CHAPITRE XIY
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU MOUVEMENT D*UN SATELLITE. — RÉDUCTION DES ÉQUATIONS QUI DONNENT LA LATITUDE ET LE RAYON VECTEUR A UNE ÉQUATION LINÉAIRE DU SECOND ORDRE A COEFFICIENTS PÉRIODIQUES. — - IN- TÉGRATION APPROCHÉE DE CETTE Équation; application au cas de la lune.
— EXPRESSION DU TEMPS EN FONCTION DE LA LONGITUDE. — EXPRESSION DE LA LONGITUDE, DE LA LATITUDE ET DU RAYON VECTEUR EN FONCTION DU TEMPS. — VALEURS NUMÉRIQUES DES PRINCIPALES INÉGALITÉS OBTENUES. — INÉGALITÉ PARALLACTIQUE ; INÉGALITÉ SÉCULAIRE DU MOYEN MOUVEMENT.
207. Apparences qu'offre le mouvement de la Lune. — Abstraction faite des variations d'aspect qu'offre le disque même de la Lune, dont nous parlerons au Chapitre XIX, une comparaison sommaire des observations de la Lune conduit immédiatement à des résultats analogues à ceux que nous a donnés Tétude des observations du Soleil. Cependant, il est impossible de ne pas apercevoir, même dans le cours d'une même révolution, que l'orbite n'est pas plane. Quand la Lune revient à son nœud ascendant sur l'équateur, ce nœud s'est déplacé de plus d'un degré. Les lois de Kepler ne représentent donc pas, même grossièrement, les observations delà Lune et ne peuvent être vraiment regardées comme une approximation. Nous nous proposons d'intégrer les équations du mouvement de la Lune autour de la Terre en conservant les termes principaux de la fonction perturbatrice. Les formules que nous obtiendrons représentent ce que M. Gyldén a appelé V orbite intermédiaire ; l'analyse tout élémentaire exposée dans le présent Chapitre est tirée d'un Mémoire publié en 1887 par M. Tisserand à la suite des premiers travaux de M. Gyldén sur ce sujet.
208. Examen des diverses forces qui produisent le mouvement d'un satellite autour de sa planète. — Le mouvement d'un satel-
lite S d'une planète P résulte des actions qu'exercent sur ce satellite le Soleil, la planète elle-même, les autres satellites de la même planète, les autres planètes du système solaire. Le mouvement relatif du satellite S par rapport au centre de gravité de la planète P est donné par l'intégration du premier système d'équations (A) (n** 171), où l'on doit supposer que m© désigne la masse de la planète P, w, celle du satellite S, ^i,y<, 5< les coordonnées rectangulaires de ce satellite par rapport à des axes passant par le centre de gravité de la planète P, R^ la fonction perturbatrice
Ri=2,>^'(^â;;: y, )-
Dans cette expression mi est la masse de l'un des corps célestes énumérés ci-dessus : Soleil, satellite autre que S de la planète P, planète autre que P. a:/, yi, -s/, r/ représentent les coordonnées rectangulaires et le rayon vecteur de ce corps céleste rapportés au centre de la planète P.
La masse du satellite S étant toujours petite par rapport à celle de la planète P, l'accélération donnée au satellite S par l'action de la planète P est de l'ordre de
//no
Celle qui résulte de l'action du corps céleste de masse mi a pour composantes suivant les trois axes
dRV') dR^ dK^ ôxi dy\ dzi
R^'^ désignant le terme de R| qui correspond à la planète m/. Ces composantes sont du même ordre de grandeur. La première est
Si mi désigne la masse du Soleil, le satellite S étant toujours beaucoup plus près de la planète P que du Soleil, r/ est à peu près égal à A,/ et r\ est très petit par rapport à A«/. Si l'on désigne par V/ l'angle sous lequel de la planète P on voit le satel-
llte S et le Soleil, on a
d'où
A7? = r73(i + 3gcosV,Hr...).
On en conclut
de sorte que ^,cosVj étant du même ordre de grandeur que /•/, l'accélération relative du satellite S due à la présence du Soleil est de l'ordre de
rf
11 en est de même si mi désigne une planète autre que P.
Si mi désigne un autre satellite de P, les coordonnées x/, ^« , les distances r/, A/ sont toutes du même ordre de grandeur et l'accélération due à la présence de ce satellite est de l'ordre de
Nous appliquerons ces considérations au quatrième satellite de Jupiter et à la Lune.
Nous considérons le quatrième satellite de Jupiter comme soumis à l'influence de Jupiter, du Soleil et du troisième satellite.
Les masses de ces quatre astres sont proportionnelles aux
nombres
Les distances à Jupiter sont
par suite, l'action de Jupiter sur le quatrième satellite est de l'ordre
de
o,oi3»'
celle du Soleil de l'ordre de
/i io47,2.o,oi3 572» '
celle du troisième satellite de l'ordre de
f\ 0,00009 o,oi3*
fx désignant une constante.
