I-h COSt
cos*-
D'où l'on conclut
r« û?p = 2 ^* f I -h tang* - j ^ tang - , et par intégration (4) tang^ + itang.^ = *^(.-T).
T étant la valeur de t^ pour laquelle ^o est nulle, c'est-à-dire l'instant du passage au périhélie.
Cette équation, où v varie de — tc à -|- tc en passant par zéro el
par suite - de à H — > n'a qu'une racine réelle, le premier
membre croissant toujours quand tang - croît de — oo à -f- oo. Elle
en a toujours une, et, comme elle ne renferme qu'un paramètre, son second membre, on a pu construire une Table, dite Table de Barker, donnant la valeur de v pour chaque valeur du second membre ou inversement.
La Table de Barker, reproduite par Gauss dans le Theoria motuSy donne les valeurs de v qui correspondent à des valeurs
MOUVEMENTS DES PLANÂTES ET DBS COMÈTES. l35
données de
75A:/i-h{JL(f — T)^
Celle Table a élé reproduite dans divers Ouvrages. Dans le Traité de la Détermination des orbites de M. Oppolzer, traduit en français par M. Pasquier, on a posé
et la Table donne M pour chaque valeur de i^ de lo" en lo".
122. Cas des orbites très allongées. — Nous avons montré au Chapitre VIII du I" Volume de cet Ouvrage que le calcul de l'anomalie vraie à une date donnée ne se fait pas avec une précision suffisante par la méthode ordinaire quand l'excentricité s'approche de l'unité. Gauss a ramené dans ce cas l'équation de Kepler à une forme analogue à celle des orbites paraboliques.
Introduisons, au lieu de l'anomalie excentrique E et de son sinus, deux combinaisons linéaires u et v àe ces quantités, en posant
«E + PsinE =
a'E-t-P'sinE =
et faisons
«P'-Pa'=D
L'équation de
Kepler de
viendra
P + ae
équation qui,
en faisant
devient
kt\/i'^iL
Posons encore
P = Bv/Â7;
l36 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VII.
l'équation de Kepler aura la forme
(6) B[(p'+aV)Af(M«OAf]=^^^^.
A et B sont des fonctions de E. Dans la pratique, E, dans les cas dont il s'agîl, demeure aigu et ne grandit pas beaucoup. Si d'ailleurs la valeur de E était grande, la méthode ordinaire s'appliquerait sans inconvénients. Développons B en série suivant les puissances de E. Nous avons
"" aE-hpsinE
On peut déterminer les constantes a, p, a', P'de telle façon queBsoit sensiblement constant.
D'abord le dénominateur devra être du troisième ordre comme le numérateur, ce qui exige que P = — a. Nous ferons a=i et p = — 1 . Nous aurons alors
^,6(a--4-y)»-33VH-P^)'E«-+-ip'«(a'-4-P')E*-f-^p-(«--hP')«E^... Dans le quotient le terme en E^ disparaîtra si l'on fait
Si en même
temps
nous faisons
d'où
loy^e' loj^
nous
aurons
B«=n--i-E^.., i4oo
d'où
B est donc extrêmement voisin de 1, et comme cette fonction ne dépend pas de e, il est possible d'en construire une Table.
MOUVEMENTS DES PLANETES ET DES GOMàTES. 137
La valeur de A| est
^E-f-TVsinE celle de B
B = JL sl±Lài!îl.
Pour nous conformer aux notations de Gauss et nous débarrasser du facteur v6> nous ferons
nous aurons
I ^ E-sinE
'^ ^iVE-H^sinE' g^ ^E + AsinE ■i/A
L'équation de Kepler devient ainsi (8> B[2(i-«)A«+^(i + 9e)A«j =
Pour rendre possible l'emploi de la Table de Barker, posons
kt\/i
<9) A'=\/tT?7^''"«7'
et, pour abréger, désignons par q la distance périhélie a(i — e), qui au reste est mieux déterminée que chacun des facteurs a et I — e. L'équation (8) deviendra
(lo) 75taiig h 25 tang» — = -^ ,
en posant, pour abréger,
La résolution de cette équation est des plus simples : on fait d'abord B = i , puis on détermine w par la Table de Barker, A par l'équation (9), d'où logB par une Table auxiliaire (Table I du Theoria motus). Généralement il suffira de recommencer le calcul au moyen de cette valeur de logB.
l38 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VII.
Pour déduire de A Tanomalie vraie on procède comme il suit. Posant
iang*? = T,
on trouve
de sorte que, A étant du second ordre par rapport à E,
est du quatrième. Posant
on trouve
^ tang
et aussi
cos>- (i-hT)cos«- '^»^^^cos«-
La Table (i) de TOuvrage de Gauss donne de A r= o à A == o,3, de millième en millième, les valeurs de logB, de C et de T.
