CHAPITRE XVIIL

TRIANGULATIONS. — MESURES DE L INTENSITE DE LA PESANTEUR AU MOTEN OU pendule; FORMULE DE ROUGCER. — CALCUL DES TRIANGLES GÉODÉSIQUES. — CALCUL DES LONGITUDES, DES LATITUDES ET DES AZIMUTS. — LONGUEUR d'un arc de MÉRIDIEN. — RÉSULTATS. — NIVELLEMENT GÉODÉSIQUE, NI- VELLEMENT MATHÉMATIQUE.

247. Du géolde. — La Géodésie a pour but Tétude de la forme de ]a surface mathématique de la Terre, surface à laquelle Listing, en 1872, a donné le nom de géoïde.

On admet que la Terre a été primitivement fluide, que la distribution actuelle de la masse ainsi que la direction de la verticale et l'intensité de la pesanteur en chaque point satisfont aux conditions d'équilibre relatif d'une masse fluide, la verticale résultant d'ailleurs de la gravitation et de la force centrifuge. En tout point de la masse terrestre, passe une sur/ace de niveau, c'est-à-dire une surface normale à la verticale en chacun de ses points. La surface formée par le niveau moyen des mers fait partie d'une surface de niveau qui se prolonge dans les régions continentales; cette surface est le géoïde. Par niveau moyen des mers on entend le niveau auquel s'élèverait la mer en chaque point si elle était en repos, c'est-à-dire si l'on pouvait faire abstraction des diverses causes (marées, courants, vents, etc.) qui produisent les mouvements des flots. Si les continents étaient sillonnés de canaux en communication avec les mers, la surface des eaux dans ces canaux appartiendrait au géoïde.

Les diverses surfaces de niveau s'enveloppent mutuellement. Si la verticale en un point A de l'une en rencontre une autre en un point B, elle n'est généralement pas verticale en B. Partant de A suivant la verticale en A, on peut décrire une ligne dont tontes les tangentes soient des verticales; une telle ligne s'appelle ligne de force. Cette ligne est généralement une ligne à double cour-

bure, très peu différente d'ailleurs d'une droite. Si le point A est un point quelconque de la Terre, que la ligne de force qui en part rencontre en C le géôïde, le point A peut être représenté par le point C qui en sera dit la projection et par la ligne courbe AC, l'altitude. On peut aussi projeter A sur le géoïde au moyen de la verticale en A. Le pied B de cette verlicale diffère très peu du point C et, pratiquement, on peut confondre ces deux points et aussi la courbe AC avec la droite AB.

En fait, le géoïde diffère peu d'une sphère ayant 6870'"° de rayon. Il ressemble très sensiblement à un ellipsoïde de révolution aplati dans lequel V aplatissement, c'est-à-dire le rapport de la différence des axes au plus grand d'entre eux est voisin de ~. La détermination des deux axes de cet ellipsoïde n'exige qu'un très petit nombre de mesures. Seulement la comparaison des mesures géodésiques à un ellipsoïde de révolution laisse toujours des résidus qu'il est impossible d'attribuer aux erreurs des observations, et dont l'ensemble est tel cependant qu'il faut renoncer à trouver une forme représentant le géoïde avec plus de précision que l'ellipsoïde de révolution. 'D'après M. Helmert, la détermination précise de la forme du géoïde demanderait autant de travail que celle delà surface physique (ou surface réelle) de la Terre; celle-ci, comme le géoïde, diffère peu d'une sphère de ôS^o^"' de rayon ; la différence des distances de son centre au point le plus rapproché et au point le plus éloigné ne dépasse pas 82^™.

