MOUVEMENTS DES PLANÈTES ET DES COMÈTES. I

parvint au moyen de quatre observations de Mars failes les 4 mars i Sgo, 28 janvier 1 Sga, 7 décembre i SgS et 26 octobre i 5q5^ à des intervalles de temps 1res voisins de la révolution sidérale de Mars. II commença, en tenant compte du mouvement connu de Mars, par ramener les observations aux 4 mars i Sgo à 7^* 1 0°*, 20 janvier 1592 à 6** 45°*, 7 décembre iSgS à 6*'i5™, 20 octobre iSgD, à 5*" 45™, dates séparées exactement Tune de l'autre par une révolution sidérale, de sorte qu'à ces quatre dates le rayon vecteur joignant le Soleil à la planète occupait la même position dans l'espace. De plus, la latitude de la planète était négligeable, de sorte que l'on pouvait sans erreur sensible admettre que la planète était dans l'écliptique même. Soient T la première position de la Terre (Jig' 28), M celle de Mars. On connaît les longitudes de ST, de SM et de TM. On a donc les angles T et M et par suite le rap-

ST port^jTj- Il s'ensuit que l'emploi des quatre observations donne

les rapports des quatre rayons ST. C'est la comparaison des résultats qui conduisit Kepler à modifier les idées admises sur l'excentricité de l'orbite de la Terre et à prendre à l'égard de cette orbite, comme à l'égard des autres planètes, pour point d'égalité le symétrique de S par rapport à C.

Quant à la direction SM, elle était déduite par Kepler d'une recherche antérieure dans laquelle il avait étudié le mouvement de Mars (Chap. XVI et suivants de son Ouvrage) d'après douze observations d'oppositions de Mars faites de 1 58o à i6o4) observations qui donneraient directement la position exacte de Mars vu du Soleil si l'on faisait abstraction des latitudes.

Une fois en possession des vraies distances de la Terre, et par suite de celles de Mars au Soleil, Kepler put procéder à la recherche de l'orbite exacte. Il n'y parvint que par de longs tâtonnements, au cours desquels il entrevit que la cause qui déplace les planètes réside dans la masse du Soleil. Il reconnut d'abord que l'orbite de Mars n'était pas circulaire, supposa ensuite que c'était une courbe oviforme, et ne parvint qu'après de longs essais, à la fin de la IV* Partie de son Ouvrage, à reconnaître que Vaire décrite par le rayon vecteur mené du Soleil à la planète est proportionnelle au temps et que la courbe est une ellipse dont le Soleil occupe un foyer, Kepler avait travaillé sept ans environ à l'étude

du mouvement de Mars. C^est en i6o5 qu'il parvint aux deux lois qui, avec la suivante, ont immortalisé son nom.

Ce n'est que le i8 mars 1618 qu'il trouva la relation entre les durées de révolution des diverses planètes et les grands axes de leurs orbites :

Les carrés des temps des révolutions sont proportionnels aux cubes des grands axes.

Kepler avait cherché cette loi pendant vingt-deux ans. Ce n'est qu'après beaucoup d'autres essais qu'il eut l'idée de comparer les durées des révolutions aux grands axes des orbites. Il n'avait pas encore, à cette époque, pour cette comparaison, la ressource des logarithmes qui aujourd'hui donneraient la loi en quelques minutes et dut comparer diverses puissances les unes aux autres. C'est au Chapitre III du Livre V d'un Ouvrage intitulé : Harmonia mundi, etc., publié en 1619, que Kepler fît connaître cette troisième loi non moins importante assurément que les deux premières.

115. Énoncé exact des lois de Kepler. — Nous verrons au Chapitre X comment Newton s'éleva de la connaissance des lois de Kepler à celle de la loi générale qui régit les mouvements célestes et comment, en regardant cetle loi comme vraie, on en déduit inversement les lois de Kepler. Il est nécessaire d'indiquer dès à présent que cette marche a modifié quelque peu l'énoncé donné par Kepler de ses lois qui prennent les formes suivantes :

Chaque planète {ou comète) se meut dans un plan passant par le centre du Soleil.

La trajectoire est une section conique dont le centre du Soleil est un foyer.

Le mouvement sur la trajectoire se fait de telle façon que les aires décrites par le rayon vecteur mené de la planète au Soleil sont proportionnelles aux temps employés à les décrire.

Pour les divers corps célestes considérés {planètes ou comètes) les carrés des aires décrites par les rayons vecteurs dans l'unité de temps sont proportionnels aux produits des paramètres des orbites par la somme des masses de l'astre et du Soleil.

