CHAPITRE V

DEPLACEMENT DE L ECLIPTIQUE ET DE L EQUATEUR SUR LA SPHERE, PRECESSIOK DES ÉQUINOXES. — PRÉCES6I0^^ LUNISOLAIRE, PRÉCESSION PLANÉTAIRE, PRÉ- CESSION GÉNÉRALE. — NUTATION. — ÉLÉMENTS DE LA PRÉCESSION SUR L'ÉQUA- TEUR. — VARIATION DES COORDONNÉES ÉCLIPTIQUES OU ÉQUATORIALES DES ASTRES DUES A LA PRÉCESSION PROPREMENT DITE. PRÉCESSION ANNUELLE', SA DÉTERMINATION DIRECTE. INFLUENCE DE LA NUTATION. FORMULES POUR TROUVER LES COORDONNÉES VRAIES D'UN ASTRE A UNE DATE DONNÉE. — IN- FLUENCE DE LA PRÉCESSION SUR LES ÉLÉMENTS QUI DÉFINISSENT UN GRAND CERCLE DE LA SPHÈRE. — MOUVEMENTS PROPRES DES ÉTOILES.

53. Causes du phénomène de la précession des équinoxes. — Les attractions du Soleil et de la Lune sur le renflement équatorial de la Terre produisent un déplacement lent de Téqualeur, et les actions des planètes sur le Soleil et sur la Terre produisent un déplacement plus lent encore du plan de l'écliptique. L'étude de ces déplacements, des modifications qu'ils produisent dans les positions relatives de l'équateur et de l'écliptique, des changements qui en résultent dans les coordonnées d'un astre, et aussi dans les quantités qui définissent la position d'un grand cercle quelconque de la sphère céleste sont l'objet du présent Chapitre.

La démonstration des formules qui font connaître, en fonction du temps, les angles qui définissent, à une date quelconque, la position de l'équateur et celle de l'écliptique par rapport à des plans fixes de la sphère céleste, appartient à l'Astronomie théorique, à la Mécanique céleste. Nous ne nous en occuperons pas, et nous emprunterons ces formules au Traité de M. Oppolzer déjà cité au Chapitre IX du P' Volume de cet Ouvrage. Les nombres qui j' figurent ne diffèrent que d'une manière insensible de ceux qui sont donnés au Tome II du beau Traité de Mécanique céleste de M. Tisserand. Ces formules ont la forme de développements en séries.

PRÉCRSSION DES éOUlNÔXKS. 6l

54. Forme des séries qui représentent les angles dont dépendent la position de l'équateur et ceUe de récliptique. Equateur moyen, édiptique moyen. — Les séries représentant les angles qui définissent la position de Téquateur à une date donnée renferment des termes fonctions entières du temps, et des termes périodiques dont les arguments dépendent des positions relatives du Soleil, de la Lune et de leurs orbites. Les termes de la première sorte constituent la précession proprement dite, les autres ont reçu le nom de nutotion. L'ensemble de ces derniers ne dépasse pas un petit nombre de secondes d'arc.

De même, les angles qui définissent la position de l'écliptique à une date donnée sont exprimés par des fonctions entières du temps et par des termes périodiques qui dépendent des positions relatives du Soleil et des planètes. Dans Tétude de la précession et de la nutation on néglige entièrement ces derniers termes; le plan obtenu en les supprimant dans l'expression des angles qui définissent l'écliptique s'appelle édiptique moyen. Le plan obtenu en supprimant la nutation des valeurs des angles qui définissent l'équateur à une date donnée s'appelle équateur moyen.

Nous prendrons comme plans fixes l'équateur moyen A/ et l'écliptique moyen E/ au commencement de l'année i85o. La connaissance de l'équateur moyen suppose la connaissance préalable de la nutation, que nous voulons étudier. On procède ici, comme dans toutes les questions d'Astronomie, par approximations successives.

