Autre développement de Tanomalie excentrique. — Si, dans

l'équation de Kepler

M — csina = M, nous posons

esinM ^ 1 — ecosM "~ '

cotM = fi, elle devient

a: = e H- e[cosa? — i-h [Ji(sina7 — x)].

Pour appliquer à cette équation la formule de Lagrange, remplaçons le premier terme du second membre par une autre lettre a de sorte que, posant

f(x)=i—[i — cosx-^il{x — sina?)],

TéqualioD deviendra Nous aurons

Si nous remetlons £ à la place de a, nous aurons

On observera que /(e) est du second ordre par rapport à e, que dans cette expression le terme [/.(e — sine) paraît pouvoir grandir si [x est grand, ou si M est voisin de o ou de 7t; mais il n'en est rien, car on a

e cosM

•te = ,

' 1 — e cosM

de sorte que [jls est, dans le cas dont il s'agit, du même ordre que <?, et, par suite, /(s) est du second ordre.

D'après cela, Tordre de chaque terme de la série (25), surpasse de deux unités l'ordre du terme précédent.

Si Ton ordonne les termes suivant les puissances de [jl, on voit sans peine que les termes en [jl* sont au moins de l'ordre 3Ar -f- i , de sorte que l'on a

a? = Ai4- A^fi-h A7fA«-+- Aiofx»-!-. ..,

A< , A4, . . . étant successivement du premier ordre, du quatrième, du septième, etc.

Dans le cas du Soleil, on a

loge = 2,2245, d'où

loge* = 8,8980, d'où

log(e*)'=2,20,

de sorte que les termes en e* sont négligeables, et Ton a, avec une approximation suffisante

6* e sinM i / esinM

2 I-— ccosM

1 / esinM \*

2 \i — ecosM/

II est juste de remarquer que l'application de la méthode de Gauss pour la résolution de l'équation de Kepler n'est pas beaucoup plus longue que l'application de cette formule.

Pour les calculs à cinq décimales, l'Observatoire de Berlin vienl de publier des tables à double entrée, donnant les valeurs de l'anomalie vraie connaissant celle de l'anomalie moyenne M et de l'angle d'excentricité o = arc sin^. Les valeurs de M vont de degré en degré ; celles de o de 20' en 20'. La table est accompagnée de tables auxiliaires permettant l'interpolation.

92. Équation du centre. — On appelle équation du centre le résultat obtenu en retranchant l'anomalie moyenne de l'anomalie vraie. Il importe d'en étudier la variation.

On a '

dt ""7/7 ^' '

On a aussi

d'où

dv /■

(' — M) /aVi — e« \

L'équation du centre est nulle au périhélie. Immédiatement

après sa dérivée est positive, le rayon vecteur étant égal en ce

point à a(i — e). Le rayon vecteur r augmente jusqu'à l'aphélie,

où il est égal à a{\ -\- e)] en ce point la dérivée de l'équation du

centre est négative. Donc l'équation du centre nulle au périhélie

croît, est maximum pour

et décroît ensuite jusqu'à l'aphélie où elle est nulle de nouveau.

De l'aphélie au périhélie elle repasse en sens inverse par les mêmes valeurs.

On constate aisément qu'au point où l'équation du centre est maximum on a

COSP =

(,eï)4, ,