I -4- q' sin (ai — P

. / a — a, — /;z \ ^sin(a,~P^ j

•2 'JL OL — a I — m

COS

63. Cas d'astres voisins du pôle de Técliptique ou du pôle de l'équateur. — Dans le voisinage du pôle de l'écliptique, X — Ai peut cesser d'être petit, et, de même, a — ai dans le voisinage du pôle de l'équateur; mais cette circonstance est due à la présence du facteur COS j^i ou cosS^, suivant le cas, en dénominateur dans la tangente de X — X| — t}/' ou de a — ai — m, de sorte que les produits (X — X4 — <L')cospi, (a — a, — /?2)cos8| restent toujours petits; il n'y a donc pas à se préoccuper de la diminution apparente de la précision (voir § 40).

64. Mode de calcul adopté dans le cas général. Précession annuelle. — Les termes du troisième ordre ne peuvent être sensibles que pour des intervalles de temps très considérables, et pour des étoiles très voisines du pôle, si l'on veut avoir pour ces étoiles une précision exceptionnelle. Le procédé suivant, applicable, dans d'autres circonstances, permet de tenir compte de ceux du second ordre, ou plutôt de les éliminer, en n'utilisant que les expressions de ceux du premier. Posons

7'i DEUXIEME PARTIE. — CHAPITRE V.

et soit/(i) une coordonnée d'une étoile à la date t. On a

d'où

(7) /(O ~/('i) = ^yf'i^) = (i- '*)/'(^^)-

Dans l'application de cette formule on ne néglige, en vérité, que les termes de troisième ordre.

On déduit immédiatement des formules (6)

a — a, = (m'-i-n'tang8i sina,)(/ — ^,) -f- A(^ — ^i)* -4- B(r — fi)',

8 — oi = /l' cos ai ( ^ — ^, ) ■+- A'( ^ — ^1 )« -H B'( / — f 1 )»,

formules dans lesquelles m^ et n' représentent les coefficients de la première puissance de ^ — ti dans m et n. On en conclut qu'à une date C2,

fda\ , , ^ .

( -^ ) = ni^ H- /i; tangoj sin ai,

(^^j^^n,cosa,.

Par suite, si m^ et /ij„ désignent les valeurs de w! et n! à la date moyenne entre t el t^^ on aura, par l'application de la formule (7),

a — ai = (r — t^){ni'„, + n^n tang5,„ sina,„),

0 — 8, =(< — f,)/i;„cosa,;i.

On obtiendra les valeurs de cLm et de 5^» au moyen de valeurs approchées de la précession annuelle; on les tire ordinairement d'un Catalogue d'étoiles ou d'une table auxiliaire.

65. Cas où l'on connaît la variation de la précession annuelle. — A la date ^1, on a

dOL

-— =. m' -h n' tango, sina, h- 'ik{t — /,) -4- 3B(< — «,)«, ^ = n' cosa, -f. 2 A'(« - ^,) -+- 3B'(/ — r,)*.

PRÉGESSION DES BQVINOXES. 78

On peut regarder -j- comme étant la précession annuelle; 2 A en

est alors la variation en un an; 200 A en un siècle. 200 A et 200 A' s'appellent variations séculaires de la précession en ascension droite et en déclinaison.

Les Catalogues d'étoiles donnent, pour le commencement d'une certaine année tropique, les coordonnées moyennes des étoiles qu'ils renferment. La plupart donnent en même temps les valeurs de la précession annuelle pr à cette date; quelques-uns donnent aussi la variation séculaire s] quand cela a lieu, le calcul de la précession est des plus simples, si du moins on néglige les termes du troisième ordre; on a, en effet, pour la valeur de la précession annuelle àla date moyenne

t — tx s

et pour le changement total de coordonnées,

Divers astronomes ont construit des Tables auxiliaires pour faciliter le calcul des termes du deuxième et du troisième ordre; nous n'y insisterons pas, observant que, si l'on n'a qu'un petit nombre de transformations à faire pour lesquelles les termes du troisième ordre soient sensibles, on peut toujours revenir aux formules rigoureuses.

Tout ce que nous venons de dire des coordonnées équatoriales s'applique aux coordonnées écliptiques; il suffît de faire les changements de notation indiqués plus haut.

66. Détermination directe de la précession annuelle en ascension droite et en déclinaison. — La marche exposée, d'après M. Oppolzer, ddiis les paragraphes qui précèdent, a l'avantage de donner des formules rigoureuses applicables dans tous les cas. Il est possible de déduire directement des formules du § 56 les valeurs de la précession annuelle en ascension droite et en déclinaison, et d'obtenir immédiatement ainsi les formules du § 64 qui sont le plus ordinairement employées dans la pratique de l'Astronomie.

