MOUVEMENTS DES PLANÈTES ET DES COMÈTES. M

enfin à

siniCOs(X — ^)cos(N — P),

et le multiplicateur de sin(M — co) à

— sin p ces N -H sin M ces p sin * et à

sm(N-?),

de sorte que la formule (36) devient

(oo*\ j y- = -[sintcos(M — u))cos(X — ^)cos(N— - P) 1 -4-siii( M — w) sin(N — P)].

Si Ton mène en B Tare BD perpendiculaire à SC et en II l'arc QE

perpendiculaire à CA et que l'on désigne par P et Q les arcs CD

et CE, on a

tang(M — (d) ^ tang(N— S)

tangP= . .\. Jr.y tangQ= . . ^\^ — ^-,

° sintcos(A — ^) ° sinecos(A — ii)

et la formule (36*) devient

d? r sin(M — a))cos(N — p — P) r sin(N — P)cos(M---(«) — Q) ■ ^ do}~I sinP ~" A sinQ

L'introduction de M dans la formule (3i) donne

^X __ sin(X — ^)sin(M — (d) ' dr ~~ sin M

et la comparaison avec la même formule (3i)

R sin(X — L) sinM = r sin(X — Q,) sin(M — (o).

Si Ton tient compte de cette valeur dans la formule (32*), elle se simplifie un peu et devient

(32**) ^ = 5sin(X — L)cot(M — (D).

Le calcul de ces huit dérivées partielles, dont nous désignerons les valeurs par A, B, C, D, A', B', C, D', fait connaître les coefficients des relations

rfp = k'dr-\- B' rfu) -h C di -h D' d^.

l48 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VII.

D*autre part, on a, en désignant par w la longitude du périhélie,

par if Tanomalie vraie

co = Tn — ^ -f-t», d'où

do) = dw — dQ, ■+- dVf de sorte que

( rfX = A rfr -h B c?i; H- B rfro H- C û^e -4- (D — B) rffl, ^^^^ ) d'^ = X' dr -^W dç -\'B' dw -^ C di-i- {D - B') da-

Enfin r et p dépendent dans une orbite elliptique du demi-axe «, de l'excentricité e et de l'anomalie mojenne Mo à l'origine du temps. 11 est commode de représenter e par sincp, d'introduire, au lieu de a, le moyen mouvement n donné par la relation

n«a» = A:«(n-fx), d'où

..»«. idn Zda

En désignant par E l'anomalie excentrique, la diflférentiation donne sans peine

dv = ^aM -h ~(2 — ecosE — e»)sinEc?;p,

dr = ^da-^a tangcpsinpe/M — acosçp cosp do.

^^^^ l d^ = Xdyio-i-yi\>'dn-he'd9-\-Œ>'dw-hC'di-hg'dpo

Toutes les différentielles représentant des arcs, ces relations sont les mêmes, qu'on les exprime en secondes ou en parties du rayon .

Ces formules, comme les formules ordinaires du mouvement elliptique, sont d'une application peu précise dans les orbites presque paraboliques.

Enfin ( 4o) dM. = dMo -^ tdn.

La substitution de ces valeurs donne les relations cherchées sous la forme i

d\ =^o <iMo -h ift) e//i H- C rfcp -4- (5^ dxs -¥■ C di -^ § dSl, ,

PROBLÈMES RELATIFS AUX ORBITES. l49