MOUVEMENTS DES PLANÈTES ET DES COMETES
de sorte que, si A désigne la distance de la planète à la Terre et X sa longitude comptée à partir de la direction O^, on a
A cos X = — a cos nt — a! ces n' t^
A sinX = — asinn^ — a'sin/i'^,
d'où
^ asinnf H-a'sin/i'if
langA = ; r:*
° a cos /li 4- a cos 71^
On en conclut
r^ /iflf*-+- /ji'a'*-h (n-h /i')aa'cos(n — n^ ~ a*-i- a'* H- 2 aa' cos (/i — n^)t
formule dont le dénominateur est toujours positif.
Si l'on élimine a' au moyen de la relation de Kepler qui sera donnée plus loin
on reconnaît que la longitude X, ordinairement croissante, décroît quand la valeur absolue de {n — n')t est comprise entre (aA" -j-i)?rH- Cl) et (2A"H-i)ti — co, k étant un nombre positif, et 03 Tangle aigu dont le cosinus est
i 1/ i JL\
a — \/aa ■+- a
nombre toujours moindre que i .
De sorte que, pour chaque planète inférieure, le mouvement est rétrograde dans le voisinage de la conjonction inférieure, pour chaque planète supérieure dans le voisinage de l'opposition.
D'autre part, si Ton désigne par z l'angle sous lequel de la Terrr
OH voit le Soleil et la planète, on trouve, en appliquant au triangle
formé par les trois astres la relation entre les côtés et les sinus des
angles opposés,
a' sin(/i' — n)t tangos = , . . — —^^y
qui montre que, pour les planètes inférieures, l'angle z n'atteint jamais 90**, ce qui est au reste évident, puisque c'est l'angle sous lequel d'un point extérieur à un cercle on voit un rayon de ce
cercle. De cette formule on déduit
dz __ (n — n')a'[a'-h aco3(n'— n)t] dt '" a*-ha'*-h 2aa'cos(/i'— /i)<
qui montre que pour une planète supérieure l'angle z croît codslamment, ainsi que cela a été constaté par l'observation, tandis qu'une planète inférieure cesse de s'éloigner du Soleil pour s'en rapprocher ou inversement quand on a
cos (n — n)t = ,
c'est-à-dire quand (n' — n)t est comprise entre (2 A: -|- i)7t-|- w'el (2k -\- i)iz — o)', (o' étant l'angle aigu défini par
nï
COSb)'
On voit sans peine que, n' étant plus grand que /i, co' est plus grand que (0.
En fait, les formules précédentes ne donnent qu'une approximation sommaire, les orbites n'étant ni circulaires, ni situées dans un même plan, et les divers angles varient comme il suit :
L'étendue des plus grandes digressions de Mercure, ou de ses plus grands écarts de chaque côté du Soleil, varie de 18** à 32**. Jj'intervalle entre deux retours à la même position par rapport au Soleil varie de 106 à i3o jours. L'arc mojen de sa rétrogradation est d'environ iS** et sa durée de 23 jours; elle commence à 20® du Soleil. Sa latitude varie de — 5** à -h 5**.
Les plus grandes digressions de Vénus varient de 5o° à 53°, et l'intervalle entre deux retours à la même position par rapport au Soleil est de 584 jours. L'arc de la rétrogradation qui commence à 32° du Soleil est de 18° environ et sa durée de 4^ jours. La latitude peut atteindre plusieurs degrés.
Pour les planètes extérieures, l'amplitude et la durée de la rétrogradation et la révolution sjnodique, ou l'intervalle entre deux retours à la même position par rapport au Soleil, ont les valeurs suivantes :