La valeur de T sert à déterminer le temps correspondant à une anomalie vraie i^ donnée. A cet effet, on calcule T par la formule ordinaire
T = l::iitang«-;
on en conclut, par la Table, C et logB, puis A par la relation
qui donne plus d'exactitude que la Table elle-même, puis on calcule t par l'équation (10). Si pour ce dernier calcul on veut employer la Table de Barker, on ne calcule pas A, mais directement w
HOUVBMBNTS DBS PLANÈTES ET DBS COMETES. iSq
par la relation
123. Construction d'une éphéméride donnant les coordonnées équatoriales géocentriques. — Nous ne nous occuperons ici que de la partie du travail qui correspond à Tapplication des lois de Kepler, réservant pour le Chapitre IX ce qui concerne l'application des corrections de parallaxe, de précession, d'aberration.
Ayant Tanomalie vraie i^ de l'astre, le rayon vecteur r mené du Soleil à l'astre, la longitude Q du nœud ascendant et l'inclinaison i du plan de l'orbite, la longitude m du périhélie, on détermine d'abord les coordonnées rectangulaires écliptiques héliocentriques •^0) J^o) ^0 de la planète par les formules
Xo= rcosM, j^o= r sin u cos i, Zo= r sin u sin i,
oii u est l'argument de la latitude donné par la formule
en supposant que l'axe des Xo passe par le nœud de l'orbite.
Faisons tourner ce système d'axes de façon à faire passer l'axe des X par l'équinoxe du printemps. Les nouvelles coordonnées Xy y y z résulteront des premières par les relations
a? = a?o cos Si —y^ sin^, 7 = arosina -H Jo cos Si,
ou
X = /'(cos a cos Si — sin u sin Si cosi),
y = r( cos a sin Si -+-sinucosSi cos»), z = rsinu sin i.
Enfin, si ^', y y z' senties coordonnées équatoriales héliocentriques de l'astre, en supposant que l'axe des x^ passe par le point vernal, on a, en désignant par e l'obliquité de l'écliptique,
X' = Xf
y' = ycosz — ^sine, z = y sine -+- z cose,
l4o DEUXIEME PARTIE. — CHAPITRE Vil.
OU
3?'= r(cosMCOsii — sinusin^cost'))
y — r(cosMsin^cose-f-sinM cos^ cosicose — sinu sinisine), z' — r(cos u sîn ^ sin e + sin u cos ^ cos i sin e + sin a sin i cos e).
Si l'on introduit des quantités auxiliaires a, A, 6, B, c, C définies par les équations
cos^ = asinA, l — costsin^ = a cosA,
] sin^ cos£ = 6 sinB,
j cos ^ cos (COS s — sin£sine = 6 cosB,
f sin^sins = csinC,
1 cos^cosisins H- sin^cose = ccosC.
Ces formules deviennent
/ a?' = ar sin ( A -f- M ),
(i5) I ^''^ 6rsin(B-4- a),
( ^'= cr sin(C 4- m).
Les coefficients a, 6, c sont moindres que un en valeur absolue: on peut les prendre positifs; A, B, C sont alors déterminés. Pour calculer ces six quantités qui ont reçu le nom de constantes de GausSj on peut soit utiliser immédiatement les formules (i4) ^n employant les logarithmes d'addition, soit les rendre calculables par logarithmes, en posant
Elles deviennent
cos^ cosï = n cosN, sin.i = n sinN.
a sin A = cos^i, a cos A = — cosï'sin^, 6 sinB = sin ^ cos B, 6cosB= ncos(N-f-e), c sinC = sin ^ sine, ccosG= /isin(N-f-e).
124. Cas des orbites elliptiques. — Les coordonnées j:', y\ z' peuvent encore s'exprimer, dans le cas d'une orbite elliptique, en fonction de Tanomalie excentrique E.
MOUVEMENTS DES PLANÈTES ET DES COMÈTES. l4l
On y remplace d'abord u par o> -4- t^ et l'on pose
(i8) A'=A-+-to, B'=B-f-co, G'=G-ha>,
ix' = ar sin(A'-f- c), y = 6rsin(B'-f-p), s' = cr sin(C' -+- ç).
On a trouvé
rsinp = «i cos<p sinE, /•cosp = «1 cosE — ai sintp,
et en outre
fil désignant le demi grand axe de l'orbite, d'où
x'= aiasinA'(cosE — sin{p) + aia cosA'cos^ sinE, y = ai6sinB'(cosE — sinp) -^aib cosB'coso sinE, z' = aicsînG'(cosE — sinç) -f- aiCCosG' cosip sinE.
Si l'on pose encore
ai a sinA'= /sinL, ai a cos A' cos o = / cos L,
ai b sin B' = m sin M, ai 6 cos B' cos cp = m cos M,
ai c sin G' = n cosN, OTiCcosG' coscp = n cosN,
— /sinLsino = X, ^.., ^ — m sinMsincp = [JL,
( — /i^inN sincp = v, on aura
ix'= /sin(L -H E)-hX, y = msin(MH-E)-4- »jl, z'= /isin(N -+-E)-Hv.
