ORBITES ELLIPTIQUES. I

on a, en négligeant les termes du second ordre,

logR' = logR-MA,

M désignant le module des logarithmes vulgaires dont le logarithme est

logR'=logR-Marci'j^cos6cos(/-L)

cos(X — L)

La valeur de logM donne

logM arc 1' = 6,3233592.

Il convient décrire ainsi la valeur de S

âs-^[»-^'Hi-

arcr

Pour tenir compte de l'aberration planétaire il y a lieu d'augmenter le temps d'aberration de 493^ S, ou d'apporter à la date de l'observation la correction ^gV* 8 pour avoir l'époque à laquelle le rayon lumineux serait parvenu au lieu fictif.

147. Élimination de la latitude du Soleil quand on fait la correction de parallaxe, — Quand on connaît approximativement la distance de la planète à la Terre, il est plus simple de corriger de la parallaxe que de réduire au lieu fictif. Seulement le centre de la Terre auquel l'observation est alors rapporlée n'est pas rigoureusement dans l'écliptique. On se débarrasse de la latitude B en rapportant l'observation à la projection O' du centre O de la Terre sur l'écliptique (/ig^ 29). Il est manifeste que la longitude X reste la même; la latitude est diminuée de l'angle P qui est excessivement petit. Dans le triangle 00' P, le côté OP est la distance A de l'astre au centre de la Terre, 00' est égal à R sinB, B étant la latitude du Soleil, R son rayon vecteur.

Si l'on projette en O^ le point O sur PO', la relation

OCrrrOPsinP

donne

R sinB cosO'OO' = A sinP

OU sensiblement, en remarquant que R est très voisin de un,

P Bcosp

l8o DEUXIÈME PARTIE. -— CHAPITRE IX.

Il n'y a pas lieu de modifier la date de Tobservation, le temps que la lumière met à décrire un chemin égal à RsinB étant toujours négligeable. Il importe d'observer qu'il n'en est pas nécessairement de même dans la réduction au lieu fictif; la longueur o

Fig. 29.

peut être, en effet, beaucoup plus grande que R sinB non seulemcDt parce que la parallaxe de la Terre peut atteindre g'', mais surtout parce que la droite OT' peut être presque parallèle à l'écb'p tique. En fait, si la latitude est extrêmement petite, la réduction au lieu fictif ne peut pas se faire avec une précision suffisante.

148. Principe de la méthode de Oauss. — Une fois que Ton a rapporté à un même système de coordonnées éclip tiques les directions D, D', D" dans lesquelles a été vue la planète, on est naturellement conduit à prendre pour inconnues les distances de la planète à la position fictive de la Terre au moment des trois observations. On a alors à résoudre ce problème :

Mener par V origine S (le Soleil) un plan qui coupe les trois droites D, D', D'' en trois points P, F, P tels qu'une ellipse^ ayant pour foyer le Soleil et passant par les trois points, puisse être décrite par la planète de telle façon que celle-ci mette à aller rfe P à P', de P' à V" des intervalles de temps égaux aux intervalles observés.

Si l'on considère que ces intervalles de temps sont exactement proportionnels aux aires des secteurs elliptiques correspondants, et que ces secteurs diffèrent peu des triangles rectilignes SFF, SPP', SPP', on est naturellement conduit à chercher à utiliser les

ORBITES ELLIPTIQUES. l8c

formules (53), (54) ou (5g) du Chapitre précédent (n®* 140 et 143 de ce Volume). Ces formules font connaître p, p', p*^ en fonction des données et des rapports n, n"

dont on a les valeurs approchées g?» 57-

Cependant il est indispensable d'examiner soigneusement les valeurs de p, p', p*^ fournies par les formules (53), (54), (Sg) et de rechercher de quel ordre seront les erreurs produites sur ces valeurs par de petites erreurs commises sur n et /i". Or il est aisé de voir que le coefficient a^ qui se trouve en dénominateur est du second ordre. Cela résulte de l'expression (52) de a^, la différence P' — Po étant évidemment du second ordre. On peut encore s'en assurer en développant, suivant les puissances de 8, 8', V, le coefficient primitif de p' dans l'équation (47) (n® 139), au moyen des formules évidentes

