CHAPITRE XII

MOUVEMENT TROUBLE : INTEGRALES DU PROBLEME DES Tl + I CORPS. — METHODE d'approximation DE LAGRANGB, DITE DE LA VARIATION DBS CONSTANTES ARBITRAIRES : APPLICATION AUX INÉGALITÉS SÉCULAIRES DES PLANETES PRIN- CIPALES.

185. Intégrales du problème des /i + i corps. — Nous avons trouvé, au n® 170, les équations différentielles du mouvement de n -\- I corps libres s^attirant mutuellement suivant la loi de Newton. En posant

1 miTTij

^h = (?/- 1;)'+ (^/- '!y)'+ (Çf- 0)'.

la sommation s'étendant à toutes les combinaisons de valeurs des nombres t et y, ces nombres n'étant jamais égaux, et variant de o an, on a trouvé les équations

Or, on a

^u z"^. v^vii^^il*}

et, par suite,

Aux seconds membres de ces formules les sommations s'étendent à toutes les valeurs de j autres que k. Si l'on additionne membre à membre toutes les équations analogues qui corres-

pondent aux valeurs o, i, 2, . . . , /i de Ar, on trouve

Or, dans les seconds membres, à un terme d'indices A", y correspond toujours un terme d'indices y , k et ces termes sont égaux et de signes contraires. Les seconds membres sont donc nuls.

En tenant compte de ces résultats, les équations (i) donnent

Ces six équations s'intègrent immédiatement. Les équations (3) donnent

(5) 2m;tî;t=a'-*-a', I,mkr^k=^t -^^\ I.mktk=^t -^ i,

a, p, Y, a', P', y' désignant des constantes arbitraires. Les équations (4) donnent

Les équations (6) sont trois intégrales du système (i). Elles sont connues sous le nom d'intégrales des aires. Elles expriment que, si l'on multiplie la masse de chaque corps par Vaire que décrit sur Vun des plans de coordonnées la projection du rayon vecteur mené de l'origine à ce corps, la somme des produits obtenus est proportionnelle au temps.

Les équations (5) expriment que le centre de gravité du système a un mouvement recliligne uniforme. Elles équivalent aux six intégrales suivantes :

Enfin, si Ton multiplie les deux membres des équations (i) respectivement par 2 d\kj 2 dr^k, 2 dZ,k et que Ton observe que U ne renferme pas le temps explicitement, on obtient, en additionnant membre à membre toutes les équations ainsi obtenues,

i""[(t)"-(tr-(t)']-»s.

d'où

Cette intégrale est connue sous le nom S intégrale des forces vices.

Si Ton envisage le mouvement relatif des n corps /n<, m^y .-., /w^ par rapport au premier mo, les dix intégrales que nous venons d'obtenir se réduisent à quatre. La disparition de six intégrales correspond à la suppression des trois équations différentielles du second ordre relatives à mo* Pour obtenir les quatre intégrales restantes, on tire des intégrales (7) relatives au mouvement du

centre de gravité les valeurs Ço? ^^loj So? -Jr? -^> -^ après avoir

remplacé dans ces intégrales Ç/ par \q-{- .t/, r^i par Tjo+y/, Ç/ par ^o-+-'5/; puis on porte les valeurs ainsi trouvées dans les intégrales (6) et (8) des aires et des forces vives. Nous nous bornerons à cette indication, le calcul n'offrant aucune difficulté.

186. Méthode d'approximation de Lagranse. — Le problème des n + i corps ne pouvant être résolu complètement, même dans le cas de trois corps, on procède pour l'intégration par approximations successives. Nous exposerons dans le présent Chapitre el dans les deux suivants, aussi brièvement, aussi simplement qa*il

nous sera possible de le faire, les principes de la méthode de la variation des constantes arbitraires due à Lagrange, méthode que Le Verrier a appliquée aux planètes principales, ceux de la méthode que Laplace a appliquée à la théorie de la Lune, et les pro^ cédés dits de quadratures mécaniques, qui sont presque seuls utilisés dans la détermination des orbites des petites planètes.

Nous reprendrons les équations (A) du mouvement relatif, en prenant pour origine le centre du Soleil. Nous n'écrirons pour le moment qu'un seul groupe de trois équations, relatif à l'accélération d'une planète de masse m, dont nous représenterons par â?, y^ z les coordonnées, et nous poserons mo-\- m = [x. Ces équations deviennent

d^x fiix ôK

Posant

dt^ "^ /•*

■ôi=°'

dt^ ' r»

d^z f^z \ dt^ r'

dx dy

dz dt

dx aQ

dt du "^'

du ^Q

dt àv ~ '

dç dq

dz dq

dt dw "■ ®'

dw dO

dt^à.=''^

les équations du mouvement elliptique, obtenues en faisant K nulle, sont remplacées par les six équations

et les équations (A) par

du ôQ

dï'^^-^^='''

dt àz

di'

dt '

ôQ

àq

OÙ l'on a posé

X, Y, Z sont des fonctions de x, y^ z et des coordonnées des autres planètes; les quantités U, V, W ont été introduites pour la symétrie du système P; elles devront être remplacées ultérieurement par zéro; nous les regarderons pour l'instant comme étant des fonctions quelconques des mêmes coordonnées dont dépendent X, Y, Z.

La méthode de la variation des constantes arbitraires consiste en ce qui suit :

On suppose que l'on ait intégré les équations (a). Elles ont donné poura:, j^j ^? w, v^ fv certaines fonctions (pi, y2>?sj ^'i? ^iî ^s du temps et de six constantes arbitraires distinctes a, 6, c, d^ e, /. On peut chercher à satisfaire aux équations ^ par les mêmes fonctions de a, è, c, rf, e. /et du temps; la chose sera possible si l'on regarde a, è, c, rf, e, /, non plus comme des constantes, mais comme des fonctions convenablement choisies du temps. En d'autres termes, regardant rz, 6, c, rf, e, / comme des fonctions inconnues du temps, on substitue aux inconnues x^ y, z^ w, c, w les inconnues a, 6, c, rf, e, /, ce qui est permis, puisque les premières s'expriment au moyen des dernières et qu'inversement a, 6, c, rf, e, /s'expriment en fonction de x,y^ z, a, i', w. Cela, en effet, a toujours lieu si a, b, c, rf, e, / sont les constantes de six intégrales distinctes du système (a).

Proposons-nous d'introduire dans les équations (^) les inconnues a, 6, c, rf, e, / au lieu des inconnues x, y, 5, w, c», tv. Observons, à cet effet, que x étant une fonction connue yi de a, t, c, rf, e, /, t et a,bj c, . ., des fonctions inconnues du temps, on a

(îo)

et des valeurs semblables pour -^ > ^» ^' »

La dérivée partielle -^ est la dérivée de x par rapport à / quand on regarde a, è, c, . . . comme des constantes. On a donc,

dx d<fi <)<pt da d(fi dh dt ~ àt '^ da dt "^ db dt '^'

^ à<ii df ■^ df dt'

d'après la première équation (a), /

-P- = 3-^» et de même dt du

(11) { ()cp, dQ

En portant dans les équations (P) les valeurs (lo) de-r^» —^ •••?

tenant compte des conditions (i i) et remettant les lettres x^y^ z^ Uj V, iv au lieu de Çi , ^ 2? • • -^ on obtient les équations cherchées

âx df , du df -.

