esin—j

tang

in = -|/-(/i-i-c — /i — e)sinM

" -^ V « \/rr^ "" y/'îT'e) ^*"*''

2V «V/i — e /i-he/

On pose fréquemment

e = sinçp,

et c'est même ainsi que l'on donne en général l'excentricité d'une orbite elliptique : on fait connaître ^ en degrés, minutes et secondes. On a alors

s/\-\-e — /sin90"H-siiiçp = i /2 sin(45*H- 21005(45° — -) = v/2 cos ('{5**— I j,

V^i — e = v/singo**-— sincp =i /2Cos{ 45°-4- -Isin (45* — -) = /2 cos f 45'»-h2 j,

y/\ — e* = cos«p, -/i — e= 2/2 1

1 /i-He-4-v/i — c= 2/200345* cos 2 = acos-

v/i-+-e — /i — e= 2/2 81045° sin -i- = 2 sin 5^,

En réunissant tous ces résultats on forme le Tableau suivant :

p = a{\ — e*) = a cos«(p,

i -h e cosc /• = a{\ — e CCS m), cosp-h e

ces a =

•e cosc

COSi' =

ces M — e r — «cosu

e ces - >

e sin - > '2

tang - = tangf 45°-l- ^ ) lang -,

4 / - ces - = i/i — Va 2 ^

i/- sin- = /i-f-

r sin c — a ces cp sin ^«, / rcost? = a(cosM — e)

( =2acos(^ + ? +45ojcos(^ -| ~ 45°),

sin = I / - sin - sin a = 4 / - sin -i- sin p,

•2 V r '2 V jO 2

. V -^ u , /a CD . , //• ç .

sin = 4 / - cos -i sin w = 4 / — cos -*- sm p,

83. Relation entre l'anomalie excentrique et le temps. — Nous avons dit que l'aire décrite par le rayon vecteur mené de la Terre au centre du Soleil est proportionnelle au temps employé à la décrire. Cette aire a pour élément différentiel - r^ dv. Si donc on

désigne par A une constante convenablement choisie, on a la relation

(II

^0 représentant la date à laquelle ç est nul, c'est-à-dire l'instant du passage du Soleil au point P de son orbite le plus voisin de la Terre.

L'intégrale qui figure au premier membre de l'équation (ii) s'obtient sans peine en fonction de l'anomalie excentrique.

Si, en eSel, l'on diiTérentie Téquation VII du Tableau (lo), on a

e du

cos' - cos* —

qui, en tenant compte de Téquation (5), devient

r dv = a /i — e^ du, de sorte que

- 1 r*dv= — /i — e* I (i — ecosa)aa= (w — csinu),

attendu que </ s'annule en même temps que (^. L'équation (ii) devient ainsi

(i3) u — esina = (< — Z^)).

Le second membre a reçu le nom d'anomalie moyenne. Cel angle croît en même temps que u et (^, augmente de 27c en même temps que u et i^, mais varie proportionnellement au temps. Celle équation (i3) est connue sous le nom adéquation de Kepler.

La constante — ; s'appelle moyen mouvement; nous la

représenterons par la lettre n. La durée de la révolution T esl

égale à

ait n

84. Résolution de l'équation de Kepler. — Quand on connaît l'anomalie moyenne à une époque quelconque, on en conclut l'anomalie excentrique en résolvant l'équation

(14) u — esmu = M,

La résolution de cette équation peut être faite par différentes raétbodes. Nous exposerons d'abord, à cause de son élégance et de sa rapidité, la métbode de Gauss.

On voit de suite que la dérivée de u — esinu est toujours positive. Cette fonction est donc toujours croissante; elle varie entre — 00 et -h<x>. L'équation a donc une racine unique.

Soit Uo une valeur approchée de u, x la partie complémentaire

UOUVEIfENT DU SOLEIL. — LOIS DE KEPLER. qS

u — i/o' Supposons Uq et x exprimés en secondes ; prenons dans une table logsini/o 6t la variation \ de logsini^o pour une variation de i'' de u^] concluons en loge'' sin i/o et cherchons la variation [jl de ce dernier logarithme pour une variation de une unité dans le nombre e'^sin^o-

Nous prendrons dans tous les cas X et a positivement sans nous préoccuper de leurs signes.

On a, en regardant la variation d'un nombre comme proportionnelle à celle de son logarithme et celle d'un arc comme proportionnelle à celle du logarithme de son sinus

e' s\n{U(^-V- x) — e" sinap lo^e*sin(woH-a7) — logc'sinMo

logsin(ao-*-a7) — logsinuo ^ log:sin(woH-^) — logsinao X a?

