CALCUL DES PERTURBATIONS SPÉCIALES PAR QUADRATURES MÉCANIQUES
MÉTHODE DE LA VARIATION DES ÉLÉMENTS. — MÉTHODE DES COORDONNÉES RECTANGULAIRES OU MÉTHODE DE BOND ET d'eNCKE. — MÉTHODE DES COOR- DONNÉES POLAIRES, OU MÉTHODE DE HANSEN, PERFECTIONNÉE PAR TIETJEN. — COMPARAISON DES ÉLÉMENTS PRIMITIFS AUX OBSERVATIONS. — LIEUX NORMAUX.
193. Aperçu général sur les méthodes de calcul par quadratures mécaniques. — L'intégration analytique des équations A, B, C permet d'exprimer les coordonnées héliocentriques des planètes en fonction du temps. Laplace dans la Mécanique céleste, plus récemment Le Verrier dans les Annales de V Observatoire de Paris, ont constitué ainsi la théorie des planètes principales, dont l'étude a fait l'objet des travaux d*un grand nombre d'astronomes. Mais l'intégration rigoureuse, dans l'état actuel de l'Analyse, n'est pas possible, et les fonctions obtenues ont la forme de séries n'ayant que la valeur d'approximations plus ou moins précises. Dans ces dernières années, M. Poincaré a montré que ces séries ne sont pas convergentes.
D'autre part, la formation de ces suites est très pénible quand les excentricités des orbites sont grandes, ce qui a lieu pour les comètes périodiques et pour un grand nombre des petites planètes. Dans beaucoup de cas, la formation d'une théorie suffisamment exacte est en quelque sorte impraticable. On se borne alors à calculer les perturbations de proche en proche par les formules de quadrature mécanique données au Chapitre VIII du Tome premier de cet Ouvrage (p. aSg).
L'application de ces formules peut se faire de diverses manières. Dans tous les cas, on admet que l'on ait obtenu les éléments de l'orbite qui, dans le voisinage d'une date donnée, représentent le plus exactement les observations. Ces éléments, dits éléments osculateurs, sont ceux qui, à cette date, conduisent à des valeurs
CALCUL DES PERTURBATIONS. 3oi
des coordonnées et de leurs dérivées premières égales à celles qu'avait réellement Tastre à cet instant.
Supposant ces éléments connus, on peut partir des formules de
/fh
Lagrange qui donnent les dérivées -rr des divers éléments (A
désignant un élément quelconque) en fonction de ces éléments eux-mêmes et des coordonnées de la planète troublée et des planètes perturbatrices, calculer pour un grand nombre de dates équidistantes et suffisamment rapprochées les valeurs des dérivées -jj et, pour les diverses dates considérées, en déduire par les formules de quadratures mécaniques les perturbations
-ndt^ l'époque initiale
étant l'époque d'osculation des éléments. Nous développerons d'abord cette première méthode, dite méthode de la variation des éléments. La longitude moyenne de la planète sera la somme de plusieurs termes dont l'un sera représenté par une quadrature double que les formules de la page 269 du Tome I permettent aussi d'obtenir.
Bond et Encke ont donné le moyen de calculer commodément les perturbations des coordonnées rectangulaires, c'est-à-dire les différences entre les valeurs de ces coordonnées à une date quelconque et celles que donneraient pour cette date les éléments osculateurs relatifs à la date initiale. On obtient des expressions commodes des dérivées secondes de ces différences Ç, tj, Ç par rapport au temps et l'on a successivement pour l'une quelconque \ d'entre elles
?=/ '^^rS'^^.
en supposant le temps compté à partir de l'époque d'osculation, puisque, par la définition même des éléments osculateurs, ^, 7|, Ç,
-À> -J^9 -^ sont nulles à cette date.
at ai at
Hansen a donné une méthode analogue, perfectionnée depuis par Tieljen et fondée sur l'emploi de coordonnées polaires.
