CHAPITRE

où q^ est un nombre pelit, du second ordre.

Posant

cette équation devient

positif fini,

, voisin

un,

a un

nombre

cosat'') =

OÙ l'on a

On peut satisfaire à l'équation (8'), aux termes près de tordre p -+- 1 par rapport à a', par une expression de la forme

(9) s = -So-Ha'5i-Ha'2^j-+-...-4- a'/'^p, OÙ

(10) Zi= 2 Bi^>C0S((V-+.2Ap')»

fe5 coefficients BJ^^ n étant fonctions que de y', ef /'arc «p ^fa/iC de la forme

(11) w = jx'p'-t-4/',

i(' désignant une constante arbitraire et jjl' étant de la forme

(12) {a' = gr'-4- a' [Jii -H a'» [X2-4- . . . -h a'^ jx^,

[jLt , |JL2, . . . étant des fonctions de q'. Nous supposerons en outre B* nul, excepté BJ qui demeurera arbitraire, ce qui revient à réunir à ^0 tous les termes en cos^ de Z|, ^o^.* "9 -^jf- On a en effet, dans ces conditions,

De plus

(i5) |x'«=5r'«-hCia'+C,a'ï-|-C,a'»H-...,

et nous retiendrons que dans ce développement le coefficient Ck est le premier qui renferme [x^t et que le coefficient de [jl* dans C* est 2 y' a'*.

Si nous substituons dans le premier membre de Tëqualion (S') ces diverses valeurs (i4), (i5), (i6), le coefficient A de a'* dans ce premier membre sera, au signe près,

A=— V (ih*-\-iq'h)Bf cos(w-i-ihif')

- 2 t(4HiiA-+-C,)B?iCos(«'H-2/ip')

— Bf iCos[tv-H (aA-+-2)p']

— B^lC0S[«'-H(2/l — 2)t»'][

— 2 (4Ftï^-^C,)B?,cos(w-h2At;')

— V (4{JlsA-|-G3)B/,COS(w-|-2A<;')

Nous égalerons ce coefficient à zéro pour les valeurs o, i , 2, . . . , /> de f, et comme il est une combinaison linéaire de cosinus d'arguments de la forme

w — aiV, w — (fxi— 2)v\ w — (2t — 4)^'» •••> w-f-aiV,

nous égalerons à zéro, pour une valeur donnée de i, les coefficients des cosinus de ces divers arguments.

Pour î = o, A est identiquement nul.

Pour t = I, il est égal à

[(- 4 -+- 4 S'OBl» -h BJ] cos( w' - at^') -h agr' jxia'Bg cos w -t- [(— 4 — 45r')Bj -h BJ] cos(w + at'')-

Annulant successivement le terme en cosfv et les deux autres, nous trouvons

Si l'on fait /== 2, on trouve de même

^•- 2^'Bi! -4y\i~^'*)'

B-«- ^T^ Bo

Rt P} - BO

*■" l6^8gr' - 32(l4-gr')(a4-5r')'

Nous ne pousserons pas plus loin le calcul, constatant seulement que, pour une valeur quelconque de i, le coefficient de cosiv donne p./ qui ne s'introduit dans ce coefficient qu'au dernier terme avec le coefficient 2 y'. On obtient Bj en égalant à zéro le terme en cos («'-1-2 A \/)\ le coefficient de B^ dans ce terme est 4 A* + 4 Ay' ; il n'est jamais nul, h n'étant pas nul. On voit aussi aisément que les conditions

BJ = o, B} = o,

donnent successivement le Tableau

Bï» = o •BJ = o

Bj« = o BS = o BJ = o

878 = 0 Bji = o BÎ = o BJ = o

de sorte que dans une expression de zi les arguments successifs ont des différences égales, non pas à 2i^, mais à 4 ^'*

213. Intégration approchée de l'éqnation avec second membre. — Si nous nous en tenons aux termes en a'^ et que nous remplacions i{f' par Xp + p, nous obtenons pour l'intégrale approchée de l'équation (8)

i « = B2 cos cv H- -T- ^^^ — -^ ^ ^

! \ l h-iq X + 25r J

j Bgg» r cos((y — 2Xi^ — 2P) C09(ty-4-2XpH-2p) 1

( "*" 2A:« L(X — 2y)(2X — 2gr)"^(X-+-25r)(2X-i-2gr)J'

OÙ

BJ et ^ étant des constantes arbitraires et la valeur de p. étant

Si nous donnons à Tëquation (S) un second membre Z périodique, de la forme

Z= SA/cosV,-, OÙ

rintégrale de Féquation

(e) — -+-3[y»H-2acos(Xp + p)]=Z

s'obtiendra en ajoutant à rintégrale générale (i8) de l'équation (8) une intégrale particulière de Téquation (e) avec second membre. L'application de la méthode bien connue de variation des constantes arbitraires B^cost]/, B^sin^ de l'intégrale (i8) donne la solution particulière suivante

"^ XHX-2y)« [jnrxTx;. ■*■ fx-x-xJÎ

'k — iq \fx — X — X/ fx-t-X//î

-h -^ yA/cos(V/— X(>-P)l .— i — ( ^ r- + — i-Y-)

25rX^ « V « r/j X-+-agF \jx-hX — X/ IA-+-X//

"^ X — 2^ \ {JH- X H- X/ "*" jx— xJl'

cette fonction, ajoutée à la valeur (18) de Z, représente une valeur de z qui, substituée dans l'équation (e), ne laisse comme résidus que des termes de l'ordre de a^.

214. Latitude de la Lune. — Nous appliquerons d'abord les résultats de l'article précédent à l'équation a relative à la latitude de

la Lune. L'équation n'a pas de second membre. On Tidentifie avec l'équation (8) en faisant

On obtient ainsi par les équations (19)9 en s'en tenant dans la valeur de z aux termes en a,

^ = Bgcos(v+ ^^ ^ —

[cos((y — Xt^-f-2£t) cos(w -^Iv — aei)"| — 2m — |/?i* 4 — 2/w-h|m* J'

OU, négligeant les termes qui, par rapport à B^ et m, sont d'ordre supérieur au second,

z = Bgcosw— -mBJcos(«' — Xp + 2ei),

et par suite

5 = B J cos ( fxp -+- d;) — - B J m cos [( [JL — 2 -H 2 /n) p + <j/ -f- 261 ],

OU, aux termes près du quatrième ordre,

La valeur de [J. ainsi trouvée est exacte à -^ près de sa valeur. Nous poserons

et nous aurons, suivant les notations ordinaires,

(22) s = x9in(^p — y)-^ gmxsin[(2 — a/M — ^)i>-t-Y — aei].

Nous reviendrons au n^ 217 sur la signification des formules (21) et (22).