Seulement, si l'on ne s'est préoccupé que des valeurs absolues des quantités, on remarquera que, dans le premier et le quatrième quadrant, le premier membre augmente avec x\ dans les deux autres, il diminue. Donc

e'sin(Mo+3?)-- e* sinMo = =t -x,

en prenant le signe supérieur dans le premier et le quatrième quadrant, le signe inférieur dans les deux autres. Or on a ainsi

u^-h X — e' s\vl{uq-\- x) = M,

«0 -f- ^ — M — c' sin Mo = ± —X,

d'où

x(izp'-j = e'smuo-hM — Wo

/ X\ X = ( M — 1*0 H- «' sin Mo) f IH — j qz - ( M — 1*0 -H «' sin Mo)

et

(i5) M = Mo-f-ar= M-\-e' sin u^ài y (^^ "" Uo-h e' s'inuo),

85. Application numérique. — Pour éclaircir cette méthode, appliquons-la, avec Gauss, à l'exemple suivant : Posant

supposons

La valeur de cp donne

logc'= 4,7o4i5i3.

Dans la formule (i5) on devra prendre les signes supérieurs. Un calcul rapide, sur lequel il est inutile d'insister, de

M ■+■ e'sinM conduit à prendre

Mo = Saô^.

Nous donnons ci-dessous la disposition du calcul que nécessite Inapplication de la méthode de Gauss :

Première Deuxième Troisième

approximation, approximation, approximation.

fx 1,60 147 »>

[1— -X 128 ii7>75

logsinwo 1,74756/1 T,7663o58/i T,7663366n

logc'sinwo 4,45171 4,4704571 4879

M-hc'sintto — Mo — i'22'4i' — 8', 40 — o',oi

r-(M-h«'sinMo — Mo). — 20' 40' -- Îi'î09 »

jx A

M-Hc'sinMo 324®37'2o' 324'i6'3i',6o 29', 5o

On voit combien chaque approximation est rapide et combien les résultats convergent rapidement.

L'erreur primitive sur Uq étant

1^43' 3 1'= 6211% Terreur sur Ui est

11% Terreur sur 1/2 est

<o',oi,

et cependant la valeur de l'excentricité e est assez forte.

86. Comparaison de la méthode de résolution de Gauss à la méthode ordinaire de Newton. — La méthode de Gauss, que nous venons d'exposer, ne diffère pas essentiellement de celle de Newton,

puisque l'une et l'autre reviennent à négliger, dans un développement en série, les termes du second ordre. Mais les calculs numériques qu'entraîne la méthode de Newton sont environ deux fois plus longs. On en jugera aisément par le Tableau ci-dessous des calculs qu'elle nécessite :

Posant

la méthode de Newton revient à prendre

Wp— e'sinao— M I — e CCS Uq On a

loge = 7,3897262.

uo 326'» 324^16' 14* 324» i6'29'',5i

logsinuo 1,74756/1 T, 7663820/1 T, 7663366/1

loge' sinuo 4,45i7i ^ 4,47o5333/i 4,4704879/1

Mo— M -6°28'55' — 8''i2'4o',77 -8»i2'25',26

logcosMo T, 91857 7,9094402 »

logecoswo 7,3o83o 7,2991664 »

ecosMo o,2o338 0,19914 »

1 — e cos Wo o , 79662 o , 80086 M

Uo^M-e''s\nuo j ^^.

Iog(Mo— M — e'sinMo)-. 3,69648 1,09412/1 »

log(i — e cosMo) 7,90125 7,9o356 »

Iog(— ar) 3,79423 1,19066/1 »

l —6226' i5',5i — o^oi

uo-^ X 32^ 16' 14' 324° i6'29'',5i 324° i6'29',5o

87. Résolution de réquation de Kepler par la formule de Lagprange. — La formule de Lagrange a pour but le développement d'une racine z de l'équation (16) 5 — a9(a7-f--s) = o,

ou plus généralement d'une fonction de cette racine, suivant les puissances de a. Les conditions d'application de cette formule, telles qu'elles ont été énoncées par M. Rouché, sont les suivantes : Si la constante a est telle que le module maximum de

acp(ar4-3) («7) ^

soit moindre que l'unité pour un module p de z inférieur à celui pour lequel la' fonction (f{x-{-z) cesse d'être bien déterminée, finie et continue, l'équation (i6) aura une racine dont le module sera moindre que p, et n'en aura qu'une.

Désignant par Zt cette racine, par F(x + z) une fonction bien déterminée, finie et continue pour les valeurs de z dont le module ne dépasse pas p, la fonction F{x + ^i ) est développable en série convergente par la formule

F(a7 4-^,) = F(ar)-+- -F'(.r)cp(a?)

Cela étant, l'équation de Kepler, si l'on y représente l'excentricité par a, l'anomalie moyenne par x et que l'on pose u — x= z,

devient

z = OLsin(x -h z).

La fonction s\n{x -\- z) est bien déterminée, finie et continue pour toule valeur de z. Pour un module p de Zy le module

maximum de

asin(jr -+- z)

a lieu en même temps que celui de sin(a; -h z); on montrera au paragraphe suivant qu'il est égal à

ap

où e désigne la base des logarithmes népériens. Si donc

eP-+- e-9

l'équation (i6) admet dans le cercle de rayon p une racine unique, développable en série par la formule (i8) où l'on aura remplacé F(x -{-z) par x -{- z, ce qui donne

u = X -^Zi = X -h - sina?