SPHÈRE CÉLESTE. COORDONNÉES D UN ASTRE, ETC

Or, si Ton envisage les équations

arX-f- j^Y -4-^Z =i,

on constatera qu'il existe un système de valeurs deX, YetZ satisfaisant à toutes ces équations, quel qu'en soit le nombre. Il s'ensuit que l'on peut regarder pendant toute la nuit considérée le pôle du monde comme fixe, et l'étoile comme restant à une distance constante de ce point. Car si l'on pose

on obtient

-^ = X«-^Y«+Z«, a?o=PX, ^o=PY, ^o=PZ.

Ayant ainsi les coordonnées ^oj ^o» ^o du pôle du monde, on aura son azimut Âo et sa hauteur ha par les formules

cosAo cosAo= ^o> cos^o sin Ao = ^o- sinAo = ^o*

Si l'on compare de la même manière des observations d'une autre étoile, faites la même nuit, ou dans une autre nuit aussi éloignée que l'on voudra de la première, on trouvera toujours le même pôle.

Si l'on diminue de i8o** l'azimut Ao, on aura l'azimut du point sud. En retranchant ce dernier de tous les azimuts mesurés, on aura les azimuts comptés du point sud; ce sont ces angles que nous emploierons désormais.

Soient {fi g' 2) :

P le pôle du monde ; Z le zénith ; E l'étoile.

Joignons ces trois points par des arcs de grands cercles.

Dans le triangle sphérique PZE, le côté PZ est la distance zénithale du pôle; le côté ZE est la distance zénithale de l'étoile; l'angle Z est le supplément de l'azimut; ces trois quantités sont

connues. La résolution du triangle fera connaître l'angle horaire de rétoile et sa distance polaire.

Si l'on fait le calcul pour toutes les observations d'une même éloile faites dans une même nuit, on constatera que les différences des angles horaires sont proportionnelles aux intervalles de temps

correspondants. Si, de plus, on en déduit le temps pendant lequel l'angle horaire varie de Sôo**, on constatera que cet intervalle de temps est le même pour une étoile que pour une autre étoile, observée dans la même nuit, ou dans une nuit aussi éloignée que Ton voudra de la première.

Il suit de là que :

I" // existe une droite, dont la position parait sensiblement invariable par rapport à Vobservateur, autour de laquelle, dans une même nuit, toutes les étoiles tournent uniformément et avec la même vitesse angulaire,

2° Cette vitesse angulaire reste absolument constante.

Il est nécessaire de dire dès à présent que, si l'on détermine la distance polaire d'une même étoile par des observations faites dans deux nuits un peu éloignées l'une de l'autre, on ne trouve pas des résultats rigoureusement identiques.

Le mouvement diurne de la sphère céleste est une apparence due au mouvement de rotation de la Terre autour d'un axe qui est fixe par rapport à la Terre elle-même. Ce mouvement de rotation est uniforme, et sa vitesse angulaire est constante. Mais Vaxe de la Terre n^a pas une direction fixe dans V espace. Cet axe a un mouvement lent qui devient à la longue très considérable, et dont nous étudierons Teffetsur les coordonnées des étoiles sous le nom Ae précession et de nutation.

9. Propriété du méridien. Étoiles circumpolaires. — Nous ne pouvons terminer cette étude du mouvement diurne sans énoncer

SPHÈRR CÉLESTE. COORDONNÉES d'uN ASTRE, ETC. 9

ce théorème dont la démonstration est bien aisée : Le méridien est le seul plan vertical qui divise en deux parties égales le parallèle décrit par une étoile et la partie de ce parallèle située au-dessus de V horizon.

Ce théorème donne un moyen immédiat de déterminer le méridien d^un lieu.

Nous remarquerons aussi que les seules étoiles visibles en un point de la Terre sont celles dont la distance polaire est inférieure au supplément de la hauteur du pôle au-dessus de l'horizon.

Quand la distance polaire est moindre que la hauteur du pôle, l'étoile ne se couche pas.

10. Troisième système de coordonnées. Ascension droite et déclinaison. — Le plan fondamental est encore Véquateur; mais l'origine de la première coordonnée n'est plus un point fixe par rapport à l'observateur, mais un point indépendant de la position de l'observateur à la surface de la Terre.

L'ascension droite se compte dans le sens direct (de l'ouest à l'est en passant par le sud), de o** à Sâo*", on, en temps, de zéro à vingt-quatre heures, l'introduction des heures ayant le même motif que pour l'angle horaire.

Nous représenterons généralement l'ascension droite par a, la déclinaison par 8; ces coordonnées caractérisent l'étoile; elles sont indépendantes du mouvement diurne.

On appelle jour sidéral l'intervalle de temps qui s'écoule entre deux passages supérieurs consécutifs de l'origine des ascensions droites au méridien.

Uascension droite d'un astre (en temps) est é^ale à Vheure sidérale au moment du passage de cet astre au m,éridien; à un instant quelconque on obtient l'angle horaire d'un astre en retranchant son ascension droite de l'heure sidérale.