(la) '\ày^^^àj db ^ ^^^V=i

àx

dx db

db dt

du da

du db

dâ

ày

da dt

dy db

db dt

dw da 5a "di

dw db db dt

df dt

dw df

Il reste à résoudre ces équations par rapport à -rp -j-^

Pour y parvenir, additionnons-les membre à membre après avoir multiplié les deux membres de la première, de la troisième, de la

du ds^ dw ^ . vil

Cinquième par — — > — -r-y — y-; les deux membres de la seconde, delà quatrième, .de la sixième par — ; ^> ^'

Le coefficient de -j: sera nul; nous désignerons avec Lagrange par \ah\ celui de -r-

, «s r . 1 dx du

(.3) \-b\^-TbTa

Ce coefficient est connu, puisqu'il est formé au moyen des dérivées partielles des fonctions «<, cpa, 03, 4*1? ^2» '^a- Le coefficient

de de -j- s'en déduit en remplaçant la lettre h par la lettre c, et ainsi

des autres. Nous poserons

da da da da da da

Ox du

dy dv dy di>

dz dw ôz Ow

da ôb

db da da db

Nous aurons ainsi Téqualion (Y) [a6]^^+[ao]g+...+ [a/]^ + R<. = o.

En prenant pour multiplicateurs les dérivées partielles de — u, — ^, — w, X, y-y z par rapport à 6, on trouvera de même l'équation

(Y) [ba]§+[bc]^^^...^[bn%^K=o,

et ainsi de suite. On a ainsi un système de six équations (y) qui ne sont pas encore résolues, mais dont les coefficients ont des propriétés remarquables qui servent à les former. Les identités

sont évidentes, d'après la définition même du symbole {ab).

De plus, si Von exprime \cih\ en fonction de a, é, c, r/, e^ f et t^ le temps t n^y figure pas explicitement.

Pour démontrer cette proposition, il suffit de prouver que, si l'on regarde a, 6, c, . . ., / comme des constantes, et par suite x, y^ z, e/, v^ w comme satisfaisant aux équations (a), [a6] est aussi une constante, ou, ce qui revient au même, que sa dérivée par rapport à t est nulle. Or on a

d\^ah\ d^u dx d^x du ô^x du d^u d.r di ~~ dadt àb "^ dadt db "~ db ât àà "^ dbTt 5â ~"

Les termes que l'on n'a pas écrits au second membre se déduisent des premiers en remplaçant ^ et w d'abord par j^ et b, puis par z et (v.

On vérifie immédiatement que celte formule s'écrit

d[ab] à r ôx du àx àu^ d V dx du dx du' " dt "^ dâx db di "^ 'di db \'^ db \ dâ H ^ lï dâ

d V dx du dx du^ d Vt "" ô^ldbdi "^Tt db\'^ dbll

ou en tenant compte des équations (a)

d[ab] d^ VdÇl dj^ dQ^ ^1 d^ f^ d^ dQ du^ dt '~ da ydx db du db \ db \dx da du da\

Le second membre de cette relation a six termes. Le premier,

le troisième elle cinquième forment la dérivée partielle par rapport k a de -^; les autres, abstraction faite du signe — qui les précède, forment la dérivée partielle par rapport à 6 de -p • On a donc

dt " da\db / Ob \da ) "^ ^'

Si l'on résout les six équations (y), on obtient un svstème de la forme

^ = (aa)R«-h(a^»)R6-f-... + (a/)R/,

Les coefficients (ab), ... étant des combinaisons des coefficients [ab]^ ... ne renferment pas le temps explicitement.

Si dans les relations (y) on remplace -^7^ ~t,' '" P^^ ^^s valeurs (8),

les premiers membres devront être nuls quels que soient Ra, R^, — Nous ferons la substitution, non pas dans les équations (y), mais dans la suivante :

-. da ^ db r^ df

qui s'en déduit immédiatement en tenant compte des relations (i 3). Nous obtenons ainsi l'identité

(aa)RJ+(i.6)R|-h...-h(//)R>

-4-[(aô)H-(^»a)]RaR6 + ...-^l(c/) + (/0]ReR/=o.

Cette identité ayant lieu quels que soient R^, R*, . . ., on a pour toutes les combinaisons de deux lettres a, b, . . ., /

(i5) (aa) = o, {ab)-^{ba) = o.

Les parenthèses {ab) ont donc les mêmes propriétés que les crochets [ai] de Lagrange.

187. Expression donnée par Poisson des coefficients {ab). — Les crochets [«è] de Lagrange s'expriment (form. i3) au moyen des dérivées partielles de x^ w, j', . . . par rapport à a, 6, . . ., /:

Poisson a exprimé sous une forme analogue les parenthèses (ab) au mojen des dérivées partielles de a, è, . . ., /par rapport à Xj II, y, .... iv.

Rappelons que l'on a déduit des équations (a) du mouvement elliptique six intégrales

I a = F,(a?, a, 7, i>, z, w, t), (i6) \ b = Fî(a?, w, y, p, z, w, t\

que ces intégrales résolues par rapport k x^ ii, y, . ,, ^ w ont donné un système équivalent

I a7 = (pi(a, b, ...,/, Oi w = 4^i(a, 6, ...,/, 0»

et que les relations (16) ou (17) satisfont aux équations (p) du mouvement troublé aussi bien qu'aux équations (a) du mouvement elliptique. Seulement, dans le premier cas, a, 6, . . . sont des fonctions du temps, dans le second des constantes. Dans ce dernier cas, on déduit de la première équation (16)

àFx dx^ à^\ du

"^ dx dt du dt "

OU, en tenant compte des équations (a),

^ ^ ~ àx du du àx ày âv

et si, dans cette relation, on remplace ar, j^, 5, ..., par a,b, ,, .^ t au moyen des équations (17), elle devient une identité. Les autres équations (16) conduisent à des identités analogues.

Dans le cas du mouvement troublé, les équations (16) donnent

da ôF^ dx âFj du ()F, dw dP,

dt ~ àx dt du dt " ' dw dt dt

ou, en tenant compte des équations (p) et de l'identité (18),

.V da da .. da . da ,, da „

^ ^' dt dx du dy dw

Si l'on différentie par rapport à x les équations (17) après y

dw Tt

dFi

da dw

da dt

__ dx da dx db

" da dx db dx

du da du db

~~ "dâdi db dx

dxdf ' ' df dx'

àf dx'

dw da dw db ~" da dx db dx

dw àf •'^'àf dx'

avoir remplacé a, 6, ..., /par x^ y, ... au moyen des équations (i6), ce qui en fait des identités, on trouve identiquement

Si Ton additionne membre à membre ces identités (20) après avoir multiplié les deux membres de la première par X, ceux de la seconde par U, . . ., on obtient

('■) ^=t'''^-Tx^^---fx^f

On trouve de même

da^ db ^ df^

du du du ^

et ainsi de suite.

