IV

= [(TT^-']''' = -'^iT7('^r^')'

Quant à l'équation en v, elle doit se déduire de la seconde équation (E).

On a

d'où, en observant que

dt p» '

<f p p rfv ke^ sin V

di - T^ di "^ (i-Hv)/j^'

Dîfférentiant une seconde fois,

d^p ^ p rf*v p rfv»

7S* ~" i-t-v "dt^ '~ MH-v)» AS*

I rfv </p Ar^oCosV cTV ^CosinV <fv

ou

d^p __ p <f*v XreoCosV ûTV

d'f r p rfv î dp AeosinV "1

"^ 5Ï L (i + v)2 37 "^ 7+^ dû ~ (i4.v)îv/^J '

D'après la valeur de ^ que l'on vient de trouver, le coefficient de -T. est nul, et l'on a

dt^ ^ dt^ p^ l I -t- V p J

Substituant dans la seconde équation (E), où l'on remplacera . dv d\ , d Ato

en posant

A ces équations nous adjoindrons la troisième équation (E),

Les équations (1) à (VI) sont les équations définitives de la méthode de Hansen et Tietjen (*).

202. Méthode de Hansen. Marche des calculs numériques une fois mis en train. — Admettons que, jusqu'à la date /4-f-«6, on ait

calculé les valeurs / de —jj-y », > -j^> -j^ et formé pour ces

quatre séries de valeurs les tableaux des différences, pour les deux premières les valeurs soramatoires */, pour les dernières les valeurs soramatoires */, ^/. On se propose de calculer les mêmes nombres pour la date ti +(/-4- i)0.

Nous désignerons, pour abréger, par Çi^i la valeur <p[/, +(/+ 1)9].

On a approximativement

Vi-Hi = V'(^ + ^^o)-+- ^ fih-^TTT^)- -^ /î(rt-4-7TTe)

On obtient la valeur du deuxième terme par extrapolation; le troisième est généralement négligeable.

On a Zi^i par la même formule.

On a par la formule (lo)

AM/-H1 = 7(^-+- i^ ^ ^)"*- ^/^'» "*- *'^)

(') Nous avons adopté la plupart des Dotations employées dans le Traité des orbites d'Oppolzer.

On trouve Aw,.,., par la même formule.

Ayant ces valeurs, on peut appliquer à la date f| -i- t -f- i 0 les formules successives (I) à (VI). L'intégrale j V dc s'obtient par la formule

/(x)dx

où les valeurs employées sont des moyennes arithmétiques.

La valeur de/' à cause du petit facteur ~ s'obtient par extrapolation à vue ; la valeur de /* par une des formules suivantes

L'application des autres formules n'exige pas d'explication, sauf

en ce qui concerne le calcul de --j-^ et de -j-^f dont nous allons nous

occuper.

A l'égard de v et s, observons que ces quantités satisfont à des «qualions de la forme

On a

a7/H i = V(^i-i-i-Me)-h-i-/(^i-ht-f- i6) ^/«(^i -4-7+70).

Comme on a

on a aussi

3a2 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE XIII.

Désignant par S;, le second membre, on aura

et, par smle,

Cette formule s'applique telle quelle au calcul de -r-^ et à celui

203. Méthode de Hansen-Tietjen. Mise en train du calcul. — Pour les quatre premières dates on fait v = o, -s = o, Aw = o, AM = o.

On calcule d'abord U pour ces quatre dates, et on forme le tableau des différences. On calcule ensuite la quantité sommatoire */

en déterminant les valeurs initiales par la condition que j 11 dt s'annule à l'époque d'osculation. On a, à cet effet,

puis on a

Les nombres qui figurent au second membre de la dernière formule sont des moyennes arithmétiques 5 on en trouve la valeur comme au numéro précédent. On s'occupe ensuite du calcul de v et de celui de z. Reprenons à cet effet l'équation

et ce que nous dirons de x s'appliquera à v et ^.

