IIS
f dm.
I / aa: -T- py-h Y^ x'^ -\- y^ -\- z^\ *
Le second terme de la parenthèse est du premier ordre par rapport à ~j le troisième du second ordre, r désignant la distance du
point ^j^^ à l'origine des coordonnées que nous supposerons placée au centre de gravité des corps. On en conclut, par la série du binôme,
i 2/ aa:-+- Py -h Y-* ix^~\-y^-^z^ \
LOI DE NEWTON. 23l
Donc
Les trois intégrales qui suivent la première sont nulles, l'origine des coordonnées étant au centre de gravité. Donc, aui termes près du second ordre,
C'est bien la valeur qu'aurait V si toute la masse attirante était réunie au centre de gravité.
170. Équations différentielles du mouvement d'un système de points matériels libres, s'attirant suivant la loi de Newton. — Soient //Zq, mi, ma, ••., rrin les masses de ces points. Soient aussi, par rapport à des axes rectangulaires fixes dans l'espace, Ç|, Tji, Ç| les coordonnées du point dont la masse est /w/, et A/y la distance de ce point à celui dont la masse est /ny. Soit enfin /l'action de l'unité de masse sur une masse égale placée à une distance de la première égale à l'unité de distance.
L'action mutuelle des deux masses m/, mj est
Sa composante suivant l'axe des Ç est fmimj y
s'il s'agit de l'action de mj sur mi : il faudrait en changer le signe pour l'action de mi sur rrij.
D'après cela, les équations fondamentales de la Mécanique donnent pour les composantes de l'accélération du point mi l'équation
et deux équations semblables se déduisant de la première par le
remplacement des lettres Ç par yi ou Ç. Le symbole Dy indique une sommation qui s'étend à toutes les valeurs dey, la valeur i exceptée. Si Ton pose avec Lagrange
la sommation s'étendantà tous les groupes de valeurs inégales des nombres ielj\ l'équation (i a) et les équations analogues deviennent
, ,, d^tii d\} d^rii dV d^l^i dV
^ dt^ d^i dt^ dr^i dt^ d^t
la relation
('5) A?, = ($/~5y)«-(7)/-71y)«-f.(C/-Çy)«
montrant sans peine que le second membre de l'équation (12) est la dérivée partielle de U par rapport à Ç/. La fonction U s'appell e/o/ic^/on des forces.
171. Équation du mouvement relatif des points m], mj, .,., m„ par rapport au point mo. — Rapportons les points mx^m^^ ., ,,mn à trois axes de coordonnées parallèles aux premiers, menés par le point niQ. Soient Xi^ yi^ Zi les coordonnées du point m/ par rapport à ces axes. Elles sont liées aux anciennes par les relations
(»6) ?/=$o-f-a?^, ïî/=TQo-+-r/i 0=îo-»--2/,
d'où il résulte
(17) 'àù-dx^
dt^ ~ dt^ dV^ L'équation (12) relative à la valeur o de i devient
ri désignant la distance Aqi. La première équation (16) devient, par l'introduction de ces diverses valeurs,
k ayant toutes les valeurs i, 2, 3, . . . , w.
Si l'on désigne par Cj' la partie de U indépendante de m©, on a
la valeur de U' est d'ailleurs
U = U'-^/mo2-
les indices i et y ayant toutes les valeurs inégales de i à ^. On en conclut
dxi ~~ dxi '' ® r] et Téquation (i8) devient
d^xi ^ Xi ^^ mieXk __ I à\}'
Cette équation (18*), les deux qui s'en déduisent par la permutation de X en y, de y en z, donnent pour toutes les valeurs i, a, . . . , n de f un système de 3 n équations différentielles du second ordre entre les coordonnées Xi^yi, zi des corps m«, /W2, . > >-, m„ par rapport à des axes ayant pour origine l'astre m^.
On a coutume de modifier la forme de cette équation comme il suit : on réunit au premier membre les deux termes qui ont pour dénominateur r'; on supprime au second membre les termes de U' indépendants de Xt, et l'on groupe chacun des termes restant au second membre avec le terme correspondant du premier. L^équation relative au cas de { = i devient ainsi
jr / à X Xt\ r l ^ ï ^n\
=-^'"'te AT. " 'PU ^•••^•^'"'•te -^^ - 71)'
On observe ensuite que
dxx
xi-^yxYt
-^ZfZi
ri
^n-^yxYn-^Z^Zn
àxi
de sorte que, posant
fonctions symétriques par rapport aux lettres x, y^ z, les équations (i 8*) deviennent
d^Xi .. ^x^ <^R| d^x^ . .a?! c^Rj
J ^^y\ rf V >"i <^Ri d^ y^ j-f s J^t «^Rî
Dans Tétude du mouvement des planètes, on prend pour /tIq le Soleil; ^1, ^1, ^1, x^^yi^ Zi^ ... sont alors les coordonnées des planètes par rapporta des axes passant par le centre du Soleil.