En portant ces valeurs dans l'identité (19), on trouve

da ^ Ida da da da da da da da\^

di "^ \dx du Ou dx djr dv ' " dw dz ) ^

/da db da db da db da àb\j^

\ dx du du ox dy dv ' ' ' dw dz /

La comparaison de cette valeur de -^ avec la première équation (S) donne

. . da db da db da db da db

^ ' ^ ~~ dx du du dx dy dv ' " dw dz

Telle est l'expression de {ab) donnée par Poisson.

188. Formation des équations de Lagrange. — La formation effective des équations de Lagrange comprend la détermination des coefficients [db] et celle des termes connus R^.

A l'égard de ces termes connus, si Ton se rappelle que

U=V= W=o B. - II. 18

et que

on a immédi

atement

oa oa oa

Nous irouverons la plupart des crochets [«è] en écrivant qu'une intégrale du mouvement elliptique convient au mouvement troublé.

Rapportons le plan de l'orbite aux axes Ox^ y^ z. Soit 8 la longitude du nœud, c'est-à-dire l'angle compté de Oa; vers O^, que fait avec Ox la direction du nœud ascendant du plan de l'orbite sur le plan 0:0^; soient (f Tinclinaison de ce plan sur le plan xOy, Tjs la longitude du périhélie, c'est-à-dire la somme de la longitude du nœud et de l'angle que fait la direction du périhélie avec celle du nœud. Soient a et e le demi grand axe et l'excentricité de l'orbite, e la longitude moyenne à une date donnée, c'est-à-dire la somme de la longitude du périhélie et de l'anomalie moyenne à cette date. Soit n le moyen mouvement lié à a par la relation

On voit que dans l'alinéa précédent nous employons, comme déjà plus haut, le mot longitude, exactement dans le sens qu'il aurait si le plan xOy était l'écliptique et Ox l'équinoxe; mais nous ne faisons nullement cette hypothèse. Nous supposons seulement que l'origine est au centre du Soleil.

J. L'intégrale des forces vives

dx^ -+■ dy^ -H dz^ y. / 2 i \ é =H-r-a)

convient au mouvement troublé.

Ëxprimons-la au moyen des éléments. A cet effet, différentions

les deux membres et remplaçons -^j -^^ ^— - par les valeurs

que donnent les équations (9). Nous trouvons

dx r f^ ^ ^1 ^ f^ r ÙI. ■ ^R] ■ dzV f^z dR]

dty r^ àx\ dt\ r^ '^ dy\ dty r^ àz\

___ /ji. dr f^da ■" r^ dt a^ dt'

MOUVEMENT TROUBLÉ. 2y5

dR dx àH dy dR dz /fx da ^^^^ àx di '^ dy dt'^ dz dt^li^dt'

R est une fonction de x^ y, z et des coordonnées des autres planètes. Le premier membre de la dernière équation est la dérivée de R par rapport au temps prise comme si ces dernières coordonnées ne dépendaient pas du temps. Or x, y, z ne dépendent du temps que sous la forme suivante : ce sont des fonctions de Tanomalie excentrique u qui dépend du temps par Téquation de

Kepler

u — e sin u =^ nt -^z — tït, d'après laquelle

du du

dt=^''-di'

De plus, X, y, z ne dépendent de e que comme fonctions de w, etles coordonnées des autres planètes ne dépendent pas de e. Donc

dx dt ày dt dz dt "" dt

L'équation (aS) devient ainsi, en tenant compte de la relation (a4),

na da __dR ^^ ^ T'di " Te'

Cette équation donne donc

[ea]=^, [se] = o, [e6] = o, [£o] = o, [em] = o.

IL Les intégrales des aires donnent tous les autres coefficients sauf [ae].

Désignant, comme au Chapitre précédent, par h la constante des aires, par c, c', c" ses projections sur les trois axes, on a

(26) c = /isinO sin<p, c' = -— /i cosO sin'f, c*=/fcos<p

h = na^yi — e^ .

DifTérentiant les intégrales des aires, on a de d^z d^y de' ___ d^x d^z de' __ d'^y d^x

dt'-'^dF'~'''dtr' dt-''''dt^''^'dt^' 'dt-^'lU^^^'Wfl'

OU, en remplaçant les dérivées secondes par les valeurs que donnent les équations (9) du mouvement troublé

de dR <?R de' dR dR de' àR dR

^'^^^ Tt-^'d^'"'d^' Tt^^'di^''^' 'dt'-'''dP~'^dx'

Les coordonnées x^ y^ z s'expriment d'ailleurs en fonction du temps par les relations

X = rcosOcos(p — 6) — r sin6 sin(p — 6)cos(p, y = r sin6 cos(p — 0) -h /• cos6 sin(p — 0) costp, z = rsin{v— 6) sincp, r = a(i — ccosa),

tang

e s'inu

où ç désigne la longitude vraie.

X. Ces préliminaires posés, on a, en remarquant que R ne dépend des divers éléments que parce qu'il dépend de x, y, 2,

^-^^^ o|R^ àR^ dcp ~" dx d^ ày d<f dz d^

dx dy dz ^"^ ^

, ^f dR dR\ ^f dR dR\

Donc

= sinô -y- -4- cos6 -r- ^ h sin© -7- • dt ai ' af

, / r cTO ôR

* dt a«p

de sorte que

[(pa] = o, [«pc] = o, [tpO] = /ia*/i — c*sintp,

[jL. On a aussi, en remarquant que j?, j^, z et, par suite, R dépendent de 8 sous deux formes : par l'argument / — 0 et par Targument 6,

le dernier terme indiquant la dérivée prise comme si p — B ne

dépeudait pas de 0. Ce terme est égal à

Donc

âx^'^ dy"^'

c^e "" ^((;— 6) "^ dt' D'autre part

dR dR. ' u ' ^

-H -— (arcoscp — z sinO sino) -h — sin<p(a? cosO -^y sinO).

Les relations (27) s'introduisent d'elles-mêmes, et l'on obtient dR \ ( de ,d£^ ''^\^^

d(P~e) " hydt '^^ dt'^^ dt)" dt'

On a donc

àR ___dh de' d^ ^^ dt"^ dt*

Les dérivées qui figurent au second membre résultent immédiatement des relations (26) et l'on a

, , ^m da 1 na^ e . ^o de , > . do dR

^ '^ dt Ji ^1 1 dt ^ ^ dt d^

Donc [ôal =— /la/i— e* sin^-i-j [Qe] = sin^î^ [0731=0,

V. Pour calculer -r- on observe que R ne dépend de tîj que parce

que i^ en est fonction, mais que v en est fonction pour deux motifs, puisque v est égal à

m -f- 2 arc

r. /i H- e al

et que u est fonction de xs d'après l'équation de Kepler. On a donc

dra ~~ dç du dm '~ dv dt ' puisque t— est égale à — "T" ^^ q"® R ^^^ dépend de e que comme

fonctîoD de u. Or on vient de trouver que

dR dR dh

et plus haut que On a donc

dK na da de "" 2 57"

na^/i — e») na da dt 1 dt ^

na / , j-\ da na'^ e de dR

Donc

IIJ. Il ne reste plus à trouver que le coefficient \ae\ Nous le

calculerons directement.