Nous exposerons successivement ces trois méthodes en raison des avantages propres à chacune d'elles. Pour en faciliter l'inteiligence complète, nous ferons observer que les valeurs des dérivées premières et des dérivées secondes auxquelles on doit appliquer les méthodes de quadratures mécaniques pour obtenir de proche en proche les perturbations des coordonnées, ou des éléments, sont fonctions des coordonnées troublées ou des éléments troublés et par suite ne peuvent être immédiatement calculées d'une façon rigoureuse. Dans les trois méthodes on tourne la difficulté comme il suit. Pendant un intervalle de temps peu étendu, voisin de l'époque d'osculation, on peut regarder les perturbations comme négligeables. On en profite pour calculer, pour un petit nombre d'époques avant et après l'époque d'osculation, les dérivées des perturbations, en remplaçant dans le calcul les coordonnées ou les éléments troublés par les coordonnées non troublées ou les éléments osculateurs primitifs. Ayant quatre valeurs de la dérivée <p soumise à la quadrature, on forme le tableau des différences des trois premiers ordres cp*, 'f ^, ç'. D'autre part, les intégrales à obtenir devant s'annuler à l'époque d'osculation, les formules limites delà page 269 précitée permettront de calculer les valeurs sommatoires *<p, ^cp relatives à l'une des quatre dates, et par suite d'obtenir cinq valeurs de *<}>, et six de ^<p.
Cela fait, si l'on regarde la différence troisième comme demeurant la même pour quelques dates, on pourra, par extrapolation, ajouter quelques nombres à chaque colonne du tableau des différences et calculer la valeur de ^ , pour la cinquième date, au moins d'une façon approchée. Par les formules de quadrature, on aura une valeur de la perturbation pour cette cinquième date, et celle valeur grossièrement approchée le sera assez pour servir au calcul définitif de la fonction cp. Nous devons nous borner ici à cette indication. Nous ferons connaître plus loin, pour chacune des trois méthode, quelles formules de la théorie de l'interpolation l'on applique réellement.
Nous reproduisons ici, en remplaçant les coefficients symboliques P|, ... par leurs valeurs, les formules de la page aSg du Tome I que nous appliquerons constamment. Nous placerons toujours l'époque d'osculation au milieu de deux époques consécutives; désignant par eu l'intervalle comprise entre ces époques et
CALCUL DES PERTURBATIONS. 3o3
par a l'une d'elles, nos intégrales, s'annulant pour a > nous
aurons
967680 et pour les intégrales
'/ 0. * ?(^)rf.r = >?[« + (.--î)c"]
C'est au fond à la diminution rapide des coefficients de ces
3o4 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE XIII.
diverses formules qu^est dû le succès des méthodes de calcul des perturbations que nous allons exposer.
Dans Texposition que nous donnerons de chacune de ces méthodes, nous supposerons le calcul déjà mis en train; nous reviendrons ensuite sur les particularités qu'offre le début de chaque calcul.
194. Méthode de la variation des éléments. Équations. — Nous prendrons pour point de départ les équations (S) du n° 188 dans lesquelles il reste, pour Tobjet que nous nous proposons, à exprimer commodément les dérivées partielles de la fonction perturbatrice en fonction des éléments et des coordonnées de la planète dont on étudie le mouvement et des planètes perturbatrices.
Rappelons, à Tégard de ces dernières que
la sommation s'étendant aux diverses planètes m'.
Prenons pour plan fondamental le plan de Técliptique à une date fixe et supposons les éléments deTorbite rapportés à ce plan. Conservons généralement les notations du Chapitre XII. Soit (f Pin-
Fig. 36.
clinaison de Torbîte; employons le symbole 8 au lieu de 8 pour désigner la longitude du nœud. Dans le plan de Torbite prenons pour axes auxiliaires deux droites rectangulaires, oÇ, ot], dont la première coïncide avec le rayon vecteur. Soit o Fargument
de la latitude Q^, o -\ — Tare Qr^. Supposons un axe o^ perpendiculaire au plan de Torbite, dans un sens tel que du pôle correspondant le mouvement ^y\ soit vu dans le sens direct. Par rapport à ces axes Ç, t), !^ soient Ç', V> ^' les coordonnées d'une planète perturbatrice. Désignant par V et ^f la longitude et la latitude de
CALCUL DES PERTURBATIONS. 3o5
celle planète, par L' et B' des coordonnées analogues rapportées au plan de l'orbite avec le nœud Q pour origine des L', le triangle sphérique qui a pour sommets le pôle de Técliptique, le pôle du plan de l'orbite et la planète m' donne, pour déterminer L' et B', les équations
IcosB'cosL'= cos3'cos(X' — Q,), cosB'sinL'= cos^' sin(X' — ^) cosq -h sinp'sino, sinB'=: sinp'cosç — cosP'sin(X' — ^)sino,
après quoi Ton a
IÇ'= r'cosB'cos(L' — o), 7j'= r'cosB'sin(L' - o), 2;'=r'sinB'.