MOUVEMENTS DES PLANÂTES ET DBS COMÈTES. I29

Ces énoncés diffèrent de ceux de Kepler en trois points. Les lois s'étendent aux comètes aussi bien qu^aux planètes et l'orbite peut être une section conique quelconque, ellipse, parabole, hyperbole. Pour ces deux dernières sortes de trajectoires, il ne peut être question de durée de révolution, et la nouvelle forme adoptée pour la dernière loi a l'avantage de s'appliquer à une section conique quelconque. Enfin le dernier alinéa fait intervenir la somme des masses du corps céleste et du Soleil : les masses des planètes sont trop petites vis-à-vis de celle du Soleil pour qu'il fût possible à Kepler de reconnaître la présence de ce facteur.

Si l'on prend pour unité de masse la masse du Soleil, que l'on désigne par jx celle de Tastre considéré, par ip le paramètre de son orbite, par g le double de l'aire décrite dans le temps t par le rayon vecteur mené du Soleil à l'astre, et par k un nombre entièrement déterminé, Tensemble des deux dernières lois est compris dans la relation

Dans le cas où l'orbite est une ellipse, la valeur de g pour une révolution entière de durée T est

a désignant le demi grand axe. La relation (a) devient

T v/iTh- jJL ~

de sorte que l'on a, en négligeant u,

-^^ = const.,

ce qui est l'énoncé donné par Kepler pour sa dernière loi.

116. Valeur de la constante de Gauss. — On a adopté pour la constante k la valeur déterminée par Gauss en partant de la révolution de la Terre. Gauss a pris pour unité de temps le jour solaire moyen, pour unité de longueur le demi grand axe de l'orbite B.-II. 9

l3o DEUXIEME PARTIE. — CHAPITRE VII.

terrestre et a adopté les valeurs suivantes

Il en a conclu qui donne

IogA: = 2,235 58i 44i 4, \ogk^ = 3,55ooo6 574 6,

k" désignant le produit de k par le nombre de secondes que renferme un arc de cercle de longueur égale à celle du rayon.

Depuis la publication de l'Ouvrage de Gauss ( Theoria motus corporum cœlestium) Le Verrier a montré que les valeurs numériques adoptées par Gauss ne peuvent être conservées. Notamment la masse de la Terre a dû être augmentée d'environ un dixième de sa valeur. Néanmoins on est convenu de ne pas modifier la valeur de la constante k et de se borner à changer la signification astronomique de Tunité de longueur, qui est un peu inférieure à la moyenne distance de la Terre au Soleil.

117. Remarques sur les orbites. — Nous ajouterons à ce qui précède quelques explications relatives aux orbites elles-mêmes.

Si l'on prend pour pôle le centre du Soleil et pour axes de coordonnées deux droites rectangulaires quelconques situées dans le plan de l'orbite, l'équation de cette orbite est

(i) r = aar-f-p^-hY.

En Astronomie on suppose toujours les rayons vecteurs positifs. Dans cette hypothèse, y est essenliellement positif. Ce fait résultera de la valeur que nous obtiendrons en déduisant les lois de Kepler de la loi de Newton. Nous trouverons

f étant l'attraction exercée par l'unité de masse sur l'unité de masse à une distance égale à i et A une constante réelle.

D'autre part, on peut, en faisant tourner les axes de coordonnées autour de O j?, ramener l'équation (i) à la forme

{2) r-hea: = Y,

MOUVEMENTS DBS PLANÈTES ET DBS COMÈTES. l3l

e désignant un nombre positif et y ayant la même valeur que dans l'équation (i)

Si e est moindre que i, l'orbite est une ellipse; c'est une parabole si e = I , une hyperbole si e est plus grand que i .

Si l'on remplace les coordonnées rectangulaires par des coordonnées polaires r, 6 ayant pour pôle l'origine et pour axe polaire l'axe des x^ l'équation (2) devient

i-h iscosO

Elle montre que dans les orbites elliptiques ou paraboliques y est positif.

Dans les orbites hyperboliques les valeurs positives de r correspondent à l'une des deux branches de l'hyperbole, les valeurs négatives à l'autre. Si y est positif, la première branche est celle qui tourne sa concavité vers le pôle; si y était négatif, ce serait l'autre branche. Le changement de signe de y reviendrait à remplacer / par — /, ou l'attraction exercée par le Soleil sur la planète par une répulsion. Il s'ensuit que la seule branche d'hyperbole qu'un astre puisse décrire autour du Soleil est celle qui tourne sa concavité vers le Soleil.

Nous ne nous occuperons dans cet Ouvrage que des orbites elliptiques et paraboliques, qui se rencontrent le plus ordinairement.

118. Éléments de l'orbite. — Pour représenter l'orbite d'une planète ou d'une comète on donne à l'ordinaire les éléments dont la définition suit.

