I -jz L cos V
et cette équation montre que si u. est négatif, cas où il faut prendre les signes inférieurs, l'orbite est une branche d'hyperbole convexe vers le Soleil.
184. Détermination de la constante fx. — Si, à une date ^, on a déterminé les coordonnées angulaires géocentriques d'une particule de la queue d'une comète, et si Ton admet que cette particule est exactement dans le plan de l'orbite du noyau, on peut aisément calculer ses coordonnées dans ce plan. Nous admettrons que Ton ait obtenu ainsi le rayon vecteur R mené du Soleil à la particule, l'angle w que fait ce rayon vecteur avec Taxe de l'orbite du noyau. Nous supposerons aussi connue la vitesse relative initiale g de la particule, cette vitesse ayant, ainsi qu'il a été dit, une valeur fixe pour chacune des trois classes de queues de comètes. Nous nous proposons de calculer l'instant ti auquel la particule a quitté le noyau et le coefficient }jl de l'action exercée par le Soleil. Nous supposerons l'orbite de la particule hyperbolique.
On a visiblement, en conservant les notations des deux numéros précédents
L^orbite ëlant hyperbolique, la position de la particule à une date t est donnée par les équations (*)
V ,/Êr^,u
R = ô(Echttzîii),
EshM=pM= ^-^(/ — ^o),
formules dans lesiquelles to désigne Tinstant du passage au périhélie, et où — 6 a été mis à la place de A, A étant négatif da-ns une orbite hyperbolique.
A la date /|, on a de même
EshMjzpw, = ^-if(f,-./o); b^ d'où, par soustraction,
aE en Ml ch sh -
Or, par les formules ci-dessus,
b {Xi
et
Posant
Il — Ux
(') On a posé
shu= j chM= > shK = chuthi/,
e désignant la base des logarithmes népériens. M. Houël a donné {Recueil de formules et de Tables numériques) des Tables de ces fonctions.
l'équation entre w et ^ devient
.H,(i-îit)«"
(I) (2— |Xi)shacha-4-2COs3, v^i — |xish»a — of|Jii = '^ ^^ ' (/ — /|).
Nous la regardons comme une équation entre a et [X|, les quantités R<, H,, Pi qui y figurent aussi devant êlre remplacées par des valeurs hypothétiques.
On obtient une seconde équation entre les mêmes quantités comme il suit.
Des relations
RcosV = b(Ezç:chu\
R = ô(EchMqp i), on déduit
2Rcos«- =6(Eq= T)(chM-4-i)=2i>(Ezpi)ch«-,
2R sin«- = b{E dz i){chu — 1) = 2b{E ± 1) sh«-. On en conclut, en observant que — ^- — - = ^"~^'>
i' /Rsin^^Xi = /R sin îî^i^ = ^^slnp.sha, 2 2 ^i j^j
/R cos^î!-=:^» = /R CCS î:^^::^* = /r; (^^ /R sin ( pi — î!i^5!! ^ = /r; sin pi ch a ;
(") tha = /r^^i
sin
c'est la seconde équation cherchée.
On tire aussi des équations (a) extrêmes, en retranchant les deux membres de la première de ceux de la troisième après les avoir élevés au carré et avoir chassé le dénominateur i — jjl,,
(III) R=- RijiniPj ,
i„.(p,î^)^(i^.)sin«^ Les équations (I), (II), (III) se résolvent par tâtonnements. On
y donne à /< une valeur hypothétique au moyen de laquelle on calcule R|, Pi , t^i, H| ; on détermine jjl et a par les équations II el III et l'on porte les résultats dans Téquation I. On modifie tt jusqu'à ce que les valeurs de u. et de a trouvées satisfassent à cette équation I.
L'exposé plus détaillé des recherches de M. Brédichin sortirait du cadre de cet Ouvrage. Ce qui précède suffira pour donner une idée de la méthode; les notations employées ici sont celles de M. Brédichin lui-même. On pourra trouver dans un Mémoire de M. Socoloff (Formules exactes de la théorie des queues cornétaires) la solution des autres problèmes qu'offre cette théorie {Annales de V Observatoire de Moscou, 2" série, t. II).