Nous verrons plus tard que le centre du Soleil paraît, à chaque instant, décrire une orbite dans un plan passant par le centre de la Terre. Le plan mené par le centre de la sphère céleste parallèlement au plan de cette orbite s'appelle écliptique. Ce plan est incliné de 28°, 5 sur le plan de l'équateur. Les grands cercles suivant lesquels la sphère est coupée par ces deux plans se coupent en deux points qu'on appelle les nœuds. Celui de ces points où le

lO DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.

Soleil passe de Théinisphère nord dans rhémisphère sud s^appelle point vernal; c'est ce point qui est l'origine des ascensions droites.

Les coordonnées rectangulaires correspondant au troisième système ont pour axe des z l'axe du monde; l'axe des x est dirigé vers le point vernal ; l'axe des y est dans l'équateur et son ascension droite est 90". Ces coordonnées sont

X = rcosS cosa, y = rcosS sina, z = rsinS.

11. Quatrième système. Longitude et latitude. — Le plan de Vécliptique est ici le plan fondamental, he point vernal est l'origine de la première coordonnée qui se compte comme l'ascension droite dans le sens direct. La latitude est positive quand l'astre est dans celui des deux hémisphères déterminés par l'écliptique où se trouve le pôle nord de l'équateur.

Les grands cercles perpendiculaires à l'écliptique se nomment cercles de latitude; ceux qui sont perpendiculaires à l'équateur se nomment cercles de déclinaison.

Si nous désignons par X la longitude et ^ la latitude, les coordonnées rectangulaires correspondantes sont

X = rcosp cosX, y = rcosp sinX, z = rsinp.

11 faut bien remarquer que l'axe des x est le même dans le troisième et dans le quatrième système; c'est la droite qui joint le centre de la sphère au point vernal.

12. Changement de coordonnées : passer du second an troisième système et inversement. — Les deux coordonnées d'une étoile dans l'un quelconque des quatre systèmes déterminent complètement la position de l'étoile; par conséquent les coordonnées des trois autres systèmes peuvent s'en déduire. Nous allons traiter avec détail tous les problèmes de cette nature.

Nous avons déjà dit tout ce qui est nécessaire pour passer du

SPHÈRE CÉLESTE. COORDONNEES d'uN ASTRE, ETC. Il

deuxième au iroisième système, ou inversement. La deuxième coordonnée, la déclinaison, appartient aux deux systèmes. Soient :

a l'ascension droite;

t l'angle horaire;

T rheure sidérale à Tinstant dont on s'occupe.

T = a -f- ^, d'où

L'heure sidérale T est donnée à chaque instant, dans tout observatoire, par un instrument nommé pendule sidérale qui marque o**o"o* quand le point vernal passe au méridien, et qui marche de vingt-quatre heures en un jour sidéral.

Puisqu'il est si facile de passer du deuxième au troisième sys* tème, ou inversement, il ne reste plus qu'à traiter quatre problèmes : passer du premier au deuxième ou du second au premier, du troisième au quatrième ou du quatrième au troisième.

13. Ayant l'azimut et la hauteur d'un astre, trouver l'angle horaire et la déclinaison, et vice versa. — Les formules de la Trigonométrie sphérique s'appliquent immédiatement aux deux premiers cas que présente le changement de coordonnées.

Soient :

A {fig' 3) l'azimut;

h la hauteur; ^

t l'angle horaire ;

8 la déclinaison ;

ç la hauteur du pôle au-dessus de l'horizon ;

E l'étoile.

Considérons le triangle sphérique qui a pour sommet le pôle P du monde, le zénith Z et l'étoile E. Les côtés de ce triangle sont

90°- A,. 90°- 5, 90°-?, les angles

L'angle E s'appelle souvent angle parallac tique ; dans la plupart des cas on n'est pas intéressé à le connaître.

Dans le premier problème, on donne A, cp, A; on connaît donc ZE, ZP et l'angle compris Z.

Fig. 3.

Dans le problème inverse, on donne S, ç, / ; on connaît encore deux côtés, PE, PZ, et l'angle compris P. Les formules fondamentales donnent une solution de chacun de ces problèmes; nous les écrirons successivement.

Premier problème.

sin 8 = sin cp sin h — cos <p cos h cos A. cos8 sin< = cos A sin A, cos 8 cos t = sin h cos cp + cos A sin cp cos A,

Second problème, sin h = sin o sin ^ -i- cos 8 cos <p cos t, cos A sin A = sin ^ cos 8, '. cos A cos A = — sin 8 cos<p -+- cos 8 sincp cos t.

On rend ces formules calculables par logarithmes, en posant

s'mh = mcosM, cos h cos A = m sin M,

sin 8 = mi sinMi, cos 8 cos^ = mi cosMi,

(i3 bis)

Premier problème, sin 8 — m sin(cp — M), cos 8 sint = cos h sin A, cos8 cost = m cos(«p — M).

Second problème, sinh = mi cos(cp — M), cos// sin A = sin ^ cos 8, cosAcosA = m 5in(cp — Mt).

SPHERE CÉLESTE. COORDONNÉES d'UN ASTRE, ETC.

