SPHERE CELESTE. COORDONNEES D UN ASTRE, ETC
formules (i), (2), (3), on trouve les formules
siap= C0S8 sin8 — siaecos8 sînse, ces P cos X = cos 8 cos a, cospsinX= sin8 sine-f- cos8 cosesina;
sin8 = sinp cos e + cos p sine sinX, cos 8 cos a = cos p cos X, cos8 sina = — sin^ sine -+■ cos^ coss sinX.
On les rend calculables par logarithmes en posant
sin8 = m sinM, sin^ = mi sinMi,
cos8 sinv = m cosM, cos^ sinX = /Mi cosMi.
Elles deviennent ainsi
sinp = m sin(M — e), sinp = mi sin(Mi-+- e),
cosp cosX = cos8 cosa, cos8 cosa = cosp cosX,
cosp sinX = m cos(M — e), coso sina = nii cos(Mi-h e).
On obtient de précieuses formules de vérification en appliquant les formules (12) du Chapitre VIII de la première Partie de cet Ouvrage.
Elles donnent, pour le premier problème, les deux formules de vérification
sin(X — a) = im sin- séc8 cosX sin [ M 1 j
sin -= /n sin -sec —
et, pour le second problème, les formules de vérification
sin(X — a) = inii sin- séc^ cosa sin (Mi H — ) ,
• ^-P . e , 8-hP /.. E\
sin ' = mt sm - sec cos ( Mi n — ) .
On peut aussi appliquer au même triangle les formules de Delambre. Elles donnent
sin(45°~|)cos(45o-^) = sin(45-- ?--p?) sin(r3°^
sin ^45" -|) sin ^45'*-^^^) = sin ^45<>- ^^^ cos^45«H- ^ j ,
cos^45" — |)cos^45" -^)=c^sU5° ^) sin ^45» -4- 2 V
cos(45-- l) sin (4^»- ?^) = cos(45«- i±l) 003(45» -^ {) ;
l8 DEUXIEME PARTIE. — CHAPITRE I.
et
sin^45*'-^) sin/45<'+ ~^) = sin ^45»— ^^) 003/45°— ^V
cos ^45'*— l) cos ^45^ -^ ^^^) = cos ^45° - ^^) sin ^45° - ^) ,
cos(45°-|) sin(45o-H^) =cos(45°~^')cos(45°-^).
3 0 Les arcs 45° — -> 45** sont aigus et positifs; il s'ensuit
qu'il n'y aura aucune indétermination relativement aux arcs
45° T~-' 4 5** H ~ -> dont les sinus et cosinus ont les signes
des seconds membres correspondants.
La figure suppose a et X positifs et moindres que 90". On voit de suite que si ces quantités étaient négatives et moindres que 90" en valeur absolue, les éléments du triangle JIPE auraient les mêmes expressions, de sorte que les mêmes formules subsisteraient. Si a et X étaient compris entre 90** et a-jo®, l'angle P serait 270** — a et l'angle II serait X — 90®. Il faudrait donc remplacer a par 180** — a, X par 180** — X. On s'assurera aisément que les formules ne changent pas.
Il n'y a pas lieu de construire des Tables auxiliaires analogues à celles dont nous avons indiqué l'usage pour les deux premiers problèmes, en raison de ce que l'inclinaison e de l'écliptique sur l'équateur ne reste pas constante.
16. Lever et coucher d'un astre, intervalle semi-diurne. — Une des questions les plus importantes qui se présentent à propos du mouvement diurne est celle du lever et du coucher des astres, et de l'intervalle de temps pendant lequel un astre reste au-dessus de l'horizon.
Soient (f la latitude nord de l'observateur, P la distance polaire d'un astre, H son angle horaire, Ç sa distance zénithale. On a
cosÇ = sinç cosP -i- cosîp sinP cosH.
Si l'astre se couche à l'instant considéré, Ç= -; donc
tangcp
cos H = — =^-
tangP