.^5. Relations entre les angles et les arcs qui définissent les positions de l'équateur et de l'écliptique. — Soit E„ l'écliptique moyen et A„ l'équateur vrai à une autre date. Nous regarderons l'intersectionB'de ces deux plans {^fig^ 12) comme étant l'équinoxe vrai, négligeant définitivement les perturbations périodiques de l'écliptique.

Le déplacement AB de l'équinoxe sur l'écliptique, dû uniquement au déplacement de l'équateur s'appelle la précession lunisolaire en longitude ; l'arc BB' dû au déplacement de l'écliptique s^aippelle précession planétaire; si l'on prend 0'A'= O'A, envisageant, ce qui est visiblement arbitraire, le point A' comme cor-

respondaDt au point A, A'B' s'appelle la précession générale. Nous poserons

AB=(l/o, A'B'=f, BB'=Xo, ABA;=eo, A'B'A,= £', .(OA*=7to, AO'=no.

Fig. 12.

La connaissance des quantités if^, ^|^', Sq, s'^ en fonction du temps, entraîne celle des trois quantités tzq^ IIq, Xq* En f^il? 1^^ expressions de «o et IIq sont tirées de la théorie du Soleil, ^o et £o de la théorie du mouvement de rotation de la Terre. Le triangle OBB' a pour côtés

et pour angles

Xo, i8o»— Ho— <^o, i8o«— Do — ^\

TTo, s', l80°— ÊQ.

Si Ton regarde comme connus le second côté et les angles adjacents, on peut aisément en déduire les trois autres éléments

PRÉGB8SI0N DES ÉQUINOXBS. 63

par les formules de Delambre

cos ( —î? -h -^ !î sin - = sm ( — H- — ) cos ( — -i- -^ ),

va a 2/ 2 \a a/ \a a/

sm ( — -h -!- ? ) sin - = sm ( — ^ ) sin ( — -f- -^ ) ,

/Ho t|;' Xo\ e' /eq ico\ /Ho <^o\

cos ( ~ -h -î- H- — ) cos - = cos ( - H- — cos ( — -f- -i-" ,

. /Ho ^' Xo\ e' /eo Tto\ . /Do 'VoX sin I ~ H- -î- + ~ ) cos - = cos ( ^ ) sin ( -^ -h — •

56. Expressions numériques des éléments introduits. — On trouve pour ^^^ Sq, ^', t\ tcq, IIq, Xq les développements suivants, en négligeant des termes périodiques dont chacun ne dépasse guère

^^0= 5o36',9a4^ — i^oSSS^» -h V, eo= 23'*27'3i',83-f-o',o7i3^»-f-E, i^'= 5o23'',465i -+- i*,i29C<*-f-V, e' = 23'»27'3i'',83 — 47',594^— o',oi43/»-l-E, Xo= i4',673^— 2*,4i84«*, TCo = 47*1 95 1 ^ — o', o325 «*, Ho = 173*^0' 12'— 868', 3 ^ -h o', 1 1 f*,

où l'on a posé

V = — 17', a7sinii -1- o',2i sin2^ — o',20sin(2^ -h 2a> -4- 2^)

— i*',26sin(2^'4-2(i>'-4-aJi), E = H-9',24cosiï-i-o',55cos(2^'-4-2CD'H- 2Q,).

Dans ces formules, t désigne le temps compté à partir du commencement de l'année i85o et exprimé en siècles d'années tropiques (*)', g et g' les anomalies moyennes de la Lune et du Soleil, Q la longitude du nœud ascendant de l'orbite de la Lune^ (I) et (o' les distances des périgées lunaire et solaire à ce nœud ascendant.

Les valeurs de ^oj ^o» ^S ^' que l'on obtient en supprimant W

(*) Nous défÎDiroDs ultérieurement le jour moyen et les autres éléments employés ici, en étudiant les mouvements propres du Soleil, des planètes et de leurs satellites.

et E correspondent à un équateur fictif que Ton nomme équateur moyen, et c'est le déplacement de Téquateur moyen que Ton désigne plus particulièrement sous le nom de précession» Le changement de plans, qui consiste à passer de V équateur et de Véquinoxe moyens relatifs à une date donnée à Véquateur et Véquinoxe vrais à celte même date, a reçu le nom de nutation.

o7. Représentation géométrique des termes principaux de la précession et de la nutation. — Les termes de la précession et de la nutation sont susceptibles d'interprétation géométrique simple.

