SPHÈRE CÉLESTE. COORDONI«IÉES DUN ASTRE, ETC. I

Il s'ensuit que les astres, dont la distance polaire nord est moindre que la latitude, ne se couchent jamais; ceux dont la distance polaire nord est plus grande que le supplément de la latitude ne se lèvent jamais. L'intervalle de temps 2 H pendant lequel un astre reste au-dessus de l'horizon augmente quand P diminue. Cet intervalle de temps, à toute latitude, est de douze heures pour les astres situés dans l'équateur.

L'application la plus importante de cette formule se rapporte au lever et au coucher du Soleil. La distance polaire de cet astre varie entre 90® — e et 90°-+- e, e étant 23**, 5 environ. Il s'ensuit que, si la latitude est moindre que 90° — s, le Soleil se lève et se couche à chaque révolution, et la durée de la journée augmente avec la déclinaison du Soleil. Si la latitude surpasse 90** — e, le Soleil reste au-dessus de l'horizon tant que sa déclinaison est plus grande que 90*^ — cp, et au-dessous tant que cette déclinaison est inférieure à — (90° — cp).

17. Crépuscule 9 sa durée , son minimum en un lieu donné. — La durée de l'intervalle pendant lequel il fait jour est augmentée parla présence de l'atmosphère. Tant que l'atmosphère elle-même, au-dessus de Thorizon, est éclairée, bien que le Soleil soit audessous de l'horizon, il ne fait pas nuit. L'intervalle compris entre le moment où le Soleil se couche et celui où l'atmosphère cesse de recevoir de la lumière s'appelle le crépuscule. L'observation montre que ce crépuscule finit quand le Soleil est à 18° au-dessous de l'horizon. Nous allons en étudier la durée.

Soient P {fig* 5) le pôle, Z le zénith, SqS le parallèle décrit par le Soleil, So le point où le Soleil se couche, S le point dont la distance zénithale est 108**, Hq et H les angles horaires ZPSo, ZPS. Nous poserons 18**=^ ia.

Le triangle PZSo donne

le triangle PZS donne

tangcp

cosHo = — ~ 5;

tangP*

COSH = r—TZ -H COSHo.

coscpsmP On en déduit

. H -Ho

2sm

coscp sinP sin —

Cette formule donne la durée H — Ho du crépuscule.

Cherchons le plus court des crépuscules pour une latitude donnée. Regardant H et Ho comme des fonctions de P, on doit avoir

En différentiant, on a

tangd)

— sinH.H'=

sin2acosP tangcp

Faisant H'= H'^ on a, par division,

sinH sinîacosP sinHo sin(p

Éliminant A et Hq, on trouve

sinaa cos'P -i- 2 sin<p cosP -h sin2a sin*© = o;

d'où les deux solutions

cosP

cosP . — = — tanffa, sincp

tanora

La deuxième solution rend négatif le rapport

sinH sinHn

Elle corres-

pond à H' = — HJ,; nous n'avons pas à nous en occuper : la première est toujours acceptable.

Elle donne

cosP = — tanga sincp.

On en déduit que

sin cp

cosPSZ = -^-^ = cosPSoZ

sinP

SPHÈRE CÉLESTE. COORDONNÉES d'uN ASTRE, ETC. 21

et que

— ces A = — tangcp tanga = -4- cosAo, d'où

A-4- Ao=i8o°.

L'équateur passe au milieu de TSo et coupe ZS et ZSq en des points U et V, tels que

TU = SoV = a.

Il n'j a pas de crépuscule maximum algébriquement.

Le Soleil parvenu à la déclinaison e redescend. Le crépuscule

maximum a lieu au solstice.

Il y a lieu de remarquer à ce propos que cosH devient égal à

— 1 si

P — çp = 2a.

Alors le crépuscule finit quand l'aurore commence. Le minimum de P étant 90® — e, il faut, pour que cette circonstance puisse se produire, que Ton ait

90°— e — «p< ia ou

Cette circonstance se présente à Paris, dont la latitude est de 48«5o'.