CHAPITRE YÏÏI

DÉTERMINATION D'uNE ELLIPSE PAR DEUX RAYONS VECTEURS ET l'iNTERVALLE DE TEMPS MIS PAR L* ASTRE A PASSER DE l'cN A L'AUTRE. — MÊME PROBLÈME POUR LA PARABOLE. — THÉORÈME d'eULER. — THÉORÈME DE LAMBERT. — RAPPORT DES AIRES DES TRIANGLES COMPRIS ENTRE TROIS RAYONS VECTEURS. — EXPRESSIONS DES DISTANCES d'uNE PLANÈTE A LA TERRE A TROIS ÉPOQUES, EN FONCTION DES AIRES DES TRIANGLES COMPRIS ENTRE LES RAYONS VECTEURS MENÉS DU SOLEIL A LA PLANÈTE A CES TROIS ÉPOQUES.

128. Problème fondamental pour les déterminations d'orbites. — Gauss a résolu dans le Theoria motus corporum cœlestium plusieurs problèmes relatifs à la détermination d'une section conique décrite par un astre autour du Soleil, en supposant donnés des éléments, en nombre suffisant, dans le plan de l'orbite. Nous nous occuperons du suivant qui a la plus grande importance pour la détermination des éléments d'une orbite elliptique entièrement inconnue, problème qui fera l'objet du Chapitre IX de cet Ouvrage.

129. Déterminer l'ellipse décrite par une planète, connaissant, en g^randeur et en position, deux rayons vecteurs menés de cette planète au Soleil et le temps que la planète a mis à aller d'une des positions à l'autre. — Réduction du problème a deux équations a DEUX INCONNUES. — Soit 6 le produit de l'intervalle de temps par la constante k de Gauss ; soient pour la première position /•', ç^', II' le rayon vecteur, l'anomalie vraie, l'anomalie excentrique; soient/^, i'", iJ' les quantités analogues pour la deuxième position.

Nous désignerons par 5 le rapport du secteur elliptique compris entre les rayons vecteurs Z, /-" au triangle rectiligne compris entre les mêmes rayons. Les quantités /•', r^\ 6, v>" — p' sont données.

Nous prendrons pour inconnues

v" -\- v\ u-hu'y u" — u\ a, e, 5.

j5o deuxième partie. — CHAPITRE VIII.

D'après la loi des aires, le double de l'aire du secieur elliptique est 6y/a(i — e^); d'autre part, la diflFérence des aDomalies

moyennes est Oa ^.11 s'ensuit que les six équations du problème sont

(i) 5.rVsiii(p'— p')= e/â(i — e»),

(2) a— tt— -2esin cos = 6a *,

et les suivantes [§ 82 (6)]

\ 4 / — sin — = / 1 -+- e sin — , 4 / — sm — = / 1 -+- e sin — ,

] ^ fP v' I a' , f^ ^'' ) «'

f 4 / — cos — = V I — e cos — j 4 / — cos — = v 1 — e cos — : \\ a *i. ^ 2 V ^ 21 '^

d'où l'on tire aisément

(3) v^'' '' sin =avi — e*sin ?

cos = a cos ac cos -

(5) /•-+-/'= 2a — 2aecos cos

Les équations (i) à (5) ne contenant pas v^' -{- v' suffisent à résoudre le problème.

On peut aisément éliminer entre ces équations les quantités

aecos — ; > a, a^i — e^.

AceteflFet, on tirela première de ces quantités de l'équation (4 )< la dernière de l'équation (i) et l'on substitue dans les trois autres. On trouve

/ /. /r , . / If fv 2 ,-r-i! . u" — u' s/ — v' 6

(2 ) u — a — sin{a — m )H — yJr r^xn cos = — 7»

(3) I = 3 îr-5//' /• cos sin ,

(j) /• -f- r = 2asin» ^%^rrç,o% cos •

PROBLÈMES RELATIFS AUX ORBITES. l5l

En tenant compte de réquation (3'), Téquation (2') devient d'abord

a'— m' — sin(i*'— aM= — r- ( i )i

puis

et l'équation (5') devient de même .

