Cas où la fonction perturbatrice est réduite aux termes

en— r- — Nous ferons d'abord

,«»v >-v M /Ma'- . « , ,.,

(3) Q = -f- -— j- [i - 25«-h 3 cos(2(^ - 2O ,

qui donne

\ àQ I m'a'» • o /

\^) \ au ^i^ s2 1U^ ^ ^ '^'

dQ us m'u'^s

Si Ton porte ces valeurs dans les deux premières équations (i), elles deviennent

3 m' a'* , , ,.ds ^m'u'^s , ,

2 A* M* ^ ap 2A*a* "^ ^ ''^

3m' /rf«w \ /•"''• / /x^

cf«a 3m' /d^u

] 3 m' u'* , , ,.du

/ft\ / rr — r sin(2P — 2*^ )-T-

— rr— r [ï -H 3 C0S(2P — 2P')].

Nous simplifierons ces équations en y négligeant les termes du quatrième ordre. Si nous faisions abstraction de Faction du Soleil, nous obtiendrions les équations du mouvement elliptique.

Soient dans cette hypothèse :

a le demi grand axe ;

e l'excentricité ;

n le moyen mouvement de la Lune ;

e la longitude moyenne dans Técliptique à l'origine du temps.

a', c'y n', e' les quantités analogues relatives au Soleil.

Nous regarderons s, e, — comme de petites quantités du premier

ordre, et le rapport des actions du Soleil et de la Terre sur la Lune

a'* comme étant du second ordre. Ce rapport est sensiblement m'—-

Dans ces conditions, ^-j- + s est du second ordre et le terme de

l'équation (5) qui renferme une intégrale est du quatrième ordre; nous négligerons ce dernier terme.

D'après le choix particulier d'unités qui a été fait, on a

et dans l'équation (5) on pourra remplacer A* par a. On a aussi, d'après le n« 166,

Nous poserons

d'où, en négligeant e^, ce qui est évidemment permis dans l'équation (5),

Enfin, négligeant toujours les quantités du quatrième ordre, nous remplacerons, dans l'argument 2p — 2(^', «^ et p' par les longitudes moyennes

p = 71/4- e, v'= n't-{-t\ ce qui donne

v' = mv H- Si, en posant

s' — w e = sj .

L'équation (5) devient ainsi, en désignant par X la constante

(a) -T-i /n*sin(Ai? — 261) 3- -*-* I ' -♦"- /n' H- - w'cos(Ap — 26,) =0.

Nous simplifierons l'équation (6) par des considérations analogues. Nous poserons d'abord

où p, p' désignent des quantités du premier ordre. A cause du terme ^> -^ -h u est d'ordre zéro, et le terme qui ren-

ferme une intégrale doit être conservé; il est du second ordre^ ainsi que les autres termes de l'équation. On pourra dans le calcul des divers facteurs de ces termes, négliger les quantités donl

les rapports à ces termes ont avec Tunité des différences du

second ordre. On remplacera (i-i-5*) ' par i s^j tj par

m^—^' L'équation devient ainsi

2 ûfp ^ ^ (i-+-p)*

-3;n.(.-HpH-^P)/^'sin(..-,.')rf-o.

Nous supprimerons le terme constant du second ordre i ,,,

ce qui revient à changer la définition de là valeur moyenne a de u.

Le binôme -j^ + p est du second ordre et peut être supprimé

dans le dernier terme. On ne peut plus remplacer s? et v' par les

longitudes moyennes, qui en diffèrent de quantités du premier

ordre ; on posera

nf + e = V— 2esin(p — m),

n't 4- e'= p'— 2e' sin(p'— w'), d'où

Ej = e' — /ne = v* — ac' sin(p' — ro') — mt'-f- aem sin(p — t»), et, em étant du second ordre,

v'=: mv-{- ie' sin(v' — m') -h ej.

On a, de même, avec une précision suffisante,

p'= c'cos(i^'— w') = c'cos(/np -H Bi — w'). On obtient ainsi, en effectuant des intégrations immédiates,

-f- - 5* -+- - /n*-h ( 3/n«-h - /n» ) cos(Xi^— 26i)+ - m* e' cos( mv -h ti— ta' ) a a \ a / a

3 ai

/n2c'cos[(X-+-/?i)p — E| — m'] -\ m»c'cos[(X — m)p — 3eiH- w']

-f-iam^ / psin(Xp— 2ti)dç — 3o/?i* / p«sin(Xp — 2ti) dv.