0 1 ^ dx dy dz

n a, en remplaçant «, v^ w par ■57' dr> ^'

. dx . dx

-, àx dt dx dt ^ ^ da de de da

où J7, ^, ^ sont liées aux éléments par les équations du mouvement elliptique.

Changeons d'axes de coordonnées : prenons pour axe des \ la direction du périhélie, pour axe des r\ une perpendiculaire à G? menée dans le plan de Torbite.

Les formules du changement de coordonnées seront

37 = AÇ -h A' 7),

^ = B5-f-B'Y), ^ = Cî-4-C'73, OÙ

A'ï-H- B'»-H- G'« = 1, AA'4-BB'+GG'=o.

On en conclut, en observant que A, A', B, B', C, C ne dépendent

ni de a, ni de e,

*~ da de da de de da de da

Or, des relations

5=:acosa — ae, ir) = a/i — e^sinu, a — c sinw = n^4- e — tb,

on déduit

rfç . . du d-Tï I du , du

-r = — asm M -7-, -7r = ^vi — e'cosa--j-j (c — ccosm) -r- = n. dt dt dt ^ dt ^ ' dt

Le coefficient [ae] ne renfermant pas / explicitement, on peut, pour le calculer, donner à t une valeur particulière. On fera

d'où

BT — E

et la valeur particulière donnée ne contenant pas e, ^- et -r— sont aussi nuls pour cette valeur de i. On a aussi, pour cette valeur de ^,

dT\ na^v — e^ .

di= i-e ' « = «(—«').

dt na d\

de (,e)/|e2 de

-r^ = /i — c* sin M -f- a J\ — e da ^

dn , . 1 du I du

-r-^ = /i — c* siiiM-f-a/i — c* COSM3- = a v^ï — ^*T-' da da da

dt du du \ dt ) an du

-r — = — a ces u —, — r sin a — ^-^j — — = -r- •

da dt da da i — e da

La valeur (28) de [ae] se réduit aux deux termes du milieu et l'on trouve

[ae] = o,

Nous avons ainsi tous les coefficients distincts des équations de Lagrange. La résolution de ces équations par rapport aux dérivées des éléments est immédiate et donne

da 0. dR de "~ na dz^

de y/\ — e^dK ^ y —e^^x — ^ i — e^ dt ~~ na^e dm nà^e

) dR

dt na^e oe na^^i — e^ ^?

/dR dR\ \dm d& J

^""«I àR

^^ na'^^x — e'sincp ^^ na^>j\ — e'

dz 2 dR /,e*-(i — /f-««)dR

di na da na^e de

/l/TÎt/l — gî 00

équations dans lesquelles il reste à exprimer R en fonction des éléments et du temps par les formules du mouvement elliptique.

189. Remarques générales sur la fonction perturbatrice et ses dérivées partielles. — On a vu que les intégrales premières des équations du mouvement elliptique conviennent aux équations (^) du mouvement troublé. Il s'ensuit que x, y^ z et leurs dérivées

ffjK d')^ dz

premières jt ' "^ » 57 sont les mêmes fonctions des éléments a,

e, 6, ^y xsy e et du temps t dans le mouvement elliptique que dans le mouvement troublé. Seulement, dans le premier cas, les éléments sont constants et dans le second ce sont des fonctions du temps t,

A une date quelconque ^©j ces fonctions ont des valeurs a©, ^0, ^ùi ?oj ^o> So \ la planète a des coordonnées ^oj ^oj ^oj et sa vitesse

a des composantes (^)'(^)'(^)* Toutes ces quantités sont

MOUVEMENT TROUBLÉ. iSl

reliées par les formules du mouvement elliptique. Si donc, à cette date, la planète n'était plus attirée par les autres, mais seulement par le Soleil, elle décrirait autour de cet astre une ellipse dont les éléments seraient précisément ao, ^o, 607 ?0) ^0? ^o* Les valeurs des éléments variables a, e, 0, ^, gj, e à une date quelconque ^o sont donc les éléments de Tellipse que la planète décrirait ensuite, si, à partir de cette date, les autres planètes cessaient d'exister et qu'elle restât seule en présence du Soleil. On les appelle éléments osculateurs à cette date.

De cette date à une autre date t^ ces éléments osculateurs reçoivent des variations 5a, Se, .... Ces variations s'appellent perturbations des éléments. Ces variations étant dues à l'existence de la fonction R, cette fonction a reçu le nom de fonction perturbatrice.

Pour former les équations (8), il faut exprimer R en fonction des éléments a, e, . . ., s et du temps, après quoi on pourra en calculer les dérivées partielles par rapport aux éléments. En vérité il est impossible d'écrire explicitement, sous forme finie, cette expression de R, à cause de l'impossibilité où l'on est de résoudre l'équation de Kepler. On peut bien, en effet, exprimer j:, j^, 2 sous forme finie en fonction des éléments et de l'anomalie excentrique; mais on ne peut ensuite remplacer l'anomalie excentrique par l'anomalie moyenne qui, elle, varie proportionnellement au temps.

Il faut remarquer en outre, au point de vue de l'intégration ultérieure, que R ne dépend pas seulement du temps parce que a:, y^ z en dépendent, mais aussi comme fonction des coordonnées des autres planètes. Les coordonnées a:', y\ z' de l'une d'elles doivent naturellement être remplacées par leurs valeurs en fonction des éléments a', e', 6', ... de l'orbite de cette planète et du temps.

La fonction R est d'ailleurs formée d'autant de parties distinctes qu'il y a de planètes autres que la planète m : on a

R =/V^T- ' rx'-^yy^zz'^

Il s'ensuit que dans le calcul de la fonction R et de ses dérivées partielles, on peut s'occuper séparément des parties relatives aux

St8'2 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE XII.

diverses planètes perturbatrices. Pour ce motif, nous n'écrirons désormais, à moins qu4I ne soit utile de faire autrement, que la partie de R qui correspond à la planète m'.

Cette partie s'exprime, sous forme finie, en fonction des sinus et cosinus de multiples des anomalies excentriques des deux planètes. Elle est donc aussi une fonction périodique des anomalies moyennes M, M', ou, ce qui revient au même, des longitudes moyennes /, l', (Il s'agit pour chaque planète de la longitude moyenne égale à la longitude du périhélie augmentée de l'anomalie moyenne.)

