CHAPITRE XV
REPRESENTATION APPROCHEE DE LEURS MOUVEMENTS. — EXPLICATION DE LEURS PRINCIPALES INÉGALITÉS. — ÉCLIPSES DES SATELLITES. — VITESSE DE LA LUMIERE.
219. Mouvements des satellites de Jupiter. — Les mouvemenls des satellites de Jupiter ne sont pas moins complexes que celui de la Lune. La théorie de ces satellites est évidemment simplifiée par ce fait que leurs excentricités sont faibles et même, pour les deux premiers, insensibles; mais elle est singulièrement compliquée par les rapports presque commensurables qui existent entre les moyens mouvements des trois premiers. Nous nous bornerons à faire connaître les circonstances les plus importantes de leurs mouvements.
Nous ne nous occuperons pas du cinquième satellite, ainsi nommé, bien qu'il soit le plus voisin de la planète, parce qu'il a été découvert le dernier. La découverte de ce satellite est trop récente et les observations en sont trop peu nombreuses pour qu'il soit possible de donner des indications un peu précises sur les inégalités de son mouvement. Nous nous bornerons à signaler un déplacement rapide du périjove, indiqué par M. Tisserand, et dû à Faction du renflement équatorial de Jupiter. Ce périjove ferait une révolution, dans le sens direct, en cinq mois.
Les excentricités des orbites du premier et du deuxième satellite sont insensibles; celle du troisième est environ o^ooiS : en secondes 4' 37". Celle du quatrième atteint 0,0072 ou 24' 54".
On peut regarder, sans erreur appréciable, l'orbite du premier satellite comme située dans le plan de l'équateur de Jupiter. Le plan de l'orbite de chacun des trois autres fait un angle constant avec un plan fixe qui passe constamment enlre l'équateur et l'orbite de Jupiter par leur intersection mutuelle. Les nœuds de
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Torbite de chaque satellite sur le plan fixe correspondant ont, sur ce plan fixe, un mouvement rétrograde.
Les plans fixes relatifs au deuxième, au troisième, au quatrième satellite font avec Téquateur de Jupiter des angles de 65", 5', 24' î les orbites sont inclinées sur les plans fixes correspondants de 28', 12', i5'; les périodes des révolutions tropiques des nœuds sur les plans fixes sont 29*°*, 91 42; i4i*"%739', 53i ans.
Il importe de remarquer que les plans des orbites ne font pas des angles constants avec Téquateur de Jupiter.
Les longitudes vraies r|. (^2, ^^3, (^4 des satellites s^expriment sensiblement en fonction de leurs longitudes moyennes /1 , Z^, /s, '4, par les formules suivantes données parLaplace au Tome IV de la Mécanique céleste,
i»! = /, -+- 27' sin 2 ( /i — /i ),
(;,= /j-M«4'sin2(/,-/,),
Vz= h-^ 9' sin( /j— wa) -h 4' sin ( /j— nr* ) — 4' sin(/jj — /j }
C4 = /4-f- 5o'sin(/^ — xsi,).
On comprendra pourquoi nous nous en tenons aux minutes d'arc en observant que, le demi grand axe de l'orbite du quatrième satellite n'étant que vingt-six fois le rayon de Jupiter qui nous apparaît sous un angle de 25"^ un arc d'orbite de 1° ne nous apparaît que sous un angle de lo'^
Le deuxième terme de v^ en est l'équation du centre. Chacune des autres inégalités données par Laplace pour le quatrième satellite n'atteint pas une minute d'arc.
Le deuxième terme de ^3 en est Téquation du centre ; le troisième est une inégalité provenant en quelque sorte de l'équation du centre du quatrième, puisque son argument Iz — ^4 est compté du périjove du quatrième satellite au rayon vecteur moyen du troisième.
Les deuxièmes termes de Ç\ et de v^ et le dernier terme de i'j ne correspondent pas aux inégalités à longue période sur lesquelles l'attention a été attirée au n® 190; il se produit ici une circonstance toute spéciale à laquelle il est d'autant plus nécessaire de s'arrêter, que ces termes sont les seules inégalités sensibles dans les mouvements du premier et du second satellite.