Il j a lieu de remarquer expressément que ç', V sont fonctions de o qui est Targument de la latitude de la planète m. Dans l'expression (i) le terme
est le cosinus de Tangle formé par le rayon vecteur de la planète troublée et celui de la planète perturbatrice. Ce cosinus évalué au moyen des axes i, tj, JJ est égal à
r et l'expression (i) devient
p désignant la distance des planètes troublée et perturbatrice. On a d'ailleurs, en désignant par (^ l'anomalie vraie
r = a(i — ecosa), (5) {
u — e s'in u =: nt -ht — m.
Ces formules conduisent sans la moindre difficulté au calcul des dérivées partielles de R par rapport aux éléments. En utilisant
3o6 DEUXIEME PARTIE. — CHAPITRE XIII.
quelques autres relations bien connues du mouvement elliptique et la relation
posant
IV — -r TZ9
^-Sts'O'"-?)'
et se rappelant que dans le calcul de -r— on ne doit pas regarder u comme fonction de a, on trouve par de simples difTérentiations
da ^ a
-r- = — k^pa cosp.L H — 7^ air -h p) siiii^.M,
-p=r = — k^(i — cosç)rlVI — A'//? siiKp.r coso.N,
— = Xri//? sino.rN, do
— - z= A:a*e siiK^.L -h A*a* — M.
dz r
Le seul calcul qui exige quelque réduction est celui de -r^ • On trouve d'abord
— = k^mirK[— tj'-h r'coso cos3'sin(X'— Ji)
— r sino cosp'cos(X' — ^Çi)coso].
En introduisant dans le multiplicateur de A"2m,rK, à la place de P' et V, les coordonnées B' et U au moyen des équations (2) résolues par rapport à cosp'cos(V — Q) et cosP'sin()/ — 8), ce multiplicateur devient
— 7)'-h7)'cosçp — JJ'coso sincp,
ce qui donne immédiatement le résultat ci-dessus.
CALCUL DBS PERTURBATIONS. So;
La substitution de ces dérivées partielles dans les équations de Lagrange donne les équations définitives
-j- = 2a*e sinp.L ■+■ 2a* — M, al r
-^ = a cosi}; sinp.L -+- a cos<j^(cos<^ -t- cosE)M,
doi 9 . »T /> w sin p ,
-,— = tangisino.rlN — — cosp.L h (''+/>) M,
(7) { '^ ^ rcosoN,
dt
2r cos'j; — /? tang -î- cosp ) L
tang-sinp( n- — j rM -t- tang^sino.rN,
équations aux(Juelles il faut adjoindre, pour le calcul des coordonnées, les formules du mouvement elliptique, sauf en ce qui concerne la longitude moyenne. On a, pour cette dernière,
l = z -^ I ndt,
r^ dz . /*' r^ dn
= £0-+-/ -j^d^-^^oi^ — h) -^ f dt
dt
dt.
195. Méthode de la variation des éléments : marche des calculs numériques une fois mis en train. — Supposons que par l'application des formules ci-dessus on ait réussi à calculer les valeurs des éléments pour un certain nombre de dates ^i + fO équidis-
tantes, tt désignant l'époque ^o d'osculation ; soient v la dérivée
■-T- du moyen mouvement n, f la dérivée première d'un autre
élément quelconque.
Pour chaque élément on a formé un Tableau renfermant dans une colonne les valeurs de / pour toutes les époques depuis /,
jusqu'à ti + 2*6, dans d'autres leurs différences successives et aussi les valeurs correspondantes de */.
Les derniers nombres obtenus dans les diverses colonnes sont
En ce qui concerne le moyen mouvement, v remplacera/ dans le Tableau précédent, mais il faudra ajouter à droite une colonne de sommation double ^v et les derniers nombres des diverses colonnes seront
v*(^i-4-t^^^e), v3Ui-4-i— ^oV v«(f,-hï— le), v^f/i-ht-ieV
Cela étant, on obtiendra la valeur approchée d'un élément quelconque à la date f i + « + i 8 par la formule ( * )
où l'on aura pris les signes supérieurs.