Une telle fonction, pourvu qu'elle soit finie, peut être développée en une série de termes de la forme

Acos(i7-+-i7'-hB),

i et V désignant des nombres entiers positifs ou négatifs quelconques.

Nous donnerons au n** 191 quelques explications sur ce développement dont l'étude complète sortirait des limites que nous nous sommes imposées, nous bornant pour ce moment à dire que le terme général est, en vérité, de la forme

CcosD, où

(s) D = il -^ i' V -»r km ■+- k'îB' -^ j^ -^ j'^\

f , i'j Âr, A^, y, j' étant des nombres positifs ou négatifs quelconques, C une fonction de a, a', ^, e', «p , ©'.

Les dérivées partielles de R par rapport aux éléments ^, 0, cp, nj, e seront exprimées par des termes de la même forme que ceux de R; seulement dans les dérivées par rapport à e, 6, gt les cosinus seront remplacés par des sinus.

Mais il n'en est pas de même de -r- qui entre dans la sixième

équation (8). En effet, R dépend de a, d'une part parce que les coefficients C en dépendent, mais aussi parce que la longitude

moyenne / égale knt-{-t est fonction de n qui est égal à \Jf^a ' •

^ j la dérivée partielle de R par rapport à a,

prise comme si a n'entrait que dans les coefKîcients C, on a

~ \da

da \da ) dl da

Visiblement -tt est égale à -7-> puisque R ne dépend de e que comme

fonction de / et que ^ = i .

Donc

^__/dR\ dK dn da ~' \da / dz da

j- j n'aura que des termes analogues aux termes (e), mais la seconde renfermera des termes de la forme

^cos(^i-ha),

qui grandiraient indéfiniment avec t.

On évite cet inconvénient comme il suit :

On observe que -p n'entre que dans la sixième équation (8), qui devient

dt "^ na\da) na dz da '**'

les termes représentés par des points ne dépendant pas de ^ et, par suite, n'offrant pas l'inconvénient signalé. Or la première équation (8) donne

da ^ ^

dt ~~ na dz

L'équation (29) devient donc

dz __ a (à^\ dn da dt ~ na \da) da cU

,^ . dz-htdn 2 /<)R\

On est naturellement conduit à remplacer l'élément e par un

autre (e) tel que

dz-h tdn = d{z)y ce qui donne

(s) = e-h/^û?n = z-i-nt—fndt

OU encore

z -\- nt = (z) -{- fn dt,

fiM second membre la constante d'intégration est quelconque;

en la changeant, on modifie d'une constante l'élément nouveau (e).

Par l'introduction de cette nouvelle inconnue, l'équation (3o)

devient

d{t) ^2^(àK\ dt *~" na\daj

Elle est de même forme que l'équation initiale

dt 2^ ^R

dt na ôa

-T-] on ne tient pas compte de ce que / dépend de a.

Les autres équations (S) ne sont pas changées, puisque

d{z) "" Ot '

On fait couramment la substitution en conservant les notations

primitives. Il est bien entendu que ->- signifie la dérivée prise

comme si les coefficients G seuls dépendaient de a et que / ne fût pas fonction de a, et que l'élément e a la signification nouvelle de sorte que la longitude moyenne / n'est pas égale à e + nt, mais que

(3i) l = z-hfndt.

190. Méthodes d'intégration par approximations successives. — Le système d'équations (8) comprend six fois autant d'équations qu'il y a de planètes. Ces équations n'ont pu être intégrées rigoureusement. On procède par approximations successives.

Pour plus de clarté, supposons que l'on n'envisage que deux planètes m, m'. On a, pour chacune d'elles, un système de six équations (8), en tout douze équations. Les premiers membres sont, dans les six premières, les dérivées des éléments de l'orbite elliptique de la planète m, dans les six dernières, les dérivées des éléments de l'orbite de la planète m'. Les seconds membres sont des fonctions de tous ces éléments et du temps. On cherche des va-

leurs des éléments de la forme

où «0, ^o> • • • î «iî ^ij • • • sont des constantes, et généralement 3|«o? S/^o, . . . , 3/aJ,, . . . des quantités d'ordre i par rapport aux masses m, m'. Ces développements conduiront d'ailleurs à des expressions analogues pour le moyen mouvement et la longitude moyenne. A cet effet, on posera

ao-+- ûiao-l-ûjao -1-...,

eo -+-8i«o H-Oi^o

«'o-4-8i«'o-^Sî«'o

ei+8ie'o-i-8,ei

71 = /lo -f- Ûi Tlo -4- Ôj /lo -f-

et l'on déterminera la constante Hq par la relation

Comme on a aussi

/io =

^^ v//(mo-h/n)^

la comparaison de la première équation (Sa) et de la formule (33) donne

/lo -H Si Tlo 4- 8j /lo -+- • • •

/t; ' — ^ -î/ 3 S,ao 3 8,ao i5 ôia» \

\ -2 «0 a a© 8 aj /

On est naturellement conduit à faire

s « 3 Si a©

a ao

L a ao 8 «0 J

On posera ensuite

(35) po=no/, 8,po=/8i«oû?/, 8ipo = /8,/io rf/,

et si

on aura, en remplaçant n par la valeur (33),

(36) p = po-+- 5ipo-H 8ïpo-+-. ...

valeur dont les termes après le premier sont successivement du premier ordre, du second, etc.

En accentuant les lettres on aura des formules toutes semblables se rapportant à la planète m'. Les termes a©, e©, . . . , aj^, e^, . . . , po, po sont les mêmes que si chaque planète était seule en présence du Soleil. Les termes 8|, 82, ... s'appellent les perturbations du premier ordre, du second ordre, etc. Pour trouver ces inégalités, on substitue dans les équations (8) les valeurs (Sa), (33), (36) et Ton égale les termes de même ordre dans les deux membres de chacune d'elles.

Si l'on s'en tient aux perturbations du premier ordre, en observant que les seconds membres des équations (8) sont du premier ordre par rapport aux masses, on voit immédiatement qu'il suffit de remplacer dans ces seconds membres les éléments a, c, . . . , a\ é ^ ... par les constantes ao, ^o? • • • ? ^o? ^o) - * - ^^ P P^^ po ^" Ho^; aux premiers membres on remplacera les éléments a, e, ... par leurs perturbations du premier ordre 8a, 8e, .... Les seconds membres ne sont des fonctions du temps que parce que les longitudes moyennes /, /' en dépendent. Ces fonctions sont malheureusement très compliquées. Les premiers membres sont les dérivées des éléments par rapport au temps. On est donc immédiatement ramené à des quadratures, qui sont d'ailleurs immédiates si la fonction perturbatrice a été développée en série de termes de la forme (e), de la forme Cq cosDo, où

Do = i{n^t'\- so) -+- i\ri'^ t -h a'^) -h kra^-^-k'jB^ H-y 6o-f-y'6i,

puisque les éléments e, e'^ w, gj', . . . , a, a', . . . ont été remplacés dans les seconds membres des équations 8 par des constantes eo) ejj, .... Il est manifeste en effet que le calcul des dérivées partielles de R par rapport aux éléments n'en modifie pas la forme générale, et que l'on n'aura finalement à calculer que les quadra-

tures

/sinDoc?/, fcosDo dt.