Désignons par L et B la longitude et la latitude de l'étoile par rapport à récliplique fixe, par a et 6 rascension droite et la déclinaison par rapport à Téquateur variable et considérons le triangle sphérique {fig- i6) qui a pour sommets : le pôle e de Técliptique fixe Ey relatif à i85o,o, le pôle a, de Téquateur variable Xm et Pétoile E. Les côtés de ce triangle sont

ag = e^, eE = 9o*' — B, aE — ^o" — ^,

et, l'arc de grand cercle aB étant perpendiculaire à e,l>v, et le

Fig. 16.

point B étant le pôle de ea, les angles opposés sont respectivement

E, 9o'-4-a-f-Xo, 90'' — L — 4^0.

On a donc entre ces éléments les relations

sinB = COS60 sino — sine© cos8 sin(a-i- Xq), cos B cos ( L -h tj^o) ~ cos 8 cos ( a -h X ), cosB sin(L -h <]^o) ~ cosso sinS -f- sioso cos8sin(a-+- Xq).

Dans ces formules, L et B sont des constantes et toutes les autres quantités des fonctions du temps. Ces formules, au reste, ne sont pas distinctes et se réduisent à deux.

Si on les difi*érentie, qu'on multiplie respectivement les trois

PRÊCESSION DES ÉQUINOXES. 75

équations ainsi obtenues par les coefficients de -j: dans ces mêmes équations et qu'on les additionne membre à membre, -j- disparaitra et Téquation obtenue donnera -jr* On trouvera -rj en élimi-

eia.

nant -^ entre les deux équations différentielles extrêmes. On

trouve ainsi

d^ dt

dAu d'bo

-f- tango -^ siiiSoSin(a-i- Ao) - cos(a -î- Xo ) ^,

dl dt

d^o r / ^ N • / ^ dio

= sin£o— 7- cos(a -h Âo) H- sin(a -t- Ao)-; ,r- •

(Il L SI n *o "Yo

Le quotient -j^ au bout d'un siècle n'atteint pas âôïïôôJ ^^^

carré est entièrement négligeable. Si on le négh'ge, les formules précédentes peuvent s'écrire

dl>3 , , . . . / . di, \d'\>o

5^0 -TT -^ tanfçosin£osin a 4- Ao : 77- ) -h ^

dt r u \^ u siii£o</^o/ dt

doL dX'Q

'di ' ~~ \lt

dû d'I^ . / , dzo \

dt dt \ sinÊo6^'%/

Or, les formules du n^ 56 donnent sensiblement

dzo

On a donc

en posant

sinso d'\>o

doL , , ^ .

. . z= m -h n lanf,'o?ina,

dlo d^o , . ^'^«

Si l'on prend pour ^J^o, Xo, So les valeurs données au § 56 l'application de ces formules donne précisément pour m' et n! les dérivées des valeurs données au § 59 pour m et r/, où l'on aura fait ^4 = o. Nous retrouvons donc exactement les résultats donnés au paragraphe précédent.

67. Influence de la natation. Passage des coordonnées moyennes aux coordonnées vraies. — Ayant les coordonnées moyennes d'un astre à une date l, on en conclut les coordonnées vraies en appliquant la nutation, c'est-à-dire en tenant compte des termes périodiques T et E de <L et s. Ces termes ne déplaçant que l'équateur sont sans influence sur la latitude et augmentent la longitude deW.

S'il s'agit des coordonnées équatoriales, on observera qu'elles se déduisent des coordonnées écliptlques par les formules

cos a cos 0 = cos X cos [3, (7) / sin acoso = — sin{3 sin t H- cosp coss sinX,

\ sin 8 = sin p coss -t- cos p sin £ sin X.

Nous devons calculer les variations que subissent a et S quand, ^ restant constant, \ s'accroît de W et e de E. On aura

ok ai

On déduit des équations (5)

^ — coss -h sine sina tango,

- cosa sins,

àOL

-r — cosa tango,

dt "~

= sina.

On en conclut pour la nutation en ascension droite et en déclinaison

doL — Wcoss -h tang8(V sina sins — E cosa),

dZ — ^ sins cosa -\- E sina.

68. Ayant les coordonnées moyennes d'un astre au commencement d'une année tropique, trouver les coordonnées vraies à une date quelconque de cette année. — Dans la pratique on a à passer des coordonnées moyennes relatives au commencement d'une année tropique aux coordonnées vraies relatives à une date quelconque de cette même année. Soit r l'intervalle de temps en fraction d'année tropique.