On n'emploiera ces dernières équations que dans le cas de la construction d'une éphéméride relative à un grand nombre de dates, et si Ton n'a pas besoin des valeurs de v pour d'autres motifs.
125. Coordonnées géocentriques. — Ayant les coordonnées équatoriales héliocen triques de la planète, on en conclura les coordonnées rectangulaires géocentriques comme il suit :
On trouvera dans les éphémérides astronomiques les coor-
l42 DEUXIEME PARTIE. — CHAPITBB VII.
données équatoriales X, Y, Z du Soleil : on aura, en désignaot par Ç, Tj, ^ les coordonnées géocentriques cherchées,
Ç = ;5-hZî
puis, désignant par A la distance de Tastre à la Terre, par a et o l'ascension droite et la déclinaison géocentrique, on aura
15 = AcosS cosa, 7) = A cos8 sina, Ç = AsinS,
d'où l'on tirera a. S, A.
1S6. Autres formules pour le calcul des constantes de Gauss. —
On peut arriver aux équations (i5) par une marche qui conduit à des calculs numériques entièrement différents de telle façon que Tapplication de deux procédés donne une précieuse vérification.
A cet effet, on commence par déduire des éléments de Torbile des quantités analogues déterminant la position de cette orbite par rapport à l'équateur et non plus par rapport à l'écliplique.
Soient {fig* aS)
yEq Téquateur, yEc Técliptique, So et Q les nœuds ascendants de l'orbite sur ces deux plans et
aussi les longitudes de ces nœuds, 1*0 et / les inclinaisons de cette orbite 8o 90 sur ces mêmes plans, s l'obliquité de Técliptique.
Désignons par Aq l'arc SoS. Les arcs Qo> ^o ^^ <o sont définis en fonction de S, f, e par les formules de Delambre
■ cos -^ sin — = sin — - - cos — ?
. Ao ^0 . «0 .6 — * . ii
sm sin — = sin sin — ,
(25) \ ^ . . /^ cos cos - = cos cos ~?
. Ao -h ^0 H e — « . ii sin î-i^cos~=cos sm— .
MOUVEMENTS DBS PLANÂTES ET DES COMàTES. l43
Ces angles une fois connus, on a par rapport à des axes de coordonnées héliocentriques équatoriales dont Oxq passe par le nœud Qo
Xo= rcos(a-i- Ao),
^0 = rsin(a-i- Ao)cosio,
Zo= /•sin(u-l- Ao)sinto.
Fig. a5.
Si Ton fait tourner les axes O^OîJ^oj -^0 autour de O^o de façon à amener O^o sur la ligne Oy de l'équinoxe du printemps, les nouvelles coordonnées ^', y y z' ont la valeur
x = r[cos^o C05(mh- A^) — sin^io cos^o sin(M ■+■ Ao)], y= r[sinQ,QCOs{u h- A©) H- cos^ocost'o sin(aH- A©)], z' = rsin^o sin(M -t- Ao).
ou
Posant
— sin ^0 cos «i = a' cos A', cosiio= «' sin A', cos^o cosîi)= 6'cosB', siniio= 6'sinB',
les valeurs précédentes deviennent
x' = a'r sin (m -h Ao-t- A'), y= 6'rsin(a-f- AqH- B'), z' = r sin Îq sin ( m -t- Aq ).
l44 DEUXlàME PARTIE. — CHAPITRE VII.
La comparaison de ces formules aux formules (i5) montre que Ton a les vérifications suivantes :
( a! — a^ b'=b, sin«i)=c,
'^^ ) Ao-+-iV=A, Ao-hB'=B, Ao=G.
127. Relations difTérentieUes entre les éléments et les coordonnées géocentriques. — Soient, comme ci-dessus :
X et p les coordonnées géocentriques de l'astre, Q et i la longitude du nœud et Tinclinaison de son orbite, /' et îù le rayon vecteur mené du Soleil à l'astre et l'argument de la latitude héliocentrique. (Pour plus de commodité nous employons les mots longitude et latitude; mais le plan fondamental est supposé quelconque; il est entendu seulement que les éléments S, e, co, rn sont rapportés à ce plan.)
Toute variation des éléments de l'ellipse même, a, e et de l'anomalic moyenne Mq à l'origine du temps produit des variations dr et d(ù de ret co. Regardons d'abord ces quantités dr et dtù comme connues ainsi que les variations dQ et di de Q et i] cherchons les variations qui en résultent pour X et ^.
Soient p la projection sur l'écliptique de la distance A de l'astre à la Terre, R et L le rayon vecteur et la longitude du Soleil. Désignons par Ç, vi, ^ les coordonnées rectangulaires géocentriques écliptiques de l'astre, l'axe des Ç passant par le nœud. On a, en négligeant la latitude du Soleil, les formules suivantes :
I5 = pcos(X — ii)= rcosti) -H Rcos(L — i^), T) = psin(X — ii) = rsin(i>cos£ 4- Rsin(L — iî), Ç= ptangP =rsin(usin{.
On en. conclut