172. Transformation en coordonnées polaires des équations du mouvement relatif des planètes autour du Soleil. — Désignant par m la masse de Tune des planètes, par exemple de la planète mi, par x^jj z ses coordonnées, et posant
les équations
^'^^ dt* " dx' dt^ ~ dy' 'di> ~ àz
sont dites équations différentielles du mouvement de cette planète m{x^y^ z), bien que les seconds membres dépendent des coordonnées des autres planètes et qu'au point de vue analytique il soit nécessaire de considérer ensemble les 3n équations (A). Le plus souvent il est utile de remplacer les coordonnées reclan-
gulaires x^ y^ z par des coordonnées polaires r, 9, \? liées aux premières par les relations
(20) a: = rcosO cost', j' = rcosO sint^, ^=rsin6.
r est le rayon vecteur; nous appellerons 6 la latitude, \? la longitude, bien que nous ne supposions en aucune manière que le plan des xy soit l'écliptique, ni O j? la ligne des équinoxes.
Q est fonction de r, 6, p, étant fonction de x^ y^ z qui sont fonctions de r, 0, i^. L'application dii théorème relatif à la différentiation des fonctions composées donne
dq^dx dq dy ^ dQ âz dx dr dy dr ' dz dr
dr
et des valeurs analogues pour -^s et ■^•
La substitution dans ces valeurs de celles de t- > ^tt » ^r- > -^ > • • • ?
or (78 ov dr
dont le calcul est immédiat, donne ensuite
dQ£^Q^ dq^ y dQ z dr ~ dx r dy r dz r
dv dx •^ dy
Si l'on remplace aux seconds membres -p> ;r^' 7P P^'* ■77^'
-^Tj- 9 -Tp£ suivant les équations ( 1 9 ) , on trouve
dÇl x d^x y d*y z d^z
Ir ~~ r 'dt* "*" "r 5^ "^ r Ht^^
dQ ./ d^x d^y\ ^d^z
dQ d^y d>x
dF ^^l[F~'^~dt^'
Les seconds membres de ces équations s'expriment en coordonnées polaires comme il suit. Posant
rcos6 = p, d'où
a7 = pcos(^, y=^smv,
on a
dx^ -f- dy^ = <ip* ~h p* dv^, ou
dx^ -+- dy^-+- dz^ — rfp* -+■ dz'^ -+- r* cos*ô dv^
= c?r* + r*rfe* -h r» cos» 6 fl?p«.
On a aussi
ajî ^- y t -+- a» :r= /•',
ou
ar fl?a: -h ^ cÇ^ -f- z rf<5 = r rfr et
xd'^x-h y d^y -+■ z d^z = rd^r-^- dr^ — (ûte'-+- dy'^-^ dz*)
= r d* r — r* d%^— r^ cos*^ dv*.
De la relation
^ = tangi;,
on déduit
X dy —y dx r= r^ cos* 8 dv et
Enfin on trouve directement
--J— =sinO --r— -f-2cos6-T- -.- —r sine -y- -\- r cos^ -y-^ * dt^ dt* dt dt dt^ dt^
La substitution de ces valeurs dans les équations (21) donne les équations cherchées
dÇi d^r rfe* ,.rft;«
V (^t' dt\ dt J
173. Autre transformation des mômes équations. — Posons rcos6 = — , tangO = «,
~ étant la projection du rayon vecteur r sur le plan des xy^ s la
tangente de la latitude.
Multiplions par 2r*cos^8 ^ les deux membres de la troisième
équation B, et supprimons le dénominateur dt^ nous aurons, par
rintroduction de la variable i/,
i dv ,/ i dv\ -^< - , 'û^ TryH:^ 'di)~^ -'^''*''
d'où, en intégrant et désignant par c une constante arbitraire,
Wdi) ='-^J û^^"^'
et
(22) dt=. ^"
On utilisera cette relation pour éliminer dt des deux premières équations (B) et, le faisant, on prendra i^ pour variable indépendante.
A cet effet, en désignant par y le radical qui figure au dénominateur de dt dans Téquation (2a) et observant que
d^dQ dt~ dç'
on a
dr ^ s ds /i -h 5* du ^ y us ds , — — -du
dt "~ u^i-^s^ ^' "* ^' ~ /r+7« ^^ ÏV^ -T- ^^y
Y u ds^ / d^ul X dr dO
rf«e r Y"* du
dt* ~^" Li-+-** ^^'*
i lyu du ds 2 Y M* 5 </5* 1 M* rf* dQ
i-hs* i/p rfp (l-t-5*)* c^t'îj n- s* 5p ^ *
D'autre part on a, les variables m, 5 se substituant à r et 8,
dq dO du dq ds dQ , ,,<^Q
de du db ^ as de du ^ ^ ds'
^^^^ ^ dQ dQdu u^ dQ
dr " du dr ^ ^, | gi du
Si l'on porte les valeurs (28) et (24) dans les deux premières
équations (B), la seconde donne d'abord
Y* u-y du ^ ^ ds dv dv J
La première équation (B) devient
du dv
et si l'on élimine -r^ au moyen de l'équation (25) (26)
^1 dQ 2. ^ dv J dv y' ^^ '
d^u dv^
i <^Q Y* àa
s dq
Y*w ds
En réunissant les équations (22), (26), (26), on obtient le système suivant
dt =
dv
dv
d^u dv^
âv
dQ dudQ
dv dv
du
(^Q ds dq
d*s ds^
('^'')i7^''''Âr.--Âr.