Le dernier terme est du quatrième ordre. Quand on y remplacera p par une valeur approchée, on obtiendra un terme dont

DE LA LUNE. 34l

Targument sera de la forme 2m^f, L'intégration conduira à diviser ce coefficient par 2 m; ce terme sera donc réellement du troisième ordre et non du quatrième.

On fait disparaître Tintégrale de Pavant-dernier terme ainsi : on a identiquement, en remplaçant provisoirement "i.v — 2ei par X(;,

/ p sinXp dv = — / -T-^ sinXp dv -\- j ( ^-| -t- p 1 sin "kv dv.

Le second terme du second membre est du second ordre. D'autre part, on obtient, en intégrant par parties deux fois de suite

/-r-: sinXprff = -j^ sînXt' — X / -r^osXvdç dv^ dv J dv

= -7? sinXp — pX cos Xp — X* / p sin Xp dv.

Portant celte valeur dans l'identité précédente on trouve / p sïnXv dv

Dans le dernier terme qui, dans l'équation différentielle, deviendra du quatrième ordre, on peut remplacer s-^^^j- par r puisque X*— I = (3 — 2/n)(i — am).

Par ces substitutions cette équation devient

+ 1^1 ! ;n«- /n« (5^^ -*- f j cos(Xp - 26|)J p

= 5« ;yii-/3/n*H — 771» j cos (Xp — 2 Et)

(P) ( m*e' cos(/np-f- 6|— w')

-h -/?i'c'cos[(X -4- /n)p — 61 — ©']

/n*c'cos[(X — m)p — Sei-hw']

\ H-3o/n* /p*sin(Xp — 2 6i)rfp-4-4m* / ( ^-t-p j sin(Xp — aei)rfp.

Nous désignerons, pour abréger, par U ce second membre.

L'équalion (a) est une équation différentielle linéaire à coefficients périodiques et sans second membre. L'équation (P), si Ton y remplace s par la valeur résultant de l'intégration de l'équation (a), est, aux deux derniers termes près, qui sont du quatrième ordre, une équation différentielle linéaire à coefficients périodiques, avec second membre. L'intégration d'une telle équation est aisée quand on sait intégrer l'équation obtenue en remplaçant le second membre par zéro. L'équation (a) et l'équation (p) après la suppression du second membre appartiennent à un même type

d^ SP doc

(y) -j-i -+- A sin(Xp — 2ei) -i — h [B -4- C cos(Xp — asOjo; = o,

que nous allons d'abord simplifier.

211. Simpliflcation de Téquation différentielle du second ordre sans second membre. — Soit généralement une équation différentielle linéaire du second ordre, sans second membre,

Si l'on pose

z désignant une nouvelle fonction inconnue, substituée à ^, E la base des logarithmes népériens et N une fonction de \> convenablement choisie, on a

et l'équation (7) est remplacée par une nouvelle équation linéaire

d^ dz

sans second membre dans laquelle le coefficient de ~t- est

Si l'on prend N = ^7 la nouvelle équation en z est

d^z dv^

Si l'on applique ces considérations à Téquation (y), on est conduit à poser

-J/*A«In(Xp+C,)i/«'

et Téquation en ^ est

■^-j + ^ B -f-(C jcos(Xp — aei)— - A* sin»(Xp — 2Ei) = o.

Dans les équations (a) et (p) A est du second ordre et l'on peut négliger le terme en A^ ; B est, au reste, positif; nous sommes donc ramené à une équation de la forme

(8) -^ + z[qi-^ aa cos(Xp -h P)] = o.

Nous observerons que, dans l'application de ces principes à l'équation avec second membre (p), il faudra multiplier U par

- rAglo(Xv— jei)rff . XT -1 111» «11

£'•' ; mais, U étant du second ordre et 1 exponentielle

ne différant de Tunité que par des termes du second ordre, on peut remplacer cette exponentielle par l'unité, en ne négligeant toujours que des termes du quatrième ordre.

L'application de ces principeis à l'équation (a) la ramène à la forme

(a*) 2~i H-^i+-''**H-3/n«(i— — jcos(Xp — 261) = o

avec

5 = ^1+ ^m*(i -\- m) cos(kv — aei) ;

l'équation (^) se ramène à

<P*) ^ + *'[i-f»«'-^m«(3-XH-^)cos(Xp-i»s,)] = U,

avec

212. Intégration approchée de Péquation sans second membre (8). — Proposons-nous d'intégrer Féquation

(8) ^ -f-^[5r«-|-2acos(Xp-f- P)] = 0,

DEUXIÈU