(*) Nous utilisons dans ce nunrïéro et dans les suivants plusieurs formules qui se déduisent immédiatement de la théorie des différences. Celle-ci est la seule dont la démonstration exige quelques efforts. On a en négligeant les termes en /',
CALCUL DES PERTURBATIONS. 3o9
Pour le calcul de / on aura l'intégrale double par les formules
(II) /'7 ^^/ ^^^^=*v(^i+.-±i6)+^v[<i+(.-d=i)e],
et
■y(/i-+-i='zi6) = v(«i-hie)divM fi-t-iqi iôj -4-v«(fi-hiipi6)-+-..., '
où Ton aura encore pris les signes supérieurs.
Par l'application des valeurs trouvées, on aura des éléments approchés à la date f^ + t + iO, au moyen desquels on pourra, par l'application des équations (7) et (8), calculer les valeurs définitives de/ et V et ajouter un terme de plus à chaque colonne des Tableaux d'interpolation.
Dans le cas où le calcul serait fait en remontant vers le passé, on prendrait dans les formules (10) et (i i) les signes inférieurs.
Il est encore à remarquer que les équations (7), si l'on y met pour k la valeur 0,017... de la constante de Gauss, supposent que l'unité de temps soit le jour moyen. Il est commode de regarder
par la dernière formule du a<* 193,
/r,-«-i-t-iw ,
Les relations évidentes
'/(«.+ .■ + . 6)= i'/(t,+i+ie) + l. /(«.+ ,•+ ^9),
+/'('.+'■- ^9)+/'('.+»-oe+/' (',+ «■- 5 9)
donnent immédiatement la formule (10) dans le cas des signes supérieurs, et des formules analogues s'appliquent au cas des signes inférieurs.
3lO DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE XIII.
runité de temps comme étant 6; il faut alors multiplier A* par 9. Dans le calcul de l'intégrale double il faudra introduire une seconde fois le facteur 8. Dans un grand nombre de cas, pour les petites planètes, on prend 0 = 4o jours.
196. Méthode de la rariation des éléments. Mise en train du calcul. — Au début du calcul on choisit un nombre limité d'époques, quatre par exemple, séparées par des intervalles égaux à 9 et symétriques par rapport à l'époque d'osculation. A ces quatre dates on peut regarder les perturbations comme nulles. En fait, elles sont de petites quantités de deuxième ordre, et en les négligeant dans le calcul des seconds membres des équations (7) on ne produit sur les valeurs qui s'en déduisent que des erreurs du troisième ordre. On obtient pour une dérivée / quatre valeurs dont on forme les différences des trois premiers ordres. On écrit, en outre, que l'intégrale de/ s'annule à l'époque de l'osculation par la formule
et de même pour l'intégrale double de v
2v(/O=^v(/i-e)-^[2V«(/t-0)-|-VÎ(A,)].
On peut au moyen de ces valeurs initiales calculer cinq valeurs de '/et six valeurs de ^v; on obtient aussi les intégrales relatives à ces quatre dates par les formules
JJ 0 =w^+^-«)^r. ^('^^^■^)-
De ces valeurs on déduit des éléments osculateurs suffisamment approchés pour les quatre dates et l'on emploie ces éléments comme bases d'un nouveau calcul définitif. On n'oublie pas de multiplier par 8 l'intégrale double qui se trouve dans la longitude moyenne.
CALCUL DES PERTURBATIONS. 3ll
197. Méthode d'Encke. — Équations. — Désignons, à une date quelconque, par x^ y^ z les coordonnées rectangulaires de Tastre, par x^^ j^Oî '^o les coordonnées calculées par les formules du mouvement elliptique au moyen des éléments osculateurs à la date initiale et posons
les perturbations Ç, r,, Ç des coordonnées rectangulaires satisferont aux équations différentielles
p ayant la même signification qu'au n® 194.
Les coordonnées x\ y', ^', /' se déduiront par des formules connues des données des éphéraérides astronomiques.
Les premiers termes des seconds membres sont petits à cause du facteur m', et si, dans ces termes, on remplaçait x^ y^ z par x^y yo9 ^0) l'erreur commise serait, à cause du facteur m', de l'ordre du carré des perturbations. Les seconds termes sont également petits et de Tordre des perturbations; mais si l'on y remplaçait x, y, z par Xo^ y oy Zq, ce qui les ferait disparaître, l'erreur serait de l'ordre des perturbations. Nous désignerons les termes de la première sorte par le symbole (a), ceux de la seconde par le symbole (b). Nous ne négligerons d'ailleurs les perturbations ni dans les termes (6), ni dans les termes (a). Les méthodes de quadrature mécanique ne s'appliquant qu'aux petites planètes, nous remplacerons i -{- m par un.