tangp =tangP' — A6'-t-B6'*..., tangp'= tangP'-+-A6-+-Be« ..., X=V— A'e'-+-B'e'«,

On trouve que l'expression de ce coefficient a le facteur 66'8" et par suite est au moins du troisième ordre. On a déduit a^ de ce coefficient par la suppression du facteur sin(X'' — X) qui est du premier ordre, a^ est donc au moins du second ordre. Les numérateurs de b'j d ^ d! sont finis. Il s'ensuit que, si l'on commettait sur n et r^ des erreurs qui soient même du second ordre, il en résulterait sur p, p', p" des erreurs finies. Il est donc indispensable, si l'on veut constituer réellement une méthode d'approximation, d'employer des valeurs de n et rH exactes aux termes près du troisième ordre.

Les formules (39), si l'on en supprime les troisièmes termes, offrent ce caractère. Seulement, elles introduisent la distance r' de la planète au Soleil, lors de la seconde observation. En réalité, il n'y a là qu'une complication de calcul et non un obstacle proprement dit, puisqu'il est assez évident que la connaissance de p'

l82 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE IX.

entraîne celle de r' ou inversement, de sorte qu'il j a, entre r', p' et les données relatives à la seconde observation, une équation qu'il sera bien aisé de former. On aura, en vérité, à résoqdre deux équations entre r' et p'. On verra que cette résolution se fait sans difficultés. Tel est le fondement de la méthode de Gauss.

Les formules (4o) (n® 138) peuvent être utilisées pour le calcul des valeurs de p et p'' données par les équations (Sq). Le calcul parait a priori plus compliqué. Cependant les difficultés ont été levées et l'emploi que M. Oppolzer a fait de ces formules Ta conduit à un€ méthode préférable à celle de Gauss, puisque l'on obtient pour p et p'' une précision plus grande, les formules (4o) donnant n et n!' aux termes près du quatrième ordre, de sorte que l'erreur finale sur p et p"^ n'est que du second ordre, tandis que dans la méthode de Gauss elle est du premier.

Les distances à la Terre une fois trouvées et, par suite, les rayons vecteurs menés de la planète au Soleil connus en grandeur et en position, on s'en sert pour obtenir des valeurs plus exactes de n et rJ' en calculant, au moyen des formules rigoureuses du n? 129, les rapports 5, s\ / des aires des secteurs elliptiques aux triangles rectilignes correspondants. Après quoi, on reprend le calcul des distances p, p', p'', des rayons vecteurs r, r', /^, etc. Par une série d'approximations successives, on obtient des valeurs exactes dans la limite de la précision des tables trigonométriques employées.

Nous développerons successivement la méthode de Gauss et celle d'Oppolzer. On peut dire que, pour les premières déterminations d'orbites au moyen d'observations comprenant cinq à six semaines d'intervalles, on obtient, par la dernière méthode, dès la première approximation, une précision suffisante si l'on emploie des tables à six décimales, ce qui suffit toujours dans ces circonstances.

149. Développement de la méthode de Qauss. — On détermine p' par l'équation (53) du Chapitre précédent

p' = -rf'4-(6'/l-hc'/l')

aop'=R'sm(K-L')-[Rnsin(K-L)4-R'n'siii(K — L')].

ORBITES ELLIPTIQUES. MÉTHODE DE GAUSS. l83

Le dernier terme, si Ton y introduit pour n et n" les valeurs (39) (nM38), devient

Re sin (K — L) -4- R'^e^ sin (K — L*^)

-Hg|^[(e-h6')sin(K-L)-^(e'-^e')sin(K-L')]-*-... Resin(K — L)-hR'e'8in(K — L')r 66'

-Hg^[R(6'-e)sin(K--L) — R'(6'-e)sin(K-L')].

Négligeant le dernier terme qui est du troisième ordre, il reste

Resin(K — L)-+.R'e'sin(K~L') / 66' \

ôT^Tr y-^ 7?^)'

Or ce même terme pouvait s'écrire

Rn sinrK — L) -f. R'/i'sînCK - L')

Donc nous remplaçons, en définitive, —, par ^ et /i + /i"par

Posant

^ = P, 2r'3(n-hn'~i) = Q,

nous aurons pour valeur approchée de P

et pour valeur approchée de Q

Au reste, les formules (89) (n® 138) donnent