(5 ) r+r*— 2 vrV ces ces

2s«r /^cos*

Ces équations ne renferment plus que les inconnues s et v!' — u'. On en abrège un peu l'écriture par le procédé suivant, dû à Encke. Soit x la corde du secteur elliptique; posons

(6) sinY= -7 — 3,

d'où, en observant que %-= /•'^-f- r"^ — 2/''r"cos((^" — p')

2/r'r*cos

(7) cosY = =7— -i-^

L'équation (2") s'écrit, par l'introduction de y? que la formule (7) permet de calculer,

^^ ' J ~" (r'-f-r')»cos»Y u'—u! 5»'

^ ^ * sin»

et l'équation (5'), où l'on remplace au premier membre cos — "^ —

par I — asin* — ; — donne d'abord

—. = 2r r'cos* 2(r -t- r')sin*- -^ ^Jr r ^m^ ; — cos 1»

OU, en tenant compte de nouveau de la valeur de cos y,

(B) sm» — ; — = -- — j — — — .

130. Résolution des deux équations A et B quand l'angle des rayons vecteurs est petit. — Pour résoudre ces équations, posons

a? = sin» ; 9 X= = ',

^ sin«

et, d'autre part,

Les équations (A) et (B) deviennent

Or X est une fonction de x que Ton peut réduire en table. Pour des raisons que nous verrons au paragraphe suivant, Gauss pose

et i est une très petite quantité, sensiblement égale à ^ x^. L'équation B' donne ainsi

Ç, étant un très petit nombre, pourra être supposé nul en première approximation et servir de base à un calcul d'approximations successives. Posant

cette équation s'écrit

m* m* lo I /) 5» — 9 X'

et l'élimination de X entre cette équation et l'équation Â' donne

La marche du calcul apparaît d'elle-même. Faisant d'abord i=o

PROBLÈMES RELATIFS AUX ORBITES. l53

réquation (lo) donne r\, puis réquation (i i) qui n'a qu'une racine positive donne 5; l'équation B' donne ce d'où l'on déduit une nouvelle valeur approchée de Ç, En raison de la petitesse de 5, deux ou trois approximations suffisent à en trouver la valeur déûnitive, d'où celle de œ et, par suite, celle de u" — u'.

Gauss a donné, dans le Theoria motus, une Table qui, pour chaque valeur de ttj de o à 0,6, donne log5^. L'étendue de cette Table est plus que suffisante pour le calcul de Torbite des planètes. En effet, dans une première détermination d'orbite, s/ — ç? étant petit, Y l'est aussi, ainsi que y : de sorte que •t\ diffère peu de

- m* ou de t -7-7 irh\ or k est moindre que 0,02; r — V n at-

teindra pas 100 jours; de sorte que k{i' — t^) est moindre que 2. Gomme r' et î^ valent au moins 2 pour les planètes comprises entre Mars et Jupiter, les seules en cause ici, on voit que tj est très petit. Gauss, dans une autre Table, donne les valeurs de Ç qui correspondent aux valeurs de j; de o à o,3.

131. Développement de X en série suivant les puissances de rr. —

Pour abréger, posons

Nous aurons

(12) j? = sin* — > X = " . , ^«

On obtient aisément un développement de X en série. On a en

effet

X sin»^ z= ig — sin2^, d'où

sin^-^ h 3Xcos^ = 4»

dx I .

1 ° dx o -»

et comme

on en conclut

(i3) (aar — 2a7»;^4-(3-6j?)X-4 = o,

et, si l'on pose

X = a© -H a,a?-Haja7*-H.. .,

l54 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VIII.

on obtient, par substitution,

de sorte que

, ,. 3, 6 6.8 , 6.8. lo ,

Si Ton néglige les termes en x^^ on a

d'où

ce qui montre que Ç est de l'ordre de x". D'autre part, si l'on néglige les termes du troisième ordre, la relation

donne

formule qui, par comparaison avec la formule (14)9 donne

132. Développement de X en fraction continue. — Gauss a, d'ailleurs, été conduit à l'introduction de Ç d'une façon bien plus naturelle parle développement de X en fraction continue.

Si l'on désigne par F(a, p, y, x) la série hypergéométrique

F(a, S, Y,rr) = n S-a?-*- -^^ V x ar«-f-....

on a

Rappelons que a, p, y, x s'appellent les premier, deuxième, etc. éléments de la série .