Chaque terme Go cosDq de R donnera pour chaque élément une inégalité de la forme

H/sinDocf^ H/cosDorff.

Au sujet de ces quadratures nous avons à faire quelques remarques qui nous conduiront à classer les inégalités du premier ordre en trois sortes :

a. Inégalités périodiques, — A l'ordinaire mo4- i'n'^ n'est pas nul et l'on a

ti r • Tx j. H cas Do „^ r^ j. HsinDo

H /sinDot/^ =— ^ ry— TJ II/cos Douter

de sorte que le terme CcosD de la fonction perturbatrice conduit à des inégalités périodiques qui ont le même argument.

b. Inégalités à longue période, — Dans certains cas in-\-i'n'

est très petit. Cela arrive si la valeur absolue du nombre t-,

est une des premières réduites de la fraction continue à laquelle

conduit le développement de — • Dans ce cas on obtient comme

à l'ordinaire une inégalité périodique; seulement elle est à très longue période et son coefficient est très grand, ajanten dénominateur in-\- V n\

Il y a lieu surtout, en ce cas, de s'arrêter à la longitude moyenne donnée par. la formule

/ = SQ-4-//1 dt.

Si n a le terme

-. — '■ — n- -T ces Do dt, l aura le terme

—-. V— TTï sin Do dty

dont le coefficient devient extrêmement grand si ino-\-i'nQ est très petit.

Les exemples les plus célèbres d'inégalités à longue période se

rapportent aux perturbations de Saturne et de Pallas par Jupiter;

on a

Pour Jupiter n = 299', 1284 ^ = —

» Saturne ni = 120', 4547 ex= —

» Pallas /lî = 770', 4846 ^«=7 ?~â

an — >/ii = — 4'',oi67 =

Soooo

18/1 — 7ni = — 9', 081=— -• ' ^ 22000

La période de l'inégalité de Saturne est, en jours, 2tz : ,

ou approximativement goo ans;

Celle de Tinégalité de Pallas 3oo ans.

La première est du troisième ordre par rapport aux excentricités, la seconde du onzième; la longitude héliocentrique de Saturne peut être altérée de 5o'; celle de Pallas, d'après Le Verrier, de i5'.

c. Inégalités séculaires, — Si i et i' sont nuls, in-{- i'n' est identiquement nul. Le terme CcosD ne dépend pas du temps et l'intégration donne, en première approximation, un terme proportionnel au temps, susceptible de grandir indéfiniment. Il est important de remarquer que les grands axes des orbites, en première approximation, n'ont pas d'inégalités séculaires. On a en efiet

da ^ dR

dt ~~ na dz

Si l'on remplace R par un terme indépendant de /, ce terme est

aussi indépendant dee, et, pour ce terme, -j- est nulle.

Le moyen mouvement n'en a pas non plus, car la relation

n*a' = /(/no-4- m)

donne

^8in . o5i« ^

de sorte que, S|a étant nul, 8| n l'est aussi.

C'est l'absence d'inégalités séculaires pour les grands axes et les moyens mouvements, en première approximation, qui constitue le théorème relatif à V invariabilité des grands axes et des moyens mouvements/Voisson a montré que ce théorème est encore vrai en seconde approximation.

191. Développement de la fonction pertorbatrice. — Nous nous bornerons aux indications les plus indispensables au sujet de ce développement.

Nous avons donné au n® 90 les développements de r et de ç' — M en séries dont les termes sont des sinus ou des cosinus de multiples de l'anomalie moyenne M, désignée ici par / — ïïj et nous avons fait des remarques importantes à l'égard des coefficients de ces termes. Le lecteur verra au Chapitre XIII du Traité de Mécanique céleste de M. Tisserand comment on utilise avec grand profit, dans ces développements, les fonctions de Bessel.

Envisageons maintenant la partie de la fonction perturbatrice relative à l'action de la planète m'

On a

p«= r^^ r'* — 2{xx' -^yy -^ zz').

D'autre part x, y, z s'expriment en fonction de la longitude vraie v dans l'orbite et des éléments par les formules

X = rcosô cos(i' — 6) — r sin6 sin(t' — 6)cos<p, j^ = r sin6 cos(c — 0)4- rcosô sin(p — 6) cos«p, z^ r sm{sf — 0) siii<p,

qu'il convient, y étant un petit angle, d'écrire

X = rcost^-h 2rsin'^ sin6 sin(i' — 6),

y = r sinv — ir sin'^ cosô sin(i' — 6), z = r sin <p sin ( (^ — 6 ) ; x'^ y ^ z* ont des expressions analogues, et l'on a

xx' -ir yf -^ zz' =^ rr'co3(p — p')-h - Q, B. - II. 19

Q étant une fonction entière de sint', cos(^, sinB, cosO, sin(p — 8), cos((^ — 6) et des mêmes quantités accentuées. On en conclut

pi = r«-4- r'^—irr' cos(p — (;')— Q = P — Q, d'où

i=p i-+-ip ÏQ+IjLip «Qï-i-....

P ne dépend pas des inclinaisons; au contraire Q est du second ordre par rapport à elles.

Dans ce développement, on néglige d'abord les excentricités , ce qui revient à remplacer /• par a, ç par /, r^ par a\ ^' par f, P et Q sont remplacées par des fonctions M et N plus simples. N est une somme limitée de termes périodiques ayant pour arguments des sommes de multiples de /, /', B, B'; il en est de même de N*. M est égal à

a^-ha'* — 2aa'cos(/ — /'); on aura

M » = — ^^j-pY (i — 2acosX-f- a«) * ,

OÙ a'' désigne le plus grand des deux axes a, a' et a le rapport du plus petit au plus grand. En décomposant i — aa cosX -h a^ en deux facteurs du premier degré sous la forme

on trouve immédiatement

(1 — aa cosX -h oL*)-*r= - b^/^^-h 6^*' cosX + 6i«^ cosaX -h. . .,

.,,„j,^(:)-...[eii±i>]-.,...|.

* Li i.a I r.2.3 1.9. '"y

En examinant les valeurs de x, y, z^ on voit qu'un argument 0 amène toujours un facteur ^ et que les exposants de <p s'ajoutent toujours, tandis que deux arguments 0 peuvent, en se retranchant, se détruire. Donc l'exposant de (p dans un terme est au moins égal au multiple de 8, et s'il en diffère c'est d'un nombre pair. On voit

aussi que la somme des multiplicateurs de 8 et 6' étant, dans un même terme, toujours paire, il en est de même de la somme des exposants de q et o^.

Pour rétablir les excentricités on aura

et Ton appliquera la formule de Taylor. Les termes que Ton obtiendra auront visiblement la forme

A {il -h i'I'-^jw -h /'nj'-+. Are + k'^'). cos^ -f -f ^

D'après ce qui a été dit, k-^-k' est un nombre pair; Texposant de cp dans A sera au moins égal à la valeur absolue de k et la surpassera d'un nombre pair.

