e-^(£)^ ^' sin ^tanff
tang^^- ^ = ;r-tang-
cos
PRÉGESSION DES ÉQUINOXES. 69
et
, . sini-
tang- = tanff
cos ^—
La différence e — (e) étant beaucoup moindre que <J^, on voit que Pj q aussi bien que n sont petits. Le développement de ces formules en séries donne
m =(46',o593i -f-o",ooo2839^o)(' — 'o) -^ o'',oooi4i95(^— ^o)S /i = (2o%o5i5o — o',oooo867<o)(« — ^0) — o",oooo4334(<— <o)*, P = 90*»— (a3',o3o -H o%oooi42)(f — t^) — o'jOoooSi (f — <o)'.
60. Variations des coordonnées d'un astre produites par la précession. — Les formules que nous venons d'obtenir sont toutes préparées pour la solution de ce problème : Ayant les coordonnées moyennes d^un astre à une date, trouver les coordonnées moyennes à une autre date. Il suffit d'adopter pour t^ la première date, pour t la seconde et ces formules donnent les déplacements des plans fondamentaux.
Soient X| la longitude, ^i la latitude de l'astre à la date t^ ; \ P à la date /; soient a, l'ascension droite, 8| la déclinaison à la date ^i,.a et 3 à la date f, nous remarquerons, pour abréger, qu'aux quantités
TT, n, ^', lu Pi, \ p,
qui se rapportent à l'écliptique, correspondent avec des significations entièrement analogues par rapport à l'équateur les quantités
de sorte que les formules relatives au changement des coordonnées écliptiques donneront de suite celles qui serviront au changement des coordonnées équatoriales.
61 . Variations des coordonnées écliptiques. — Le triangle qui a pour sommets l'étoile et les pôles de l'écliptique à la date t^ et à la date t a pour côtés
90'»— ?, 90 — Pi, 7= et pour angles
On en conclut les relations suivantes :
sIqP = sinPi cost: — cospi sinir sin(Xi — II), cosPcos(X — II — ^') = cos^i cos(X, — II), cosp sin(X — n — ^') = sÎQpi sinir -h cospi costc sin(Xi — II),
qu'il convient d'écrire
sinp = — sinpi h- q cot — cosPi,
-ij;') = COS^i COS(Xi — n),
cosp sin(X — n — <p') = cosPi sin(Xi — II) -+- ^cosPi,
^'^ '' cospcos(X— n — ^};') = cos3, cos(Xi — n),
en posant
(2) ^ = sinir tang^i — sin(X| — II) tang- 1;
on en déduit
Seosp sin(X — Xi — i}^') = gr cosPi cos(Xi — H), cosp cos(X — Xi — 4*') = cosPi H- q cospi sin(Xi — II),
/ ,N /^ ^ ./v Q rOS(Xt — n)
(4) ^"'g(^-^'-^')=..^^sinà.-n)'
Le sinus de X — \ — <{^' a le signe du numérateur, et le cosinus celui du dénominateur, ce qui lève toute indétermination. On déduit aussi des équations (3)
cosp cos — cos pi cos ( ; ^ \
-h g COS
d'où
COS p = cos Pi -f- ^ cos Pi 1 "X — iL^
cos î ^
ce qui donne
cos ^
Or la première équation (i) équivaut à
2 sin î- i-î cos ^- ^ = û' cot- cospi.
PRËCESSION DES ÉQL'INOXES.
De ces deux équalions on conclut
(5) tang"- ï-i= — tang
Tt
'1 °2 A — Al — '^^ COS — ^
Les équations (2), (4) et (5) résolvent le problème proposé.
62. Coordonnées équatoriales. — Par les permutations de lettres indiquées plus haut, on résout le même problème pour les coordonnées équatoriales par les formules suivantes :
(j' = sin n tang Oj — sin( aj — P ) tang - 1 , q' cos(ai — P)
lang(a — «i — m)
tang: — - ~ — tang
