CHAPITRE IX

DETERMINATION D UNE ORBITE ELLIPTIQUE. — TROIS OBSERVATIONS COMPLETES DONNENT LES SIX ÉQUATIONS NECESSAIRES. — RÉDUCTIONS PRÉLIMINAIRES ET CHANGEMENT d'aXES DE COORDONNÉES. — MÉTHODE DE GAUSS. — MÉ- THODE d'oPPOLZER. — ORBITES CIRCULAIRES.

145. Réduction des résultats des observations. — Nous avons développé, au Chapitre VU, les formules qui expriment l'ascension droite et la déclinaison géocentriques d'une planète à une date quelconque, en fonction des six éléments de Torbite elliptique de cette planète. Si l'on connaît six coordonnées géocentriques observées à des dates données, on déduira de ces formules six équations dont les six éléments seront les inconnues. La résolution de ces équations, dans le cas où les coordonnées observées sont les ascensions droites et déclinaisons relatives à trois dates, est un problème d'Algèbre qui ne peut être résolu que par approximation. Gauss, à la suite de la découverte de Cérès, a donné de ce problème une solution d'une rare élégance dont l'exposition sera facile, venant après l'étude des problèmes traités au Chapitre VIII de cet Ouvrage.

Mais il faut d'abord remarquer que les coordonnées observées ne sont pas immédiatement comparables, qu'il est nécessaire de les débarrasser de l'aberration et de les ramener à un même équinoxe, et qu'en vérité ce ne sont pas des coordonnées géocentriques, l'astre, au moment d'une observation n'étant pas vu du centre de la Terre, mais d'un point de sa surface.

Les observateurs publient, à l'ordinaire, les positions apparentes des planètes. En vérité, les positions publiées sont indépendantes de l'aberration diurne. Elles en sont effectivement corrigées par l'observateur dans les observations méridiennes, et les observations différentielles faites aux équatoriaux n'en sont pas affectées, l'influence de cette partie de l'aberration étant la même sur la planète que sur l'étoile de comparaison.

On commencera par déduire des coordonnées apparentes a', 0' observées les coordonnées moyennes relatives au commencement de Tannée de l'observation par l'application des formules

a = a' — [/-i- ^ sin (G -f- a) tang 0 -I- ^ sin (H -h a) séc ô 4- A' sin (H' -+- a) séc 0], 8 =0'— [^cos(G4- a) -h Acos(H 4-a)sin8

-+- h' cos(H'-+-a)sinô -+- (i -4-t') cos$],

dans lesquelles, ainsi qu'il a été dit au §68, on mettra aux seconds membres a! et 8' au lieu de a et 8.

On aura ainsi, par rapport à l'équateur et à l'équînoxe moyens du commencement de l'année, les coordonnées de la droite qui joint la position occupée par l'observateur dans l'espace au moment de l'observation à celle qu'occupait la planète à l'époque t — T, T désignant le temps d^ aberration^ c'est-à-dire le temps que la lumière a mis à aller de la planète à l'observateur.

Si les observations ont été faites dans des années différentes, on les ramène à l'équinoxe moyen de la première d'entre elles en appliquant les formules ordinaires de la précession.

Dans certains cas, on est conduit à déterminer une orbite elliptique d'après des observations un peu éloignées, après avoir antérieurement déterminé cette même orbite d'après d'autres obser^'ationsplus voisines, et, par suite, avec moins de précision. Quand il en est ainsi, on connaît assez bien la distance de la planète à la Terre au moment de chaque observation pour calculer le temps t d'aberration. La direction observée à l'époque t est alors la même que celle de la droite joignant l'observateur à la planète au temps t — T et Ton n'a pas besoin de revenir du lieu apparent au lieu vrai ; il suffit de remplacer la date t par la date t — t. Pour obtenir les coordonnées moyennes relatives à l'équinoxe du commencement de l'année, il suffit de retrancher la précession et la nutation. On a alors

a = a'— [/-H g sin(G -h a) tango], 8 = 8'— ^cos(G -h a).

Ces réductions faites, on transforme par les formules du § 15 les ascensions droites et les déclinaisons en longitudes et latitudes.

146. Réduction au lieu fictif. — Si l'on connaît approximative-