PROBLÈMES RELATIFS AUX ORBITES. l55

Si l'on pose

on a, en remarquant que dans la fonclionF on peut intervertir les deux premiers éléments,

Or on vériGe immédiatement la relation

qui, divisée par son premier terme, donne

G(a, p,T,a7) Y(Y-hO ou encore

G(«,P.r,^)= — i^(YTrp)

j y ^a;G(3-i-i, a, Y-4-i,ar)

L'application réitérée de cette formule donne

Faisant dans ces formules ^==0, remplaçant y par y — i, et observant que F(a, 0,^,0?)=: i, on obtient

l56 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VIII

OÙ

6'=1jLi^,

et, par suite, en faisant a = 3, y = |î

ce qui conduit naturellement à poser

et montre assez que le premier terme du développement de \ en série est ^x^.

Gauss a donné de remarquables développements de Ç en fraction continue, dont on trouvera la démonstration dans son célèbre Mémoire sur la 5eWe/rK/>er^^omem5rae(GAuss, Werke, t. III, p. iS;).

133. Détermination des éléments de l'ellipse d'après la valeur de X. — Posons, pour abréger,

observons que / est donné, que la connaissance de x entraîne celle de g, tandis que, au contraire, F et G sont encore inconnus, ainsi que a et e.

Les équations initiales (E) (n" 129), si l'on pose e = sin5, deviennent

En combinant par addition soitles équations (i5), soit les équations (16), après les avoir multipliées, ou bien par sin( — ^ )

et H- cosf h -)> ou bien par — cos( — h — ) etsînf — Ht-)» ou

bien par sin ( j et cos [ j > ou bien par — cos ( j

et sin ( U on obtient

. P f-^S CD /F G \ . ? /F G\

I / — cos ^ = cos - cos I y- g\ — sin -î- cos ( — 1 ) ,

I / — cos ^ — = cos -i- cos ( g\ — sin -î- cos ( — 1 \y

I / — sm = cos -A- sin ( \- ff] — sin -ï- sin ( 1 ) ,

, /P . f-+-g 9 • /Gr F \ . o . /F G\ 4 / — sm = cos - sm ( h iÇ" ) -+- sm -s- sm ( 1 ) 9

I / — cos ~ — =. cos - cos 1 1 — sm -i- cos ( — 1 \- g),

. P • f—g ? • /ï^ G\ . 9 . /F G \ 4 / — sm — = cos i sm ( ) — sm -ï- sm ( 1 £"],

I / — sm — = cos - sm ( 1 h- sm -î- sm ( — 1 ^ g]*

Combinant ensuite chaque équation de rang impair avec la suivante, on trouve

cos^^^ = 2cos-i-smiÇ' sm ,

F-hG

l58 DEUXIÈHE PARTIE. — CHAPITRE VIII.

Le calcul numérique est facilité en faisant

d'où

- =lang(45*'-ha)),

'' rP '/r'

A--v/7=t^7?fi/^-i/^j = ^^3!

sinsci)

-COS^d)

ce qui donne aux équations (17) la forme

cos ^ tane:2ct> = 4 / —r—, cos -^ siOiÇ' sin ,

sin

1^777 cos |sin^ cos

î ^tangîu) = 4 / -7-T sin - sinj? sin >

* / a» .0 = 4/ --7 sin -2- s y r r 2

COS 2 10

•sm^cos-

où les premiers membres sont connus. On en conclura

4 / -r-y cos ^ sin ^, 4/-r-FSin^sin^, lang — - — , tang — - — ,

F -*~ r sitifs; on connaît le signe de g. Les signes des sin et cos de — ^=^—

sont donc déterminés sans ambiguïté.

La valeur de a sin^^ doit être égale à

2 ( / -f- sin* — j ç.Q%f^r'r\

identique à la suivante, que donne immédiatement la formule (5)

a %vo>g = 2 /r' /•' cosflj -h sin* f- j , et cette formule peut servir à vérifier tout le calcul.

PBOBLÊMBS RELATIFS AUX ORBITES. iSg

134. Cas de la parabole. — Le problème se simplifie beaucoup si la trajectoire est une parabole. Ayant