Abstraction faite de la nutation, Eq est très sensiblement constant et i^Q proportionnel au temps. Donc la précession proprement dite équivaut sensiblement à une rotation uniforme de Vaxe du monde autour de Vaxe initial de l^écliptique, la vitesse angulaire étant de 5087" /?ar siècle, et par suite la durée de la révolution 258 siècles. L'influence des termes du second ordre ne diminue pas de quatorze ans cette durée.

Si l'on considère les deux positions de Téquateur à deux dates voisines l'une de l'autre, il résulte de ce qui précède que les points où ces deux grands cercles se coupent sont sensiblement à 90® du point vernal. Soient en eflet, sur la sphère céleste (Jig- i3),

E^ l'écliptîque initial, Il son pôle, E^ l'équateur initial, P© son pôle, E'^ l'équateur à une date voisine, P»» son pôle. Si l'on menait l'arc de grand cercle PoP»^, il serait perpendiculaire aux deux équateurs, et, par suite, les points où ces deux équateurs se coupent en seraient les pôles. Si P», tend vers Po, le grand cercle PoPi^lend

PRÉGBSSION DES ÉQUINOXES. 65

à être tangent au petit cercle PoPp de pôle II et, par suite, tend à passer par le point vernal Yq. Ce point ^o est donc à 90° des points vers lesquels tendent les intersections de l'équateur E' avec Téquateur E^.

Soit Eo le pôle nord de l'écliptique fixe {^fig* i4)> Aq le pôle

Fig. 14.

nord de l'équateur moyen, ^o le point vernal. L'arc de grand cercle EoA^ est l'obliquité e de l'écliptique. Réduisons la nutation ^ et E à ses ternies principaux At|^ et As en posant

Ae=: 9',24cos^.

L'arc 8 représente la longitude du nœud ascendant de l'orbite de la Lune sur l'écliptique. Ce nœud décrit l'écliptique d'un mouvement rétrograde en 18 ans| environ.

Supposons que 8 à une certaine époque soit égal à 36o**, At{/ sera nul et Ac sera égal à 9", 24. Le pôle vrai de l'équateur sera en A' sur l'arc de grand cercle Eq AqBo et l'on aura

Ao A' =9^,24.

Immédiatement après cette date, 8 décroît; A'>j/ devient positif et Ae décroît. La variation At|^ transporte le point vernal y^ en un B. — U. 5

point V tel que yoY = A^- Le pôle vrai de Téquateur vient en A, en une position telle que le grand cercle EqAB fasse avec Eo AqBo un angle égal à A^, et que la différence Eo A — EoAo soit Ae. Si l'on mène en Ao la tangente AqX au cercle de latitude et la tangente A^y au parallèle à l'équateur, on pourra sans erreur sensible remplacer le point A par sa projection sur le plan xAy et, désignant par x ely les coordonnées de ce point par rapport aux axes Ax, Ay^ on aura

X— Iz — 9% 24 cos^,

^ — sinsA^}^ — — 17", 27 sin^isins - — 6*, 87 sin^.

Donc le pôle vrai, vu du centre de la sphère, décrit autour du pôle moyen, en sens inverse du mouvement des aiguilles d'une montre, ou dans le sens rétrograde, une ellipse dont le petit axe est parallèle à Vécliptique; la période est 18 ans f. La longitude du nœud de la Lune est l'anomalie excentrique de cette ellipse. Le pôle vrai est le plus près de l'écliptique quand le nœud ascendant de l'orbite de la Lune est au point vernal.

