I -h p -h Sp a
de développer suivant les puissances de p, p', Sp, et de remplacer
ces quantités par les valeurs trouvées ci-dessus en s'en tenant aux termes du second ordre et à ceux du troisième ordre dans rarement desquels p a un petit multiplicateur de Tordre de m^ pour trouver
h dt 3.3- , \3, .
a^ dv 1 7, ^ ^ 2 ^ '
-f- -x*cos(2^p — 2y) — ■7-/n*cos(Xp — 261) 2 4
-mccos[(X — c)p — 2e|-hm]-f-3m*c'cos(mp-Hei — w'),
d'où, en posant,
nf = p — 2C sin(cp — w) h- - c*sin(2CP — 2m)
(26) y H- 7X*sin(2^p — 2y) r-m*sin(Xp — 26i)
j-me sin[(X — c)p — 2 S|-f- ni]-*- 3 /n«'sin(mp -+-£, — ©').
S17. Expressions de u, ç, 5, en fonction de t. — Il est commode, pour l'interprétation des résultats, d'obtenir r, {/, s en fonction du temps t. A cet effet on résout d'abord l'équation (26) par rapport à V par approximations successives, ce qui donne
j ç = nt -I- 2 c sîn ( c/i/ — w)
H- ■TC'sin(2C/i^ — 27ij) — 7X* sîn(2^n/ — 2y) 4 4
H- — -m*sin[2(/i — /i')< — 261 ]
i5 -h -—me sin[(2/i — 2/1' — cn)t — 261-1- w]
— 3mc'siD(n'<-f- ei — w'). La substitution de cette valeur dans celles de u ei s donne
s = Y.sin{gnt — y)
-h xc sin[(^ -h c)/i< — Y "- ^l — ** sin[(^ — c) nf — Y "^ ® 1
H- ^^/nsin[(2n— 2n'— n^)f — 261-+-Y],
et
1 3 au = 1 m* — e* — T^t^-f- e cos( cnt — w)
-\- /7i'cos[2(/i — n')t — 2cr]
H- — - mecos[(2n — in' — cn)t — acx-f- nj]
et l'on a
c = I — o,oo8 452, g = i-i-o, 004022.
Si Ton néglige les termes du second ordre, Téquation (K), où s désigne la tangente de la latitude de la Lune, indique que cette latitude varie périodiquement. On en obtient la valeur
qui indique que la Lune se meut dans un plan dont rinclinaisori sur Técliptique a constamment x pour tangente. Le nœud ascendant de ce plan sur Técliptique n'est pas fixe. Si l'on compte le temps à partir d'une époque où la longitude moyenne / de la Lune dans l'écliptique est nulle, on a
l = nt et
On voit que la longitude du nœud à la date t est
Le nœud rétrograde donc uniformément et fait une révolution complète dans un nombre de révolutions lunaires égal à
De même la formule (L), si Ton s'en tient au terme du premier ordre, montre que la longitude du périgée est
Le périgée a donc un mouvement direct dont la période est, en ré- B. — II. 23
volutions Iiinairesy
La période exacte de la révolution des nœuds est 6798 jours, soit environ 18 ans et 7 mois; celle de la révolution du périgée 3282 jours, soit environ 8 ans et 1 1 mois.
La formule (H) donne une représentation approximative du mouvement de la Lune dans son orbite.
Les trois premiers termes ne diffèrent que par le coefficient c des premiers termes du développement de la longitude dans le mouvement elliptique. Le terme nt correspond à l'anomalie moyenne; les deux suivants à l'équation du centre.
Le quatrième terme,, qui, si l'on y remet r à la place de /?/, devient
est la réduction à Vécliptique, C'est la différence entre la longitude moyenne l^ de la Lune dans son orbite et la longitude moyenne / dans Técliptique. On a, en effet, en désignant par v, la longitude du nœud égale à y + (i — g)l^
tang(/ — Yi) = ^ang(/i — yOcosï,
où i désigne l'inclinaison de l'orbite de la Lune sur l'écliptique. On en conclut
/i — / r= — tang* - sin 2 ( / — Yi )
Les termes suivants sont des inégalités proprement dites de la longitude de la Lune. La plus anciennement connue est Vévectioff, découverte par Ptolémée, dont l'expression est
^ me sin [2(/ - n-{cl - m)],
Son argument est sensiblement égal au double de la distance angulaire de la Lune au Soleil diminué de l'anomalie moyenne de la
Lune. Sa période est
un mois lunaire 27^ \
/i ( a — 2 m — c) 2 — 'ini — c i — 'ini
et son coefficient est
Les deux autres inégalités ont été découvertes parTycho Brahé. La variation
— -m2sin(2/-— 2/'),
nulle dans les syzygies et les quadratures, maxima ou minima dans les octants, a pour période
2TC I . , . j. ,.3