ds
du dv dv
qui a été utilisé par Laplace dans la Théorie de la Lune, Il convient de remarquer que Q est une fonction non seulement de «, V, s, mais aussi des coordonnées des autres planètes, que Ton devra regarder ces dernières comme des fonctions connues du temps et les exprimer en fonction de i^ avant d'effectuer la quadrature
M* dv
La constante c dépend de la limite inférieure adoptée pour cette intégrale.
174. Composantes de la force accélératrice suivant la projection du rayon vecteur, la perpendiculaire à cette projection dans le plan des tcy et l'axe des z. — Si l'on désigne par P, T, S les com-
posantes de la force accélératrice suivant la projection du rayon vecteur, sur le plan desxy^ suivant la perpendiculaire à cette projection et suivant l'axe des ^, on a
P= cosi;-T hsinp-— = cos p —7 - 4- sin p — ~ ,
dx dy dt^ dt^
^ . du du , d^x d^y
T = — sm (^ ^ — h cos v-^- = — sin 1; -j— -h ces v ~~- > dx dz dt^ dt^
^-d^-^dii'
Si l'on prend pour variables au lieu de x et ^ la longitude p et la projection p du rayon vecteur sur le plan des x^ y, ce qui donne
on a d'une part
d'autre part
d'où
a7 = pcosp, y = psinv, x^-^y^= pV dx . dy dp
~ = tangi;,
dy . dx dv
puis en différentiant ces deux dernières formules
^ rf«p dv^ ^-df^ "^dt^'
/r%x ] fï^ dp di^ d \ dv'\ I d r .rfpl
175. Intégration des équations différentielles dans le cas où l'on ne considère qu'une seule planète. — Dans le cas où l'on suppose qu'une planète soit seule en présence du Soleil, les équations du mouvement relatif se déduisent des équations (A) en y faisant R = o, ce qui donne
Désignons, pour abréger, par [x la somme /no+ m^ des masses du Soleil et de la planète.
Les équations du mouvement sont
(A') -j,r^Uy,=o, rf^+/'^^-*>' ^-^/'^H=°- On déduit d'abord de ces équations les suivantes
dont l'intégration immédiate donne
(27) y dz — zdy — cdt, zdx — xdz = c'dt, xdy — y dx = c' dt, d'où
(28) ex -\-c'y -^ c''z=^o.
L'équation (28) montre que Torbite de la planète est située dans un plan passant par le centre du Soleil.
Les équations (27) montrent que les projections sur les trois plans de coordonnées des aires décrites dans le temps dt par le raj'on vecteur mené du Soleil à la planète sont proportionnelles à ce temps infiniment petit âf^ ; et, par suite, la même propriété a lieu pour des intervalles de temps quelconques. Il s'ensuit que l'aire même décrite par le rayon vecteur est proportionnelle au temps, et si 0- désigne Taire décrite dans le temps t
(29) 2<r = Tv/c*-+- c'*-hc'*= At.
Si l'on multiplie les deux membres des équations (A') respectivement par 2 dx^ 2 dy^ 2 dz et qu'on les additionne membre à membre, elles donnent
,[dx^ dy^ dz^\ - .1
d'où, en désignant par i^ la vitesse de la planète, et par a une constante arbitraire,
Or, si l'on pose,
ar=rcos6, ^=rsin9,
on a
d'où, en difieren liant les deux valeurs de v^,
ou
•fcr-ej].
L'intégrale générale de celle équation différentielle est -r-A7 = {T-cos(6-^),
e et CT désignant deux nouvelles constantes arbitraires. Cette équation qui s'écrit encore
• ecos(0 — tu)
est celle d'une section conique dont le Soleil occupe un fojer. L'excentricité est e, le paramètre -r-- On posera
Trois cas sont à distinguer :
I. Si e est moindre que i, Torbite est une ellipse, et Ton achève l'intégration en intégrant l'équation des aires
idrs =. h dt ou
(32) r^d^ — hdt,
A cet effet, on change de variables en posant
tang-^ = ^/^— jtang-, B. — II. i6
ce qui donne
I H- e -h (i — e) tang- — ;
On a aussi