248. Triangulations. — Toutes les mesures effectuées à la surface de la Terre, pour l'étude du géoïde, consistent en triangulations. Un certain nombre de points plus ou moins éloignés étant choisis, de chacun de ces points on vise les points voisins. A cet effet, on installe en l'un A de ces points un théodolite, et l'on mesure l'angle des plans passant par la verticale du point A et par les points voisins B, C, .... On détermine aussi les angles que forment en A, avec la verticale, les rayons yisuels AB, AC, . . . , c'est-à-dire les distances zénithales de ces rayons visuels. On opère de même au point B, d'où l'on vise les sommets voisins, en particulier A et C, et au point C d'où l'on vise aussi B et A, et l'on opère ainsi en tous les sommets. D'autre part on mesure une base, c'està-dire un côté aussi long que possible de l'un des triangles. On

4lO DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE XVIII.

détermine les latitudes de deux stations extrêmes et aussi Tazimut en Tune d'elles A, c'est-à-dire l'angle que fait le méridien en A avec le plan vertical en A passant par un sommet voisin B. On suppose d'ailleurs que le géoïde est un ellipsoïde de révolution aplati. Dans cette hypolhèse, les mesures faites permettent de trouver les dimensions de cet ellipsoïde et les coordonnées, latitudes et différences de longitudes, des sommets. On joint, à l'ordinaire, à ces mesures, des déterminations surabondantes de latitudes, d*azimuts, de différences de longitudes. Les écarts entre les valeurs mesurées et celles qui résultent des calculs de la triangulation montrent entre quelles limites le géoïde est exactement représenté par l'ellipsoïde adopté ou obtenu.

Historiquement, les travaux géodésiques^ jusqu'au xix* siècle, ont eu exclusivement pour objet des mesures d'arcs de méridien, et c'est de l'ensemble de ces mesures faites à diverses latitudes qu'ont été conclues les dimensions du géoïde. Depuis, la comparaison de mesures de toutes sortes, d'arcs de méridiens, d'arcs de parallèles ou même d'arcs orientés d'une manière quelconque a montré que l'ellipsoïde de révolution est, de toutes les surfaces simples, celle qui représente le mieux le géoïde.

En chaque point il existe entre la verticale réelle et la verticale géodésique, c'est-à-dire celle qui correspond à l'ellipsoïde de révolution, un écart que l'on nomme déviation de la verticale. On peut bien dire que les mesures géodésiques ont aujourd'hui pour but l'étude de ces déviations. Il nous sera impossible d'insister sur le détail des discussions que leur détermination comporte.

249. Mesure de l'intensité de la pesanteur au moyen du pendule.

— Les mesures géodésiques se complètent fort utilement par celles de l'intensité de la pesanteur au moyen de la durée des oscillations du pendule. Ces dernières ont manifesté, à côté des déviations de la verticale et, par suite, des variations de la courbure, des surélévations ou des abaissements du géoïde par rapport à l'ellipsoïde de révolution, différences qui, sur les continents, atteignent en général 200"; elles se compliquent de variations locales d'altitude beaucoup plus faibles, n'atteignant dans les Alpes que 5°* à 6°. Il est à noter que les modifications de la courbure n'en changent jamais le sens, de sorte que le géoïde n'offre pas, comme la surface

CALCULS GÉODÉSIQUES. in

physique du sol, des alternances de montagnes et de vallées. Les observations du pendule sont extrêmement délicates; il faut tenir compte de Tentraînement de Tair ambiant, du déplacement de l'appui sur lequel repose le couteau. Le lecteur trouvera dans le Bulletin des séances de la Société française de Physique. p. 95, 1888, un beau Mémoire de iM. le commandant Defforges renfermant, avec une discussion complète, la description des appareils construits par Repsold et plus récemment par Brunner pour le Service géographique de l'Armée.

250. Réduction des observations du pendule au niveau de la mer. Formule de Boug^er. — Pour rendre comparables les observations du pendule faites en divers points il faut les réduire au niveau de la mer. On ne se borne pas à la réduction relative à la variation d^nteusité de la pesanteur en raison inverse du carré des distances. On s'efforce de déduire de l'intensité de la pesanteur, au point où est placé le pendule, Taction de la partie de la croûte terrestre qui est située au-dessus du géoïde, afin d'avoir l'intensité de la pesanteur sur le géoïde même. On attribue à cette partie de la croûte terrestre que nous appellerons le continent une densité constante.