Les termes (b) ne peuvent se calculer commodément sans une transformation qui y introduise un petit facteur; on y parvient comme il suit : on a
On a aussi
3l9 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE XIII.
d'où
J=(-+2gr',
en posant
Si l'on pose encore
les termes (b) prennent la forme
5(/9^-5). y.(fiy-n), S(/î7^-?^-
Ëncke a publié au t. XXXIV des Astr. Nachrichten une Table qui donne avec six décimales pour les valeurs de q de — 0,021 à H- 0,021 les valeurs de log/. L'usage de cette Table permet de former commodément les seconds membres des équations différentielles des perturbations qui, si Ton pose
ePr
-^i + Al) = Y + h/qy,
198. Méthode d'Encke : marche des calculs numériques une fois mis en train. — Les calculs de $, r,, ^ doivent être menés paralU^Iement, mais la marche des calculs est la même pour les trois axes de coordonnées: nous n'expliquerons donc les calculs à faire que pour la perturbation ^ de la coordonnée x.
s'écrivent
CALCUL DES PERTURBATIONS. 3l3
Supposons, comme nous Tavons fait pour la méthode de la variation des éléments, que le calcul soit déjà en train et que l'on
ait obtenu les valeurs / de -j^ pour toutes les dates t^^ ^i + 0,
^1 + 28, jusqu'à ^1 + 16 et formé en même temps les différences successives/*,/-, . . ., ainsi que les valeurs sommatoires */, ^f. Les derniers termes obtenus dans chaque colonne sont
Pour la date tx-{-{i-\- 1)6, on a
Or
/(<,+ »-+-lO)= ^ = \ — h\ + hfqx,
d'où approximativement OU, en posant
IH
En portant cette valeur et les valeurs correspondantes de 7) et 2^ dans la valeur de 9, on obtient
3l4 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE XIII.
d'où
OU, en posant, pour abréger,
:ro-i-i y,-^\ z,-^\
= «' — ; r^ = ^» — ^ rT = ^^
i -- ^^ (ax -h by -\- cz) 12 ^ "^ ^
Le calcul approché de q par cette formule est aisé. La pratique montre que le logarithme du dénominateur a une marche fort régulière de sorte que ce logarithme se déduit de suite, par extrapolation, des valeurs qu'il avait aux dates précédentes. Le calcul de a, 6, c, S^:, S^, S^ n'est pas moins facile; ^/{ti -H i -|- i ô) est connu par les calculs antérieurs; on aura/2(^i 4- « -h 1 8) par une extrapolation sommaire toujours assez précise à cause de la petitesse de /2 et de celle du facteur -j- ; le calcul de X, Y, Z, a, b, c
exige des valeurs approchées de i, ti, Î^; on aura celle de Ç par la formule
E=:y(/i+r;:Te)-hi^/(<i-+-rr;e)
où /(^, + « -h lO) sera donné par extrapolation ; on obtiendra r,, ^ par des formules analogues.
La valeur de q une fois connue, on en déduit celle de / par la Table d'Encke, après quoi, posant
IH
on a
g = X + h/qx - A$ = X -h hfqx - h'Sa:-h-^fqx,
IH
CALCUL DES PERTURBATIONS. 3l5
OU, en simplifiant, et écrivant les équations semblables pour to et Ç,
Ces formules donneront pour la date ti-\-i-^\h les valeurs des dérivées secondes cherchées, au moyen desquelles on ajoutera un nombre à chaque colonne du Tableau des différences relatives à chaque coordonnée.
199. Méthode d'Encke. Mise en train du calcul. — Au début du calcul, on ne peut ni calculer les termes (fr), ni évaluer exactement les termes (a). On néglige les termes (fr) et dans les termes (a) on remplace x^ y, z par Xq^ y^^ Zq, On obtient ainsi des valeurs provisoires de -ri y — r^j-TT' On calcule de telles valeurs pour un petit at^ at^ ai*- * *
nombre d'époques, quatre par exemple, équidistantes et symétriques par rapport à l'époque d'osculation.