Soient/?2, P 2; P-\ , P-i ; /?0) Po; />< , P< '^s valeurs de /> et P qui correspondent aux quatre dates. Supposons x développé en série de la forme

le temps t étant compté depuis la date moyenne et Funité de temps étant l'intervalle entre deux dates successives.

Pour ^ = o, époque d'osculatlon, ^ et ^r sont nuls puisque les

coordonnées et leurs dérivées premières ont les mêmes valeurs dans le mouvement troublé et dans le mouvement elliptique. Donc T et t' sont nuls. On a de même

P== A + B^-f-G^îH-..., /? = a -H 6f -i- c/* -I- . . . ;

on formera pour P(et de même pour/?) le tableau des différences et Ton en conclura (t. I, p. 248, form. 34)

A = l(p, + Po)--'-[/«(^,-e)+/«(/o],

En ce qui concerne a, 6, ... on aura des formules semblables, mais praliquemenl c, d seront négligeables.

En portant les valeurs de ^y-jj^'Py P <lans Téqualion différentielle, on obtient

Dans la valeur de x ainsi obtenue, on fera t = » * -» -;

on aura ainsi les quatre valeurs de x et l'on en déduira celles de

-7-j- en calculant P — px

On aura ainsi la mise en train du calcul de v et de ^ et en outre, pour ces quatre premières dates, les valeurs de v et dez. On détermine ensuite les valeurs de

fAM I / I \

dont le calcul est bien facilité par Femploi des logarithmes d'addition. On forme le tableau des différences des quatre valeurs/

de , et aussi le tableau des valeurs sommatoires */ en prenant

pour valeur initiale

On opère de même pour —jt-> en ne négligeant pas d'en diviser la valeur par sin i'' pour que Aw soit exprimée en secondes d'arc.

204. Calcul des éléments osculateurs à une date donnée. — Le calcul des perturbations par la méthode de la variation des constantes est assurément plus long que le calcul des perturbations des coordonnées rectangulaires ou des coordonnées polaires. Mais il offre l'avantage de pouvoir être poursuivi en quelque sorte indéfiniment, et la régularité de la marche des résultats obtenus permet de reconnaître presque immédiatement les fautes de calcul que l'on doit regarder comme inévitables. La méthode d'Ëncke est la plus courte; mais les perturbations grandissent rapidement et la marche des différences devient promptement irrégulière, de sorte que l'on ne peut bientôt plus avoir confiance dans l'exactitude des résultats. 11 faut alors déduire des valeurs obtenues de nouveaux éléments osculateurs à une date voisine des dernières dates auxquelles on est parvenu, et, au moyen de ces nouveaux éléments, reprendre l'application de la méthode. C'est un assez grave inconvénient qui se produit aussi, dans l'application de la méthode de Hansen-Tietjen, mais seulement après un intervalle de temps considérable. Cet inconvénient n'existe pas dans la méthode de la variation des constantes.

Les formules à appliquer pour obtenir les éléments osculateurs à une date dans le voisinage de laquelle les perturbations sont

CALCUL DES PERTURBATIONS. SlS

connues résultent de l'application de formules différentes suivant que l'on a calculé les perturbations des coordonnées rectangulaires ou celles des coordonnées polaires. Nous donnerons ici, dans les deux cas, les procédés les plus rapides, tout en avertissant qu'il en est d'autres plus avantageux, dans lesquels on détermine non pas directement les valeurs des nouveaux éléments, mais les différences entre ces valeurs et celles des éléments osculateurs primitifs. Ces différences étant petites, leur calcul n'exige pas l'emploi de Tables à sept décimales.

a. Méthode d'Encke, — En ajoutant, à la date choisie, les perturbations $> "'li ^> ^7' 77/' "7/ ^^^ coordonnées non troublées ^o> yoj Zq et aux composantes -^> -^> -^^ de la vitesse non troublée, on obtient les coordonnées troublées x^ y^ z et les composantes "^^ "^' ;^ d^ I21 vitesse troublée. On calcule ensuite la

longitude 8 du nœud, l'inclinaison i de Torbite, le paramètre/? par les relations

, /- . dy dx

, /- . . p. dz dx

k )/p%\Xïl cos ùl ^ ^ --77 — ^ --ff >

après quoi, le rayon vecteur r et l'argument u de la latitude sont

donnés par

rcosM= arcos^ -+-J^sin^,

r sina = {ycosÇl — a7sin^)cosi +«3 sine.