ïïj et xs! sont introduits par X, Y, X', Y'; en se reportant aux valeurs de ces quantités, on voit que, chaque fois que l'on introduit xs dans un argument, on introduit dans le coefficient un facteur e, de sorte que, si l'argument d'un terme contient y w, le coefficient aura le facteur e affecté d'un exposant égal à la valeur absolue de j augmentée d'un nombre pair.

On a

i'^i'->rj-^f-\-k-\-k'=z o.

Cette propriété résulte de ce que la fonction R est indépendante des axes de coordonnées choisis. Or, si l'on fait tourner O^' et Oy d'un angle a autour de Oz ; 6, xs^ /, 6', xs!^ l' augmentent de x et l'argument du terme considéré augmente de

La fonction ne devant pas changer, et cela quel que soit a, la somme i -h i' -+-7+7'+ A" -h A"' est nulle.

On voit aussi que le développement ne peut contenir que des cosinus, car, si l'on change les signes de 6, iîj, /, 6', tîî', /', les coordonnées Xy y, -5, x^y y, z' changent de signe ; donc xx' '-\- yy -k- zz' ^ r^, H^ ne changent pas : le développement ne doit donc pas changer; il ne peut contenir que des cosinus.

Enfin l'ordre d'un terme est au moins égal à la valeur absolue de £4- V et s'il en diffère c'est d'un nombre pair. En effet, l'ordre étant la somme des exposants de ^, <p, e', o' surpasse d'un nombre

pair (qui peut être zéro) la somme des valeurs absolues dey, y', A", Z/, et par suite la valeur absolue de j -{-f-i-k + A*', qui est la même que celle de i-{- i',

192. Expressions générales des inégalités séculaires. — Le procédé d'intégration indiqué au paragraphe précédent n'est qu'une approximation grossière et l'obtention d'inégalités proportionnelles au temps tient peut-être au procédé lui-même. Une des questions les plus importantes au point de vue théorique qui aient été résolues est l'intégration des équations 8, en supposant les fonctions R|, R2, . • • réduites à leurs termes non périodiques. Encore a-t-il fallu négliger ceux de ces termes qui sont du quatrième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, ou d'un ordre supérieur.

En posant

on trouve

R = S/m' 1^ Ao-H i aa' Bi [e« -4- c'«- cp«— <p'J-H a(pç'cos(e — 6')]

— -aa'Bitfc'cos(m — m')f.

Si l'on néglige dans les équations ^^ ^ ^^-j: J^s quantités dont

l'ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons dépasse le troisième, les équations (8) correspondantes donnent

de —idR

dx3 I dR

dt " na* e Ois '

dt "" /ia*e de'

dt ^na* ina^ e ^ ^

les points placés après les seconds membres indiquant des termes semblables obtenus en remplaçant dans les premiers e',Ts' par les éléments e",c5", e"^w"\ . . . , relatifs aux n — 2 autres planètes.

Si l'on pose, pour abréger,

on a

Ide -r- = — [oi]«'sin(TïT — tït') — [02]e'sin(nj — ni'). . ., dm — =(oi) — [01]— ces (tu — tu') -h (02) — [02J— cos(tït — ro').. .,

et des équations analogues pour e' e td', . . . .

Il est avantageux de remplacer e et tïj, e', tsj', . • . , par des inconnues A, /, A', /', . . . , définies par les relations

(39) csinTïT = A, ccosnT=/, c'sinnj'=A', ...,

qui donnent

dh de dw

dl de dw

— - = cosnj -y- — ^ sinTïT -7- »

ai at ai

Le système (38) donne de suite pour déterminer h^ l^ h\ (^ ... les équations

~ = — [(oi)-4- (02) -+-...] A -t-[oi]A'-4-[o2]/<'-h...,

-^= [(l0)+(l2)-f-...]/'-[l0];--[l2]r-..., J'=-[(l0) + (l2)-f-...]/l'-4-[lo]A+[l2]/t'-....

Pour intégrer ces équations on cherche une solution de la forme

A = M sin(^f-i-P), / = M cos(^f-i-P), A'=M'sin(^;-+.p), /'=M'cos(^< + P),

où g^ p. M, M', . . . désignent des constantes. Si Ton introduit ces valeurs dans les équations (4o), les deux membres des équations de rang impair auront le facteur cos(^^ 4- P), les deux membres des

équations de rang pair le facteur sin(^^+P). Les équations devant être satisfaites quel que soit /, on égalera les coefficients de ces facteurs dans les deux membres de chaque équation. Or il arrive que chaque équation de rang pair conduit à la même condition que Féquation de rang impair qui la précède et l'on obtient le système de n conditions

j^-(o, i)-(o,2)...JM-4-[o,i]M'H-[o,2]M'... = o, [i,o]M-hj^-(i,o)-(i,2)...jM'.+.[i,2]M'... = o,

[/i — I, o]M -+. [/i — I, i]M'. . .4- 1^ - (n - 1, o)- (/i — 1, i). . . j Mt«-i> = o.

Ces équations sont homogènes et du premier degré par rapport à M, M', — Ces quantités ne pouvant être toutes nulles, le déterminant des coefficients devra être égal à zéro, ce qui donne l'équation

équation du degré /?, où ne figure que la seule inconnue g.

Pour chaque valeur gi de g^ les équations (4o) permettent d'exprimer les coefficients M, M', ... en fonction de l'un d'eux qui reste arbitraire. La constante ^ est aussi arbitraire. Si l'équation (4i) donne bien, pour^, n valeurs distinctes, on aura l'intégration générale du système (4o) sous la forme

A = i:M/sin(^/f-f-p/), / = SM/cos(^|-f-i-P/),

les sommations S s'étendant aux valeurs o, i , 2, . . ., /i — i de e.

Or l'équation (42) a bien ses n racines réelles et inégales. Si en effet on posait

MOUVEMENT TROUBLE. SgS

i étant le symbole y/ — i des nombres complexes, en égalant à zéro dans les premiers membres des équations (4o) les termes indépendants àei et les coefficients de e, chacune de ces équations se dédoublerait. Ainsi la première donnerait

je — (O, l)--(0,9.)...|p — T,ffH-[0, l]p'H-[o,2]p'...= 0, je — (o, l)— '(O, 2)...jff-t-rjp-4-[0, i]ff'H-[o, 2](X'... = 0,

d'où immédiatement

7)(p«-+- <x«) -4-[o, i](p(i'— <xp') -+- [o, a](p(x'— ffp'). . .= o.