Divisant ces trois nombres par ^^ > on les trouve proportionnels aux nombres
Uaction du troisième satellite est environ la dix-millième partie de celle de la planète. Dans le cours d'une demi-révolution elle peut produire sur la position du satellite un déplacement de l'ordre des minutes d'arc. Le satellite faisant vingt-deux révolulions par an, un tel déplacement, s'il se produit toujours dans le même sens, atteindra un degré au bout d'une année. C'est bien l'ordre de grandeur des inégalités de ce satellite. L'action du Soleil est beaucoup moindre; celles des planètes sont insensibles.
En ce qui concerne la Lune, nous considérerons seulement les actions de la Terre et du Soleil, dont nous supposerons les masses concentrées en leurs centres de gravité. Les masses de la Lune, de kl Terre, du Soleil sont inversement proportionnelles aux nombres
Les moyennes distances de la Lune et du Soleil à la Terre sont
proportionnelles à
L'action de la Terre sur la Lune étant donc de l'ordre de
U o»oo26*. 3244^9
celle du Soleil sur la Lune est de l'ordre de
fx désignant une constante.
Le rapport de l'action du Soleil à l'action de la Terre est donc
de l'ordre de
Au bout d'une demi-révolution de la Lune, Teffet de la Terre ayant été un déplacement de i8o°, celui de la Lune sera de l'ordre de un degré. C'est bien, comme on verra, l'ordre des écarts entre le mouvement elliptique et les résultats des observations.
Dans le présent Chapitre nous rechercherons les lois du mouvement de la Lune en tenant compte de la partie principale de l'action du Soleil. En ce qui concerne les satellites de Jupiter, nous nous bornerons, au Chapitre suivant, à donner les résultats essentiels de leur théorie.
209. Équations du mouvement du centre de la Lune autour du centre de la Terre. — Nous prendrons comme point de départ, pour déterminer le mouvement du centre de gravité de la Lune autour du centre de gravité de la Terre, les équations (C), n** 173, du Chapitre XI :
1 dQ du 1 dQ s d(l
h^u^ dç dv A* du h^u ds '
/d^s \ / ^ rdQ dv\ \d^^ "^VV "^ÂiJ 7^ ui)
I ôQ ds^ £ dQ '-+-*' ^ /l'w' dv d\? h^u du h^u^ as "~ '
Dans ces équations u désigne l'inverse de la projection sur le plan de l'écliptique du rayon vecteur mené du centre de la Terre au centre de la Lune, if la longitude géocentrique et 5 la tangente de la latitude géocentrique du centre de la Lune, Q la fonction des forces.
Nous supposerons que les seules forces en jeu soienl^les actions mutuelles de la Lune, du Soleil et de la Terre; que l'on ait pris pour unité de masse la somme des masses de la Terre et de^la Lune, et, pour simplifier les écritures, que les unités de temps^^et de distances soient tellement choisies que la constante /de l'attraction universelle soit égale à un. Dans ces conditions, si m'^désigne la
masse du Soleil, :r, y, z les coordonnées rectangles de la Lune, x',y, z' celles du Soleil, H son rayon vecteur mené du centre de la Terre, A la distance de la Terre au Soleil, on a
On développe Q en série en profitant de ce que le rapport — est
toujours extrêmement petit. On a, à cet eiTet, en désignant par B la distance angulaire du Soleil à la Lune, vue de la Terre,
— = (r'* — •2r'r cas6 -h r') « = — (i — 2-;Cos6h -)
Le développement de — suivant les puissances de — s'obtient
immédiatement par l'application de la formule du binôme à chacun des facteurs
dans lesquels se décompose — • En multipliant par la règle ordinaire les séries ainsi obtenues, on trouve
AI, 8cos«e — I ' Scos'O — 3cosO P,= cos6, P,= , ?,= ,
cosG = ^ ,
On a d'ailleurs
de sorte que
^ I 3 008*8 — 1 r« Scos'O — 3cos8 r' ^ r*
Si u', p', s' désignent les coordonnées du Soleil analogues à w, ç^ s, les formules du changement de variables
COSP
sint> ^= u '
, sin p'
donnent
COSO =
La substitution de celte valeur de 0 dans le développement de Q donne en négligeant s'^
[H-3cos(2P — ap') — a5*-f-i2«'cos(i> — c-')]
-i-3(i— 4««)cos(»' — «>')+ i2»«'[cos(2«'— 20')— »*]j
Le terme peut être supprimé puisquUI ne dépend pas
des coordonnées de la Lune et que les équations du mouvement troublé ne renferment pas la fonction Q elle-même, mais ses dérivées par rapport aux coordonnées de la Lune. Le terme en — jdonne les principales inégalités du mouvement de la Lune, le terme en — les inégalités parallactiques, lesquelles dépendent de -7 et peuvent servir à déterminer ce rapport dont la connaissance équivaut à celle de la parallaxe de la Lune. Le terme en -^ et les suivants sont très petits et nous les négligerons ici, notre
objet étant seulement de faire connaître avec quelque approximation les lois du mouvement de la Lune. Nous négligerons aussi pour la même raison les termes qui ont 5' en facteur. D'autre part, comme il a été expliqué au Chapitre XII, nous considérerons séparément les divers termes de Q, ce qui est permis en première approximation.