La dérivée du rayon vecteur est donnée par l'équation dr dx dy dz

'excentricité arc sincp et l'anomalie vraie le sont par les équations

^J> dr T"di'

P sino cos(?= - — I.

Ayant (^ et cp, on détermine l'anomalie excentrique etPanomalie moyenne par les formules connues, puis l'argument co de la latitude du périhélie et la longitude de ce périhélie par

Enfin, le demi grand axe est

cos-ç et le moyen mouvement ix a la valeur

où Â/' désigne la constante de Gauss, évaluée en secondes d'arc.

b. Méthode de Hansen-Tietjen, — Dans celte méthode, on a pris pour plan fondamental des coordonnées le plan de l'orbite non troublée, l'axe des x passant par le nœud ascendant de cette orbite sur l'écliptique. Soient i^ l'inclinaison du plan de l'orbite troublée à la nouvelle date d'osculation sur le plan fondamental et Ko la distance à l'axe des x du nœud ascendant de l'orbite troublée sur le plan de l'orbite non troublée. Les coordonnées x^ y^ z de la planète troublée sont respectivement

pcos(?, psinp, Zy

V désignant la longitude de la planète comptée dans le plan fondamental. Par suite, le calcul des projections sur les plans des^^, desjK-3, des zx du double de l'aire décrite dans l'unité de temps, égales respectivement à

dv dx dz dv dz dx

dt -^ a

donne les équations

''Tt'~'^'dt' ^di~'''~di' "'Tt^'^^dt'

A://?cosii = p«^,

,/-... ^ . dz dv .dp

k \J p sin ^1 sin Ko = p sm (> -7- — zp cos p-7- — z siqo-^,

, /- . . ^ dz . d\> dp

k y/psinii cos Ko = p COSP-7- -+- zp siiiP-7- — zcosç--^*

En tenant, d'autre part, compte de l'équation (I) (n® 201), on

lire de ces équations les suivantes, qui déterminent/?, ii, <!)« k //? cos il = k v^+ / U dt,

Â: /Jôsinii sin(Ko — v) = [k^po-^ 1 UdtV

A:\/jDsiniiCOs(Ko— <^)=p^ —^^'

Dans la dernière de ces équations, figure la dérivée de p dont on obtient la valeur par l'équation (p. .3 19)

dp ,dv A-^osinV

dt "^ P dl

Considérons le triangle sphérîque qui a pour sommets les nœuds ascendants des orbites troublée et non troublée sur Pécliptique et le nœud ascendant de l'orbite troublée sur l'orbite non troublée*, désignons par K la distance des nœuds ascendants de l'orbite troublée sur Técliptique et sur l'orbite non troublée, par 8 et Qq les longitudes des nœuds, par i et Îq les inclinaisons des plans des deux orbites sur l'écliptique. Les formules de Delambre donnent, pour déterminer Q, /, K,

i . ^ — ^0 -+- K .Ko il — t'o cos- sin^^ = sin — cos 1

.^a ^ .^c ^ - Poo + K Ko ij -h tp cos- cos = cos — cos 5

. î . ii — i^o — K . Ko . «1—1*0

siQ- sin = sm — sin j

i ii — ^0 — K Ko . Il -h £0

sm- cos^iî^ ^^ = cos — sm .

