Développement de l'anomalie vraie. — L'application de la
IfOUVEUENT DU SOLEIL. — LOIS DE KEPLER.
toi
formule de Lagrange ne donne pas immédiatement le développement de Tanomalie vraie en séries [ordonnées suivant les puissances de rexcentricité. Laplace a démontré dans le Supplément au Tome V de la Mécanique céleste qu'un tel développement est convergent pour les mêmes valeurs de Texcentricité que celui de Fanomalie excentrique.
Pour effectuer aisément ce développement, on peut développer d'abord v — u suivant les sinus des multiples de «. On a, à cet effet,
(v/i-t-e — /i — c) tang - . .
V — u ' ° '2 A sin M
tang— —
en posant
VI — e H- / 1 -t- € tang* -
/iH- e — )/\ — e e
1 — X ces a
On en déduit, par les formules données au Chapilre IX de la première Partie de cet Ouvrage,
{iil) <> — M = 2Asmw-H2 — sinaa-f-a-^-sinSaH-
Il ne reste plus qu'à remplacer u^ sinz/, sin2i^, ... par leurs développements en séries de sinus de multiples de M.
En allant jusqu'aux termes du septième ordre par rapport à une excentricité, on trouve les expressions suivantes du rayon vecteur et de l'anomalie vraie, où l'on a posé
cosM
— l'àe'^— •^c'*-H4e'«jcosaM
U e'3 - j e'» -h ^^ e't\ ces 3 M
— ( -5-e* r-e« lcos4M
cos5M
lOa DEUXIEME PARTIE. — CHAPITRE YI.
el
i. = M -4- ^4^'- 2c'»-f- I e'6-f- ^ e'A sinM
+ /s c'« - y e'* -f- i| c'«^ sin 2 M
H ^ c « sm6M -+- -^~ e'7 sin7M.
Il est aisé de se rendre compte de la forme générale de chacun de ces développements. En effet, ç est une fonction impaire de u et, par suite, de M, et r une fonction paire; pour ces motifs, le développement de r ne renferme que des cosinus et celui de v que des sinus.
Si l'on change e en — e el que Ton augmente M de it, m augmente de Tt et r ne change pas. Pour ce motif, les coefficients de cosinus ou sinus de multiples impairs de M sont des fonctions impaires de e et les coefficients de cosinus ou sinus de multiples pairs de M sont des fonctions paires. On voit de suite, en se reportant à la formule (19), à celles du § 88 et à la formule (22), pourquoi les coefficients de coseM et de sin/M sont d'ordre / par rapport à e.
