CHAPITRE XI
LOI DE NEWTON. — EQUATIONS DES MOUVEMENTS DES PLANETES AUTOUR DU SOLEIL. — INTÉGRATION DANS LE CAS d'uNE SEULE PLANÈTE.
165. Détermination de la force qui sollicite une planète vers le Soleil. — D'après les lois de Kepler, une planète, que nous regarderons ici comme un point matériel, décrit une ellipse autour du Soleil supposé fixe. II s'ensuit, d'après les principes fondamentaux de la Mécanique, que cette planète est soumise à l'action d'une force. Le plan de l'ellipse passant par le Soleil, la direction de cette force est constamment dans ce plan.
Soient, par rapport à deux axes rectangulaires passant par le Soleil, Xjy les coordonnées de la planète, X, Y les composantes de la force qui la sollicite, m la masse de la planète. On a les équations
d'où l'on déduit
En vertu de la loi des aires, x dy — y dx étant le double de l'aire décrite dans le temps infiniment petit dt^
dy dx
Ci) ^-i--^rf, ='^'
c désignant une constante. La difTérentiation des deux membres de cette équation donnant
il résulte de Téquation (2)
(4) xY — jrX = o.
Or, les composantes X, Y de la force cherchée sont proportionnelles aux cosinus des angles que la direction de cette force fait avec les axes. Les coordonnées ^, y de la planète sont proportionnelles aux cosinus des angles que fait avec les axes le rayon vecteur mené du Soleil à la planète. La direction de ce rayon vecteur coïncide donc avec celle de la force cherchée. Ainsi :
La force qui sollicite la planète est dirigée suivant ta droite qui joint cette planète au Soleil,
D'autre part, la courbe que décrit la planète tourne sa concavité vers le Soleil. Il s'ensuit que la force cherchée est dirigée vers le Soleil : cest une force attractive.
Soit F rintensité de cette force. Multiplions les équations (1) respectivement par a dx^ 2 dy et additionnons-les membre à membre : nous trouvons
■my
'i{\dx-^
■^dy).
Les relatic
)ns évidentes
FÎ, Y r
donnant on a
dx = - dr -^ r dl-\ dy = ^ dr -^ r d('-j,
Xdx-^Ydy^ — Fdr,
équation qui, si l'on remplace a: et y par les coordonnées polaires r, 6 au moyen des relations
a?=rcos6, y = rsin6, devient
,dr^-^r*dQi -, .
(5*) md ^- =çtFrfr.
L'équation (3), qui exprime la loi des aires, devient par la même substitution
<3*) r^d^^-cdt.
Si Ton élimine dt entre les équations (3*) et (5*), on trouve
rf/ï
dr
r ^ ^ifO"
omme on a
~ dr
CM'y
l'équation précédente devient ^ me'
ne' I I ri
Il convient, avant d'aller plus loin, de remarquer que les équations (4) et (6) s'appliquent non seulement au mouvement des planètes autour du Soleil, mais au mouvement de tout point matériel décrivant autour d'un point fixe une ligne plane suivant la loi des aires. Elles constituent des équations fondamentales pour l'étude du mouvement d'un tel point.
La planète décrit autour du Soleil une ellipse dont le Soleil occupe un foyer. Si a désigne le demi grand axe, e l'excentricité de cette ellipse, ts l'angle que fait avec O^ la direction du périhélie, Téquation de cette ellipse est
I i-hecos(6 — m)
Si l'on introduit cette valeur de - dans la relation (6), on trouve immédiatement (8) F= '"''' •
La force qui sollicite la planète vers le Soleil est donc en raison inverse du carré de la distance de la planète au Soleil,
On peut remarquer que si, dans l'équation (6), on suppose (9) F=îi,
■12i DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE XI.
F« étant une constante donnée, l'équation (7) sera l'intégrale générale de cette équation (6) pourvu que Ton ait
me*
En effet, la fonction r de 0 définie par l'équation (7) satisfait à l'équation (6); comme elle renferme deux constantes arbitraires, elle en est l'intégrale générale : il y a bien deux constantes arbitraires, puisque entre les trois constantes arbitraires a, e, w il n'existe que la relation (10).