On trouve l'excentricité et l'anomalie vraie p' par les mémee

dr di'

formules que dans la méthode d'Encke, en y calculant ^, qui y

figure, par la relation

dr ^ p dp i dz cïi '~ r "di '^ ? de'

On a ensuite l'argument de la latitude de l'astre dans le plan de l'orbite troublée, compté à partir du nœud ascendant de ce plan sur l'orbite non troublée par la formule

lang u' = tan g ( i^ — Ko ) sec t'i ,

puis la longitude du périhélie

L'anomalie excentrique et Tanomalie moyenne à la nouvelle date d'osculation, le demi grand axe et le moyen mouvement se calculent comme dans la méthode d*Encke.

205. Comparaison d'une ôphéméride aux observations. — Quelle que soit la méthode de calcul des perturbations employée, on obtient finalement pour chacune des dates équidistantes les coordonnées géocentriques de la planète dans le mouvement troublé rapportées au plan fondamental, généralement l'écliptique du commencement d'une certaine année. On en conclut les coordonnées rapportées à l'équinoxe vrai pour ces mêmes dates. Le tableau de ces coordonnées est Téphéméride de l'astre.

Il importe de comparer cette éphéméride aux résultats des observations. Si l'on trouve des différences, on devra en conclure que les éléments osculateurs primitifs, pris pour base de tout le travail, ne sont pas suffisamment exacts et doivent être corrigés. En général, les corrections seront petites et Ton pourra admettre qu'elles ne modifieraient pas les valeurs des perturbations.

S'il en est ainsi, il suffira, pour obtenir les corrections des éléments, d'utiliser les relations (4i) du Chapitre Vil

{c{k = X dMo -Mft) dn -i- C dff -h Œ> dm -h C dî-^ ^ dSly ^ ^ \d'^ = X'dMo-h'\SVdn-he'df^-¥Œ>'dw-hC'di-^rd^,

dont on calculera les coefficients comme il a été indiqué dans ce Chapitre et dont les premiers membres sont les différences (observation— éphéméride). Si l'on veut éviter de déduire dk et dp de doi et dû, il est aisé de déduire des équations (E) des équations analogues donnant directement dcL et d^ en fonction des variations des éléments. Chaque observation donnera ainsi pour déterminer rfMo, dn, rf'^, ûfnr, di, dQ deux équations linéaires. On résoudra Tensemble de toutes ces équations par la méthode des moindres carrés. Il conviendra préalablement de multiplier les différences de longitude d\ par cos ^ en raison de ce que Ja différence de longitude de deux points de la sphère qui, ayant même latitude, sont à une distance constante, est en raison inverse du cosinus

de leur latitude. Si Téquation donnait doL, on en multiplierait les deux membres par cos8.

Il convient de remarquer aussi que l'éphéméride donne le lieu gëocenlrîque vrai de l'astre, et l'observation (corrigée de la parallaxe), le lieu géocentrique apparent.

D'après le théorème du n° 52, on doit comparer les coordonnées observées au temps ty non pas à la position donnée par l'éphéméride au temps ^, mais à la position que donne l'éphéméride pour Tinstant t — t, t désignant le temps, d'aberration, c'est-à-dire le temps que la lumière a mis à venir de l'astre.

Le calcul des coordonnées à la date ^ — t se fait par interpolation. Si 6 désigne comme ci-dessus Tintervalle de temps qui sépare les dates consécutives de l'éphéméride, a celle de ces dates qui est la plus voisine de t — t, et que l'on pose

t — T = a ± /lO, n étant moindre que -i on a

/(a±/iO)=/(a)±/i/i(a±^^

les signes supérieurs se correspondant, ainsi que les signes inférieurs.

206. Lieux normaux. — Pour diminuer le nombre des équations E à résoudre par la méthode des moindres carrés, nombre qui s'élève souvent à plusieurs centaines, on groupe préalablement les observations voisines par des moyennes, comme il suit.

L'intervalle de temps qui comprend ces observations étant assez court, la différence (observation — éphéméride) relative à Tune d'elles, de date /, peut être développée en série sous la forme

Cq désignant une date comprise dans Tintervalle considéré.

Si l'éphéméride est suffisamment exacte et l'intervalle des observations assez resserré, les termes qui suivent les deux premiers sont insensibles, et la détermination des coefficients x, y résulte