dx^ ^ 1.2.3 dx

Ce développement s'applique donc à toute valeur de a qui ne dépasse pas le minimum de

e9-h e-p minimum qui a lieu pour

équation qui peut s'écrire encore

(20) ap — log^__=o.

On reconnaît aisément que l'équation (20) n'a qu'une racine positive comprise entre un et deux et on la trouve égale à

1,19967864, d'où y/p* — 1 = 0,6627434, ce qui est la plus grande valeur de l'excentricité pour laquelle l'anomalie excentrique puisse être développée en série par la formule (19).

88. Module maximum de sin(a; + z), où x désigne un nombre réel. — Posons

Nous aurons

sin(a?-h z) = sin(a?-h pc^O-

Le nombre conjugué est

sin(ar-t- pc-^O- «

Le carré du module est le produit des nombres conjugués. Il

est donc égal à

sin (a? -f- p e^') sin (ar -H p e-^') , ou à

ou encore à

i [e«p»»°6-H e-»?"»^»^— 2 cos2(a7 -H p cosô),

- [«•P''"^-^ e-«P»*"^ — 2cos(2pcos6)]-H sin:rsin(a; -h 2p ces 6).

Le second terme a pour maximum l'unité et prend cette valeur pour a: = - et y = -•

Le premier est maximum pour 0 = - • En effet, pour avoir toutes

les valeurs de cette fonction, il suffît de faire varier 8 de o à -• Sa

lOO DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.

dérivée par rapport à 0

(eïp«i»ô e-*P''"®)2p cos6 — 4 8in(2p cos6)p sinô

peut s'écrire

^2psin6 8p»sin»6 32p»sin»6

ou

^/2psine Sp'sin'e Sap^sin^B \ , . ^ • / nv

4pcose ( -^ h -^ 5 i o r c '") — 4psinesin(2pcose)

, . . ^r 4p*siii*6 i6p*sin*6 sin(2pcos6)l

^^ L 1.2.3 1.2.3.4.5 2pcosO J

forme qui montre que cette dérivée est toujours positive.

La fonction sin(a: + ^) a donc pour module maximum la racine carrée de

-(e«PH-c-*P-- 2)4-1 ou

i(cP4-C-P).

89. Développements en série du sinus et du cosinus de l'anomalie excentrique et de ses multiples. — Le sinus et le cosinus de u en sont des fonctions bien déterminées, finies et continues. On peut donc leur appliquer la formule (18) et Ton obtient les formules suivantes dont la troisième résulte immédiatement de la

seconde

sinu = sinâ7-i — cosârsioâ;

OL^ d a' d^

H r- (cosaf sin*ar)H ;r ~,-r(co%xsm^x)^. . .,

1,2 dx ' 1 .2.3 dx^^ '

a . . a* c? . . a» rf* . ,

cosw = cosx sin*:r r-sin*a: -7-— sin^x —

I \ ,1 dx 1.2.3 dx^

— = I — acosj7H sin«a:-f- -, — -H x — -j-^ r- —

a I \ .2 dx 1.2.3 dx^

On obtiendrait d^une façon toute semblable les développements de smmu et co^mu en séries procédant suivant les puissances de l'excentricité. Les coefficients dépendent des dérivées d'expressions de la forme sin mx sin/'a? ou cosm^ sin/'jc. Le calcul de ces dérivées se fait de la façon la plus simple en développant ces pro duitsen fonctions linéaires de sinus ou cosinus de multiples de x.