Nous remarquerons encore que, si l'on désigne par ^^ la vitesse de la planète, on a
d'où
D'autre part
le second membre étant positif, il est manifeste que si l'orbite est elliptique, e étant moindre que un, a est positif; si elle est hyperbolique, a est négatif; si elle est parabolique, a est infini.
Si r© est la valeur initiale du rayon vecteur, Çq 'a vitesse correspondante, on a
/n \ro a/
Donc, quelle que soit la direction de la vitesse initiale, l'orbite est elliptique, parabolique ou hyperbolique suivant que i^J est
moindre que — -> égal ou supérieur à cette quantité.
166. Comparaison des forces qui sollicitent les diverses planètes vers le Soleil. — La constante c désigne le double de l'aire décrite
dans l'unité de temps. L'aire de l'ellipse est7ca-y/i — e-. La durée T de la révolution de la planète est donc
d'où, par la relation (lo),
D'après la dernière loi de Kepler, sî a' et T' désignent les quantités analogues à a et T pour une autre planète,
Si donc m' désigne la masse de cette planète, F', la force qui la
sollicite vers le Soleil,
Fi "" Ft*
Les forces qui sollicitent les diverses planètes vers le Soleil sont donc proportionnelles à leurs masses. Elles sont représentées par une expression de la forme ^--^7 \k étant une constante.
L'équalion (7) s'applique aux orbites paraboliques des comètes, pourvu que l'on y remplace e par un et a{i — e^) par le paramètre/?, double de la distance périhélie. La formule (8) donne alors
Or, on constate que pour les nombreuses comètes paraboliques observées, — est un nombre constant égal, d'ailleurs, à la valeur de — ^^-— relative aux planètes.
Les forces qui sollicitent vers le Soleil les planètes ou les comètes sont donc proportionnelles aux masses de ces corps.
167. Cas des satellites des planètes. — Les mouvements des satellites autour des planètes correspondantes obéissent sensiblement aux lois de Kepler. Quand une planète a plusieurs satellites, la troisième loi de Kepler elle-même se vérifie. L'action d'une planète sur un quelconque de ses satellites est donc repré-
sentée par une expression telle que - ,-» m étant la masse du sa-
B. -II. i5
tellîte, r sa distance à la planète, jjl' un nombre constant pour les divers satellites de la même planète.
La Terre, n'ayant qu'un satellite ne se prête pas à cette vérification ; mais si Ton calcule la valeur de la constante [jl' d'après le mouvement de la Lune et que l'on regarde un point placé près de la surface de la Terre comme soumis à la même loi d'attraction, on trouve pour l'intensité de la force qui sollicite ce point la valeur de l'intensité de la pesanteur mesurée par les physiciens.
On a en effet, pour la Lune
de sorte que l'accélération due à cette force, si la Lune était rigoureusement à la distance a, serait
Or le demi grand axe a est environ soixante rayons terrestres, de sorte que si l'on prend pour unité de longueur le mètre et pour unité de temps la seconde de temps moyen, ce qui donne
on trouve pour Taccélération à la distance a
4 ir* 40000000.60
■2 ir 3934*2* 60^
Si la même force s'exerçait, modifiée en raison inverse du carré de la distance, à la surface de la Terre, elle produirait une accélération 60^ ou 36oo fois plus grande, égale par suite à 9™, 74» Un calcul plus rigoureux donne une valeur qui coïncide avec 9*^,82, accélération due à la pesanteur à la surface de la Terre. De sorte que la force qui fait mouvoir la Lune autour de la Terre est la pesanteur diminuée en raison inverse du carré de la distance.
168. Loi de la gravitation universelle. — Il y a lieu d'observer que les planètes attirent le Soleil, comme elles attirent leurs satellites, et l'action du Soleil sur une planète égale celle de la planète sur le Soleil. Soit M la masse du Soleil, m celle de la planète. L'attraction du Soleil sur la planète est représentée par
^^-; celle de la planète sur le Soleil par ^^-« Donc
ou
if: = li.