58. Changement de rorigine du temps dans les formules de la précession. — Les formules données au § 56 font connaître les angles et les arcs qui déterminent l'équateur moyen et l'écliptique à la date i85o + ^ par rapport à l'écliptique et à l'équateur à la date i85o. Il est commode, pour la solution des problèmes qu'il nous reste à résoudre, de déduire de ces formules d'autres faisant connaître la position de l'équateur moyen et de l'écliptique à la date i85o-[-^ par rapport à l'équateur moyen et à l'écliptique à la date i85o-f- /«.

Danslayî^. i5, Ey, Eo, E„ représentent l'écliptique aux trois datesi85o,o, 1800 -+-/|, i85o-f-^; A>/, «/loi, «Ad^ l'équateur moyen aux mêmes dates. On a pris 0'A'= O'A, O^ A', = O^ A| .

Si l'on veut passer de la date i85o,o à la date i85o -|-/, les sept éléments introduits sont respectivement

(a) il/ = AB, £o = B, i^i-^A'B', e' = B', 7r = 0', n = 0'A, X = BB.

Ces quantités sont connues en fonction de t.

En y remplaçant t par t^y on obtient les arcs et les angles

PRÉCESSION DES ÉQLINOXES. 67

suivants : £ devient l'angle Ey-Bocloi ; eT angle E| A| -.l)| ; -n devient l'angle O;, A l'arc B0A4 et H l'arc 0;A.

Il est manifeste que ces éléments déterminent entièrement la fig, i5 et l'on voit sans peine que la résolution du triangle O'O, Oj où l'on connaît le côté O'O', et les angles adjacents permettra de calculer les éléments suivants (6) qui déterminent les plans Ev, <vl)v

Fig. i5.

par rapport aux plans Eo, «^l>o ^e la même manière que les sept éléments (a) déterminent les plans Ey, dv par rapport aux plans E/, Xf

AiB,, AiBiB', a;b', £', o;, ();a,, b,b'.

Ce sont ces éléments que nous représenterons désormais parles notations ^, e, ^', e', u, II, X. e' est le même angle ainsi désigné aux § 55 et 56; mais ^' n'est pas le même arc.

Nous supposerons ces calculs effectués, et, en outre, que l'on ait remplacé, comme unité de temps, le siècle Julien par l'année tropique, comptée suivant l'indication de Bessel à partir du moment où la longitude moyenne du Soleil est égale à 280°. On ob-

lient ainsi les valeurs suivantes :

t\, = (5o',36924 H-o%oooo5oi/o)(< — <o) — o',oooio888(/ — <o)*, e = 23°27'3i%83 — o',47593ro—o', 0000014 fjH-o', 000007 ï(f — /o)', 4^' = (5o', 23465 H- o', 00022.58 /o)(<--<o) + o', 000 11291(^-/0)', e' = 23»27'3i'', 83 — o', 47593 to — o', 000001 4 f J

— (o'',47593 H- o',ooooo29fo)(' — '0)»

X = (o',i4673 — o'.oooi9i7/o)(/ — '0) — o'',ooo24ï8(/— <o)*. ir = (o',4795o — o',ooooo65/o)(< — ?o) — o',ooooo32(< — <o)'» n = i73»o'i2'-*- 32^,869 <o—o',683(/ — fo).

59* Éléments relatifs à Téquateur. — I^es équateurs ^q, X^ se coupent en des points C2, C!^ qui sont à peu près à un quadrant des points A^, B^. L'arc C^A, a, sur l'équateur, le même rôle que O.'. A| ou II sur Técliptique. Nous le représenterons par P et poserons

De même l'arc QB' a le même rôle que O^B'. La différence (];,B' — P est l'analogue de i^'. Nous la représenterons par m, CoBi par Q et poserons

Q = 90°-çr,

de sorte que nous aurons

CiB'=Q-X et, par suite,

Ënfm nous désignerons par n l'angle G^, analogue à O^ ou 7:.

Dans le triangle C'^AiB,, le côté A|B, est égal à ^; l'angle B| est actuellement représenté par e; l'angle At est le supplément de la valeur (e) que prend e pour t = ti. Les formules de Neper

donnent

. e-(£) sin

p -^ g tancr ^- = —