SATELLITES DE JUPITER. SSg
220. Explication des inégalités du premier et du second satellite. — Les moyens mouvements des trois premiers satellites sont, d'après les observations,
Tii =^ 3,55 1 548, /ij= 1 ,769823, 713=0,878208.
De ces valeurs on conclut
/11— 2/iî = 0,012902, /12— 2/13= 0,012907 et
fil — 3 /Ij -h 2 713= O,
à une demi-unité près du cinquième ordre décimal, ou à une
seconde près.
L'observation a montré que les longitudes moyennes satisfont à
la relation
A l'égard des deux dernières relations qui ne se présentent dans la théorie des satellites qu'au second ordre d'approximation par rapport aux masses, nous nous bornerons à énoncer que la théorie prouve qu'elles ont lieu rigoureusement.
Les deux premières relations sont l'origine des inégalités du premier et du deuxième satellite et des trois derniers termes delà longitude v^ du troisième.
Le mouvement d'un satellite résulte de l'attraction de la planète, de celle du Soleil et des attractions des autres satellites. Nous proposant seulement d'obtenir la forme des inégalités principales des trois premiers satellites, nous négligerons l'action du Soleil, qui, ainsi que cela a été dit au n^ 208, est beaucoup moindre que celle des satellites; nous regarderons aussi la masse de Jupiter comme concentrée en son centre de gravité, tout en avertissant que le renflement équatorial de Jupiter est sensible et produit des effets peu importants, mais non négligeables, sur le mouvement des quatre satellites.
Nous ne nous occuperons que de la longitude vraie p, qui, en
négligeant les carrés des inclinaisons, se déduit de la longitude
moyenne par la série
V =z l -h ie sin(l — m) -^ y e^ sïn{il — 2tb). . .,
36o DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE XV.
de sorte que les inégalités St^, du premier ordre par rapport aux masses, se déduisent de celles de /, e, rn par la formule
= 8/ l-h2CC0S(/— -Tij)-^ -C*C0S(2/ — 2©).
-hS€ 2sin(/~w)-h - csin(2/ — 2©).
-+-8nj — 2C cos(/ — w) c* cos(2/ — 2Tii). . . I .
Nous nous bornerons d'ailleurs à la partie de iv qui ne dépend ni des excentricités, ni des inclinaisons. Elle sera donnée par
8(7 = 8/ + 2sin(/ — m) ce — 2 cos(/ — xa)e ^w. On a
en posant
p = fndt,
et, par les formules du n® 177, on a, en négligeant les excentricités et les inclinaisons.
dz dt "
2 dR
na da
d^p -dïi"^
dn 3
dt ~ a«
dR
de dt -
na^e àm
dm dt ~
î ôR na^e de
On devra dans le calcul de R s'en tenir aux termes du premier ordre par rapport aux excentricités et négliger les inclinaisons.
Désignons par m' la masse d'un satellite perturbateur, celle de la planète étant prise pour unité. Choisissons les unités de temps et de distance de telle manière que le coefficient de l'attraction soit égal à l'unité. On a alors
R = SR,,o oCi
i> r , '• / '^^"* r' cos rr' Ri.o = V''*-»- '*'-~ 2rr cosrr y — •
SATELLITES DE JUPITER. 36l
En posant
-* I v^ (a»-!-a'* — aaa'cosV) »=- > A'cosiV
et
* âa
on trouve, aux termes près du second ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons,
\r^-h r'* — 2 rr' cos rr' )
= ^Xicos(ir--il)—-(2£\i-^A\)cos[il'-(i-i)l — m]
et
-H-[(2t-f-i)A'-f-Ai]cos[(t-Hi)/'— tV — ©']
r'cosrr'^ a r„ ,. ^ /w v . — = ^cos(/ — /)-+- -ecos(/ — w)
-ccos(/'— aZ-i-Tn) — ac'cos(2/'— / — w').