Si donc k^ est un nombre constant dans le système solaire, on a et l'action mutuelle du Soleil sur la planète est représentée par
Si l'on considère que la pesanteur terrestre s'exerce sur toutes les parties des corps si petites qu'elles soient, le poids d'un corps étant la somme des poids de ses parties, et tous les fragments d'un même corps tombant dans le vide avec la même vitesse, on est conduit à admettre que deux particules quelconques, prises dans le système solaire, s'attirent proportionnellement à leurs masses et en raison inverse du carré de leur distance. Cette loi est la loi de la gravitation universelle, nommée aussi loi de Newton,
Cette loi n'a pu être étendue en toute rigueur aux astres étrangers au système solaire. L'orbite relative apparente du satellite dans un système stellaire double est bien une ellipse à laquelle s'applique la loi des aires ; mais les observations ne permettent pas de démontrer que l'orbite réelle, qui est aussi une ellipse si on la suppose plane, a l'astre j)rincipal pour foyer. Le lecteur désireux d'étudier la question la trouvera traitée au § 5 du tome I du Traité de Mécanique céleste de M. Tisserand. Un astre peut décrire autour d'un autre regardé comme fixe, suivant la loi des aires, une ellipse, quelles que soient à l'époque initiale la position et la vitesse du premier astre, sous l'action d'une force qui dépendrait non seulement de la distance, mais aussi de la direction du rayon vecteur joignant les deux astres. Si l'on suppose que la force ne dépende que de la distance, on trouve qu'elle doit être représentée par la loi de Newton, ou être proportionnelle à la distance. Dans ce dernier cas, l'ellipse aurait pour centre l'astre principal, et il en serait de même de l'orbite
apparente. Cela n'a pas lieu, en général, pour les orbites connue» d'étoiles doubles.
169. Réduction des corps célestes, pour l'étude des mouvements de translation, à leurs centres de gravité. — La loi de Newton admise, la Mécanique permet de tenter l'étude complète des mouvements des corps célestes. Les dimensions de ces corps sont très petites par rapport à leurs distances mutuelles, de sorte que leurs mouvements de translation nous sont beaucoup plus sensibles (sauf dans le cas de la Terre) que les mouvements de rotation dont ils peuvent être animés. Pour l'étude de ces mouvements de translation, les seuls dont nous nous occuperons dans ce Chapitre, on peut, dans le cas du système planétaire, remplacer, sans erreur sensible, le Soleil et chaque système formé d'une planète et de ses satellites par un point matériel de même masse placé en son centre de gravité. Cette proposition résulte, d'une part, de ce que les dislances de ces corps sont très grandes par rapport à leurs dimensions, d*autre part, de ce que chacun d'eux est à peu près sphérique et formé de couches concentriques homogènes, de sorte que l'on peut leur appliquer les deux propositions suivantes qui sont de la plus haute importance dans l'étude des mouvements célestes :
(a) Si deux corps célestes étaient formés chacun de couches sphériques concentriques homogènes, leurs actions mutuelles seraient rigoureusement les mêmes que si la masse de chacun d'eux était réunie en son centre de gravité.
Soient en effet ^,JK, z les coordonnées d'un point d'un élément infiniment petit, de masse rfm, d'un corps solide C ; a, p, y les coordonnées d'un point extérieur à l'élément, r sa distance à cet élément. Supposons que l'élément attire le point a^y et que l'intensité de l'attraction soit une fonction f{r) de r. Les composantes de l'attraction seront
LOI DE NEWTON. Hig
les intégrales étant étendues à toute la masse du corps attirant C. Désignons par F(r) une fonction ayant /(r) pour dérivée, ne devenant pas infinie entre les limites des intégrations, et par V la
fonction
V = -///F(r)rfm,
rintégrale s^étendant aussi à toute la masse du corps C. De la
relation
on a déduit
et de même
et ces formules fondées sur la règle de difTérentiation sous le signe / ne peuvent prêter ici à aucune objection, puisque les limites des intégrations sont indépendantes de a, ^, y et que Télément différentiel ne devient pas infini entre ces limites.
Il est aisé de voir que cette dernière condition est satisfaite si/(r) est la loi de Newton et que le point apy ne fasse pas partie de la masse du corps. On a alors, en désignant par/une constante positive,
/dm
Divisons la sphère en couches sphériques homogènes infiniment minces. Soient R le rayon de Tune d'elles, e son épaisseur, p sa densité. Décomposons-la en zones dont Tune quelconque soit limitée par deux cercles de rayons sphériques 9 etOn-rfO, ayant un même pôle situé sur la droite qui joint le centre de la sphère au point
aPy. On a
dm = 2icRRsin6 rfÔep, d'où
La relation donne