Les formules (12) du Chapitre VIII de la première Partie de cet Ouvrage donneot pour le premier problème les précieuses formules de vérifications suivantes :

sin(A — /) = 2insin(45"— 2 J sécA sin^sin (45"— M -f- ?)>

sm— — = 7?i sin(45*— i jsec cosf 45"— M -H - )>

et pour le second problème

sin(A — 0 = 2/nisinU5°— ?) sécSsinA sinM )°h- Mi— îji

sm = /ni sm f 45" I séc cos ( 4^° -<- Mi — -i- j .

On peut encore résoudre les mêmes problèmes au mojen des formules de Delambre. Elles donnent

;in(45o--) ,m(45«- ;) os(45o~|) os (45--^) .n(45o-^)

OS (45° ) sin

os (45* )cos

E— f A A-f-© cos = cos — cos ^,

sm =sm- sm i,

cos =cos— sm '- ^

■- sm - cos • 3

sm- cos j

cos — cos - sm -i ,

= sm - sm -i ,

cos- COS-î^ •

Les formules (i3) et (i4) sont établies en supposant Tazimut et l'angle horaire moindres que 180®. On voit aisément que, dans le cas contraire, il suffit de remplacer A par Sôo** — A, t par 36o** — t. Si Ton change en même temps E en — E, les formules restent les mêmes.

14. Constructioii de Tables auxiliaires pour faciliter la transformation quand les observations sont faites en un môme lieu. — Dans

un même observatoire, cp est une constante. On en peut profiter pour arranger les formules (i3) de telle façon qu'elles dépendent de quantités auxiliaires fonctions d'une seule des données (A ou t suivant le problème) et susceptibles, par conséquent, d'être réduites en Tables.

Rendons calculable par logarithmes la première des formules (i3) en faisant dépendre la quantité auxiliaire, non plus de A et A (ou de 8 et /), mais de cp et A, dans le deuxième problème de cp et t.

Nous poserons à cet égard

sincp cos<p cosA

Comme on trouve

= mcosB, = msiaB,

sincp = /»! cosBi, coscp cos^ = m\ sin Bi.

m* = I — cos* cp sin< A,

: î — cos*cpsin*^,

m et rrii sont moindres que i en valeur absolue; nous les désignerons par sin Y et sin yi . On a alors

coscpcos A = sin Y sinB, coscp cost = sin^i sinBi, coscp sinA = cosY, cosç sin^ = cos^i,

en supposant que l'on choisisse y de telle manière que son cosinus ait le signe de cos cp sinA.

La première des équations (i3) devient

(i6) sinS = sin^ sin(A — B).

Si A restant invariable, h devient égal à B, 8 devient nul. Donc B est la hauteur du point de l'équateur dont Tazimut est A. Soit ^o l'angle horaire de ce point. En lui appliquant les équations (i3), on a

io = sincp sinB — cos cp cos B cos A, ,,, sin*o= cos B sin A, cos^o= coscp sinB

-h sincpcosB cos A.

(i6) sinA = sin^i 8in(§ H- Bi).

Si t restant invariable, 8 devient égal à — Bi, h devient nul. Donc — Bi est la déclinaison du point de l'horizon dont l'angle horaire est t.

Soit Ao l'azimut de ce point.

o = — sincp sinBi

SPHÈRE CÉLESTE. COORDONNEES d'uN ASTRE, ETC. l5

Les équalioDs (i5) définissent les constantes auxiliaires

Y et B fonctions de <p et de A, ^i ^^ ^i fonctions de cp et de t.

Mais, dans un même observatoire, <p est constant; donc

Y et B sont fonctions de la seule variable A, Yi et Bi sont fonctions de la seule variable t.

On peut construire des Tables auxiliaires (pour un même observatoire) qui donneront

Y et B pour toutes les valeurs de A, Yi ®^ ^1 pour toutes les valeurs de t.

Les mêmes Tables serviront pour les deux problèmes. Ayant ces constantes auxiliaires, il est aisé de tirer des formules (i3) et (17) d'autres équations donnant rapidement

^ et 8, A et h.

On a d'abord l'équation (16).

Si Ton multiplie, membre à membre, la troisième équation (i3) par la deuxième équation (17), la deuxième équation (i3) par la troisième équation (17) et que l'on retranche membre à membre, on trouve

Icos8sin(^o — ') = sinA cos<p sin(A — B) = cosY sin(A— B), cosÀsin(Ao — A) = — sin^coscp sin(8 -h Bi) = — cosYi sin(8 -h Bi).

Si l'on multiplie, membre à membre, les équations (i3) par les équations (17) et qu'on additionne les résultats, on trouve

(19) cosS cos(^o-- ^) = cos(A — B), cosAcos(Ao— A) = cos(8 -f- Bi). Les équations (16), (18), (19) donnent rapidement

S et ^0 — 'î ^ et Ao — A, par leurs tangentes, pourvu que l'on ait sans calcul Y, B, ^0, Yi» ^1» ^0.

Or on déduit des équations (17)

sin ^0 = cos B sin A, sin Aq = cos Bf sin t^

(20) ^ cosîpcosfo= sinB, cos(p cosAo= sinBi, sincp cos^o= cbsB cos A, sincp cosAo= cosBi cos/,