne voit pas l'éclipsé. Le contact est vu du premier de ces points, et, virtuellement, du second à une date:. Cette date t est nécessairement comprise entre deux limites en dehors desquelles la génératrice considérée ne coupe pas la Terre. A ces limites la génératrice est tangente à la surface.

Si dans les équations (6**) on regarde 6 comme une constante, elles déterminent m, X, cp< en fonction de t, et pour chaque valeur de T deux systèmes de valeurs de w, X, '^i qui se confondent à l'une des limites de t et deviennent imaginaires au delà. A l'une de ces limites t est maximum ou minimum et sa différentielle est nulle. Comme on a

APPARENCES qu'offrent LES ASTRES. 477

on a alors

dt = dk.

Il s'ensuit que, pour avoir les courbes limites est ou ouest, il sufGt de différentier les équations (6**) en y faisant varier u^ \ ^j t et de remplacer dt par (tk. L'élimination des différentielles donne une équation finie qui, jointe aux. équations (6**), définit les courbes cherchées. Dans le calcul de ces courbes il n'est pas permis de négliger l'influence de la réfraction, ni de sa variation.

Les figures des pages 473 et 474 donnent, d'après la Connaissance des Temps, les courbes limites des deux éclipses totales de l'année 1889 {fig- 69 et 70). La seconde offre un exemple du cas où la courbe nord a disparu.

285. Calcul de l'éclipsé en un lieu donné. — On néglige ordinairement la réfraction. On part des équations (6**) dont on combine les deux dernières de façon à eu déduire u sin^ et u cos^. Ces équations, pour une valeur donnée de/, déterminent i/, if et t. Par rapport à cette dernière inconnue elles sont transcendantes : Hansen lève la difficulté comme il suit : Désignant par tm une valeur approchée de t. il pose

sin < = sin tfn -h k -, — cos