On détermine d'abord la position du plan de l'orbite au moyen de la droite d'intersection de ce plan et de l'écliptique relative à une date donnée et de l'angle de ces deux plans. II importe de préciser et l'on y parvient commodément en représentant les traces de ces plans sur la sphère céleste.

Soient Ec la trace de l'écliptique, Or celle du plan de l'orbite, Y le point vernal . Les deux grands cercles se coupent en deux points diamétralement opposés. Celui Q de ces deux points où l'astre, dans son mouvement, passe de l'hémisphère sud dans l'hémisphère nord, s'appelle nœud ascendant de l'orbite, l'autre nœud descen-

l32 DEUXIEME PARTIE. — CHAPITRE VU.

dant. On donne la longitude '^Q du nœud ascendant et l'angle que fait au point Q la tangente QÂ au grand cercle Or, tracée dans la direction du mouvement de la planète avec la tangente QT à Técliptique menée dans le sens du mouvement du Soleil, ou du mouvement de la Terre. Le premier de ces angles se compte comme toute longitude, le second est compris entre o° et i8o**. Quand il est aigu, on dit que l'astre a un mous^ement direct; s'il est obtus, un mouvement rétrograde. Nous représenterons par fi l'arc y8 et par i l'angle AfiT, V inclinaison de l'orbite.

Fig. 24.

Le plan de l'orbite une fois défini, on détermine la direction du rayon vecteur SP mené du Soleil S à l'astre P par ^argument u de la latitude. On désigne ainsi l'arc 8P« compté du nœud ascendant jusqu'au point P« extrémité du rajon SP sur la sphère, cet arc fiP« étant compté de o^ à 36o^ dans le sens du mouvement de l'astre. On remplace souvent aussi l'argument de la latitude par la longitude de l'astre dans son orbite : on appelle ainsi la somme 8 + w.

En particulier on considère comme troisième élément de l'orbite l'argument (o de la latitude du périhélie, c'est-à-dire du point de l'orbite le plus voisin du Soleil, ou la longitude m de ce périhélie, égale à 8 + w.

On donne ensuite les dimensions de l'orbite. Si elle est elliptique, on fait connaître son demi-axe focal a et son excentricité e, c'est-à-dire le rapport de la distance des foyers à l'axe focal. On a

coutume de poser

e = sin«p,

et de donner l'angle (p, dit angle d^ excentricité, que l'on suppose aigu. Le paramètre est lié à a et <p par la formule

p ^zz a cos*«p.

MOUVEMENTS DES PLANÈTES ET DES COMÈTES. l33

Si l'orbite est parabolique on donne le paramètre /?, et plus souvent sa moitié que l'on désigne par y, c'est-à-dire la distance périhélie.

119. Époque. — Il reste à faire connaître la position de l'astre à une date donnée. Cette date s'appelle l'époque. Dans les orbites elliptiques elle est généralement arbitraire. Dans les orbites paraboliques c'est d'ordinaire la date du passage au périhélie.

Nous avons montré au n^82, à propos du mouvement du Soleil, comment on détermine la position de l'astre dans le mouvement elliptique et avons indiqué l'emploi de l'anomalie vraie (^, de l'anomalie excentrique E, de l'anomalie moyenne M. A ces anomalies correspondent la longitude vraie w H- v', et la longitude moyenne TïT H- M . On a coutume de donner la longitude moyenne, ou, ce qui revient au même, l'anomalie moyenne de l'époque. Cette anomalie moyenne n'est pas mesurée directement par une observation; mais les autres éléments de Torbitenelesontpas davantage, et ces éléments une fois connus on a de suite l'anomalie moyenne qui correspond à une anomalie vraie donnée par les formules

lang-=4/-^taiig^, M = E— esinM.

120. Moyen mouvement. — La relation entre l'anomalie excentrique et le temps s'obtient par le calcul fait au n° 83, où il suffit de faire

Il s'ensuit que l'anomalie moyenne est

^0 étant l'instant du passage au périhélie.

Le coefficient de / dans cette expression s'appelle moyen mouvement; nous le désignerons par n. On voit qu'il est lié à a par la

formule

/i«a»=X:>([-hfJL).

Si l'on veut obtenir n en secondes d'arc, il suffit d'employer pour k

l34 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VII.

la valeur k^ donnée au n® 116. Il ne faut pas oublier que l'unité de temps est le jour solaire moyen.

ISl . Mouvement parabolique. — La détermination de la position d'une comète à une date donnée quand Torbite est parabolique se fait sans difficulté comme il suit.

Des équations

et

on tire

r r^dç = ksf^>JT^{t-U),

('o désignant la valeur de Tanomalie vraie (^ à la date arbitraire U, L'équation de la parabole est