Les équations suivantes donnent de même

^(p'i+cr'i)+[,,o](p'cr-cr'p)+[i,2](pV-a'p^)...= o, ,^(p'2^cr'«)-t-[2,o](p'cr-cr'p)-+-[2,i](p'cr'-cr'p'')...= o,

Si l'on multiplie les deux membres de la première de ces équations par mna^, ceux de la seconde par m' n^a'^ ..., et que l'on tienne compte des conditions

mna^[o, i]= m'/i'a'*[i,o], m/ia'(o, i)= m'n'a'^{i, o],

qui résultent des définitions (37), on obtient

(43) Tj I m/ia«(p«-4- ff«) -4- /n'n'a'ï(p'»-+- a'«) 4-. . . j = o.

Les coefficients m, m\ . . ., a^, a'^, . . . sont positifs ; il en est de même dans le système planétaire des moyens mouvements n, n\ . . ., puisque tous les mouvements sont directs. Le coefficient de Yi ne peut donc être nul, et Téqualion (43) donne

Les n valeurs de g sont donc réelles.

Laplace démontre que l'équation (4i) en ^ ne peut avoir deux racines égales; mais sa démonstration prouve seulement que les valeurs de A, A:, .. ., A', .. . ne peuvent renfermer Je temps en dehors des signes sinus et cosinus, ce qui, il est vrai, importe le plus pour la stabilité du système solaire.

Nous ajouterons seulement une remarque importante :

Les valeurs trouvées de A, A*, ... donnent

j csînTïj = M,sin(^if-H p,)-hM,sin(^j;-4-P2)-h..., I ecosTïT= MiCos(^if H- pi)-H MfCos{ffit -h pj)-+-

Si l'un M| des coefficients surpasse la somme des valeurs absolues des autres M2, Mj, . .., il existe un angle croissant proportionnellement au temps dont ts ne s'écarte jamais de 90®.

On déduit, en effet, des équations (44)

ecos(TïT — ^i< — pi)=Mi-H M,cos[(^j— ^,)i4-Pî— Pi]-i-

Le second membre, d'après l'hypothèse, a toujours le signe de M|. Donc cos(ïïJ — git — p, ) ne change jamais de signe et par suite

^ — ffi^ — P< reste entre f A* -h - j 7t et (k — i W, et si l'on pose d'où

7C . . ir

'} reste compris entre — - et H — <

Cette circonstance se produit pour Mercure, Mars, Jupiter et Saturne.

D'autre part, si l'on additionne les deux membres des équations (44) après les avoir élevés au carré, on trouve

c«=M?H-MÎH-...H-2MiM,cos[(^i-^,)^+Pi-P«] + -.. ou

c«<(|Mi| + |M,I + ...)V

L'excentrFcité de la planète m a donc pour maximum la somme des valeurs absolues des constantes Mi, M2, • . . . Les calculs numériques donnent, pour ce maximum, les valeurs suivantes :

Mercure 0,226 Jupiter 0,062

Vénus 0,087 Saturne o,o85

La Terre 0,078 Uranus 0,064

Mars 0,142

Une analyse toute semblable à celle que nous venons de développer s'applique aux inégalités séculaires des inclinaisons et des

longitudes des nœuds. On pose

^sin6=/?, çcos6 = çr, «p'8in6' = jo', ...,

et les équations ^^-^ ^^ ji donnent, en négligeant les termes da

quatrième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, les suivantes

-^i = - [(o, i)-H(o, 2) . . .] ^ -+-(0, O^r'-f. . . . , ^^^^ ^ gf =-[(0, i)-h(o,2)...]/>-h(o, i)/h-...,

On cherche comme pour les équations (4i) une solution de la forme

;? = Msin(^«-ï-p), 5r = Mcos(^f-4-P), />'= M'sin(^f h- p),

On a pour déterminer g une équation G' = o du degré ai, mais qui a la racine o, à laquelle correspondent des valeurs égales des constantes M, M', M", .... L'équation G'= o, analogue à l'équation (43)9 a d'ailleurs ses racines réelles ; numériquement on les trouve inégales, de sorte que les valeurs de/?, y, ... sont

/> = Msinp -i-Misin(^t^-+- Pi)-*-- •• q = M cosp-+- MiCOs(^i< H- Pt)-h. . .

/?'=Msinp H-M;sin(^,«-f-p,)H-...

On voit que ç, qui est égal à \/p^ + q^, ne peut dépasser la somme des valeurs absolues de M, M|, Ma, .... Le Verrier, en prenant pour plan des ^^Técliptique de 1800, o, trouve pour ce maximum les nombres suivants :

Mercure 9.17 Jupiter 2*. i

Vénus 5.18 Saturne 2.33

La Terre 4.5a Uranus 2.33

Mars 7. 9

Si la valeur absolue de l'une des constantes M, Mi, ... surpasse la somme des valeurs absolues des autres, il y a un angle croissant

agS DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE XII.

proportionnellement au temps dont la longitude du nœud ne s^écarte jamais de 90**. Pour Jupiter, Saturne, Uranus, la chose se produit à Tégard de la constante M : la direction moyenne du nœud est alors fixe.

Avant d'abandonner ce sujet, nous remarquerons encore que les fonctions périodiques qui représentent les inégalités séculaires ont des périodes extrêmement longues. Si en effet on reprend les formules

on voit que tous ces nombres ont une des masses perturbatrices en facteur. Si ces masses devenaient nulles, G se réduirait à g^^ N étant le nombre total des planètes. Toutes les racines de l'équation G = o sont donc petites. Si l'on remarque que

/(/no-l-m)= n*a», on a

. ^ m' na'a'Bi , . m' fia'a'Bi

or B| est une fonction homogène de a et a' de l'ordre — 3 : donc

^^-^ — ' est d'ordre fini. Il s'ensuit que le rapport ^ — est de l'ordre

m' de C'est au plus 0,001. La période d'une inégalité de la

forme sin(^^ + P) ou cos{gC -+- P) est — • Le nombre g étant de

l'ordre des coefficients (0,1)..., cette période est de l'ordre de mille

fois la durée — > de la révolution de la planète. Ainsi les périodes

des inégalités séculaires comprennent des milliers de révolutions des planètes considérées.

Nous n'avons plus à nous occuper que de la détermination de e. La dernière équation (8) donne

lang /ia«/i

iaa'B.

-<p'*-ha<p<p'

cos(e-

iaa'B,ee'

cos(tït

— Ta

En négligeant les termes du quatrième ordre on trouve, un résultat de la forme

^ =A-t-Bc«-i-Ce'« + De<?'cos(w — Tîj')-^Eç*-^F(p'«H-G<p<p'cos(6 — 0'),

A, B, . . . étant des fonctions de a, o! .

On intègre par quadratures. D'après les résultats trouvés cidessus, on a

dt Tt

ces valeurs on trouve pour ^ une expression de la forme

~ = H-f.2:icos(r^H-p).

On en déduit

e = const.-f- Hi-H N -sin(rr4- p).

Pour la longitude moyenne on a

/=E-f- I ndt = e-^ nC = const.-h(/i-H H)r-h \]-sin(rf H- p).

Le moyen mouvement tel que le donnera les observations ne sera donc pas {n) = i/^, mais (/i)+ H.