On forme le Tableau des quatre valeurs de -^^ de leurs différences, premières/*, deuxièmes /^ et troisième /'. Comme on veut que -^ et Ç soient nuls à Fépoque d'osculation, on détermine
une valeur initiale de */ et une valeur initiale de ^/ par les formules
et, ces valeurs initiales obtenues, on forme cinq valeurs de */ et SIX de 2/.
Ce tableau formé, on calcule pour chacune des quatre dates
le dernier terme s'oblenant, s'il est nécessaire, par extrapolation;
3l6 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE XIII.
on en fait autant pour ri et S^, Ç et S^; on calcule a, 6, c en j remplaçant Ç, yi, Ç par zéro et y en y remplaçant Xjjr^ z par ^o, ^o> ^0» De la valeur de q on déduit celle de/, et on reprend le calcul des dérivées secondes
où Ton remplace encore x^ y^ z par ^07^07 ^o-
Ces nouvelles valeurs étant obtenues pour les quatre dates, on forme de nouveau le tableau des différences /' , /^, /' et aussi des sommes */, y, en déterminant à nouveau les valeurs initiales de ces dernières sommes, après quoi le calcul est en train.
200. Méthode de Hansen et Tieljen. Point de départ. — Nous prendrons comme point de départ les équations D du Chapitre (XI). Si nous remplaçons dans ces équations û par
,.L^^2^.w(i-5:î:±2:^:±ii').
nous obtenons immédiatement les dérivées partielles -r-> -t-j tt»
et par suite les composantes P, T, S de la force accélératrice sous la forme
s=-*.ii=..2*-'[-5-''(i-^)]-
Désignant par /•', U, B' les coordonnées polaires d'une planète perturbatrice, nous avons
ar'= r'cosB'cosL', y = r'cosB' sinL', V=r'sinB',
CALCUL DES PERTURBATIONS. 3l7
et les équations (D) deviennent
p*-y- = const.-i- / \ A:*/n'pr'cosB'sin(L' — v),Kdty
où l'on a posé
Il reste à éliminer r des équations précédentes. On a à cet eflfet d'où
en posant
et désignant par / la même fonction de q que dans le numéro précédent.
D'autre part, si l'on suppose que le plan fondamental soit le plan de l'orbite non troublée et que l'intégrale qui figure à la première équation s'annule à l'époque d'osculation, la constante est égale à k^pl et les trois équations s'écrivent
?^-£ ^ks/fo-^fl^de,
'^dir-
les valeurs de U, H2, Wo résultant immédiatement de ce qui précède.
201. Méthode de Hansen et Tietjen. Introduction d'inconnues assimilables à des perturbations. — Nous avons pris comme plan fondamental le plan de l'orbite non troublée. Nous supposerons que l'axe des x passe par le nœud de cette orbite sur l'écliptique
3l8 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE XIII.
fixe auquel les éléments de celte orbite sont rapportés. L'angle r est alors la longitude dans le plan fondamental ; désignons par (Oo la longitude du périhélie dans l'orbite non troublée et par V une fonction de t satisfaisant à la relation
dt d'où
= ks/poJ^;
supposons qu'à l'époque initiale V soit égal à(' — Wol nous aurons, en intégrant la première équation (E),
(I) (^ = V-h Wo-H Ao)
en définissant le symbole Aco, nul à l'époque initiale, parla relation
Nous conserverons définitivement ces équations (!) et (II).
V a quelque analogie avec une anomalie vraie. Nous déterminerons une inconnue M analogue à l'anomalie moyenne liée à V parles équations ordinaires du mouvement elliptique
IE — Co sinE = M = Mo-i- (jlo'-H AM, p' sinV = ao cos^l^o sinE, p'cosV= ao(cosE — ^o),
où l'on a posé
et désigné par AM la difi'érence M — Mo — [Ao^, et par p' un rayon vecteur qui n'est pas égal à p, mais qui n'en difl'ère que de quantités de l'ordre des perturbations. Pour ce motif, nous poserons encore
et nous allons former les équations différentielles qui feront connaître AM et v.
L'équation en AM sera une simple transformation de l'équation (I) ou de la première équation (E).
CALCUL DES PERTURBATIONS. SlQ
On a
dM d\M
dV dV dyi dy dE dM ao cosi^o «o
dt ~ dM dt rfE dM dt p'
On a d'ailleurs
ao / rfAM\
Portant la valeur de -r. dans la définition de V, nous trouvons
d'où
dLM