Pour l'action du satellite m sur m', il faut prendre la même valeur pour la première partie de Rio et dans la seconde permuter a et a'; /, /'; e, e'; tu, tn'.
D*après cela, on a
dt ina^ 1/ L \ j
^ [-sin(/'— tst)— -sin(/'— îZ + m)],
/la' La !A J
e-j- = -^^- (aiA'-H AÎ)cos[iT— (t — i)/ — m] dt ina^^ 1/ L V /
H -cos(/' — m) cos(/'— aZ-H TB) .
D'où
8e = "~ , T—, — r- ^cos[t7' — (i — i)l — m]
•zna^ in — (i — i)/i l \ / j
-+- ^— — C0S(/'— W) r-' COS(/'— 2/-+-Til) ,
2na» L/i ^ ^ n —in ^ 'J
^ — -I 2t\'-hA', . r •#/ /• \y 1
e onr = -r—, — — 7— sinf w — (i — 1)1 — tbJ
2/ia* m — (t — i)/i L V / j
H- -J risin(/'-Tiy) r-— sin(/'-2/-Hïïj)l,
2/ia* L/i ^ ^ /i — 2/1 J
et
2sin(/ — zs)^e — 2 cos(/ — Tn)e 8tb
na* in —(i — i)n ^ ^r^sin(/' /)----' — sin(/'— 3/-+.2tb)1.
On a aussi
^; =- -^ cos(t7'-i7)-+- -Vcos(/'-/),
^^-^ =-^ -^r «>°(*^ - '0- -,r,-. «-(^ - 0, d'où
n{in — in)a* ^ ^ n{n — n)aa^ ^ ^
80 = -^^A^Z—^sinCiT- t7) - —, \, ,, , sin(/'- /).
La valeur de S(^, abstraction faite des excentricités et des inclinaisons, est donc SI, où
[1 L in—{i — i)n m — in 2t(/i — /i)*J
Nous ne retiendrons de cette formule que le premier terme et,
du coefficient de ce premier terme, que la première partie dont le
dénominateur est
tVi' — (t — i)w.
Si Ton suppose que les lettres sans accents se rapportent au
premier satellite et les lettres accentuées au deuxième et que l'on donne à Ha valeur 2, on obtient pour le mouvement du premier satellite l'inégalité
— ^sin(2/i — 2/ï).
On trouve de même, dans le mouvement du deuxième satellite, une inégalité résultant de l'action du premier, pour i = — 1,
égale à
mi 3/i2ûfjA-*-f- TijaiAT* ... , ^
i sin (il — «I ),
fjii /11— 2/1,
et une inégalité provenant de l'action du troisième de la forme
fl3 /Ij— 2/l8
'sin(2/i — 2/j).
Enfin, dans le mouvement du troisième satellite, on aura une inégalité provenant de l'action du deuxième et de la forme
m, 3/13^38-»-^- /ijaiBr* . ,, ,, — • — — sin(/3— /i),
fX, «2—2/13
la lettre B désignant des constantes analogues à celles que représente A, relatives à aa et a^ au lieu de l'être à a^ et aj.
La relation
donne
sin(/j— II) = 510(2/2— 2/3),
de sorte que les deux inégalités du mouvement du deuxième satellite ont un même argument 2/2 — 2/3.
On voit, et c'est le résultat sur lequel nous voulions attirer l'attention, que les inégalités trouvées, dont les coej/icients sont devenus sensibles à cause des petits diviseurs 2/13 — /i2, 2 /i2 — /ii ne sont pas à longues périodes. Les inégalités dont les arguments dépendent de 2 12'— l\ ou de 2/3 — I2 dont les coefficients auraient les très petits diviseurs (2/12 — /ii)', (2/23 — n^Y sont du premier ordre par rapport aux excentricités et disparaissent dans les mouvements des deux premiers satellites. Elles n'atteignent pas une minute d'arc dans la longitude du troisième.