Soit P un lieu d'observation, Po sa projection sur le géoïde, h l'altitude, Go l'attraction et g^ la pesanteur au point Po, G l'action du continent sur le point P, G -|- C l'attraction et^ la pesanteur au point P. On néglige la différence des valeurs de la force centrifuge en P et en P©. Dans ces conditions on a

^ — ^0=0 -H G -Go.

On calcule G — Go comme si la Terre, de rayon moyen R, était formée de couches sphériques concentriques dont chacune soit

homogène. On a alors, en négligeant le carré de »

G / R y ih Go ~ VRh-A/ ~"' R" d'où

ou approximativement

G — Go = p" ^«

4l2 DEUXIÈME PARTIE. -* CHAPITRE XVIII.

etentiQ

g — go—^ ^g^'

On assimile le coDtinent à un cylindre homogène de hauteur A, de rayon a, de densité p. On trouve alors aisément pour Faction de ce cylindre sur le centre P de sa base supérieure

C = 2Tzfp(a -H A — /a«-f-;i«),

et comme Go = 5 ir/RD, D étant la densité moyenne de la Terre, 3 p hf h \

Le plus souvent, - est assez petit pour que le second terme soit

négligeable et l'on a, en remplaçant, dans la valeur de C, G© par ^0,

ce qui est la formule de Bouguer.

Il convient de remarquer que ce procédé est assez arbitraire; de plus il est fréquemment contredit par les faits. La comparaison des résultats des observations ainsi réduites indique que, sur les continents, Tintensité observée est plus faible que celle que donnerait la formule de Clairaut, et c'est le contraire sur les îles, comme s'il y avait un défaut de pesanteur sur les continents, un excès sur les îles, produisant des variations de 5 ou 6 oscillations par jour. Ces variations sont notables, puisque, sur l'ellipsoïde, le pendule ne fait que 22g oscillations de plus au pôle qu'à l'équaleur. M. Faye attribue les écarts systématiques offerts par les continents et par les îles à ce que le refroidissement du globe terrestre serait plus grand sous les mers que sous les continents.

M. Faye a proposé de supprimer sur les continents le terme

DR' ^^"^^^ s* ^^s continents étaient compensés par des cavités

souterraines ou par des diminutions de la densité, et de le remplacer dans les localités accidentées par un terme C| provenant seulement des saillies s'élevant au-dessus du niveau général des continents. Ce procédé semble avoir amélioré les résultats des

CALCULS GéODBSIQUBS. 4lS

discussions des observations du pendule, sans faire disparaître toutes les anomalies.

S51 . Calcul des triangles géodésiques. — Le point de départ de toute triangulation est la mesure d'une base, c'est-à-dire d'un côté de Tun des triangles. Pratiquement, une base mesurée n'a guère plus d'un myriamètre de longueur. Nous avons dit comment on corrige cette longueur de l'inclinaison ; il est nécessaire aussi de la projeter sur le géoïde, ou, comme on dit, de la réduire au niveau de la mer. Si h est l'altitude de la base mesurée, B la longueur mesurée, B — 8B sa projection sur le géoïde, r le rayon correspondant, supposé connu, du géoïde, la relation

B — SB r B ~" r-^h donne

Pratiquement, h est une très petite fonction de r et les erreurs à craindre sur ces éléments n'ont pas sur 8B d'influence sensible.

D'autre part, avant de s'occuper de la résolution des triangles, il est nécessaire de les définir et de voir comment leur résolution est facilitée par la petitesse de l'excentricité du géoïde.

Soient AoBqCo les trois sommets d'un triangle géodésique à la surface physique de la Terre, A, B, C leurs projections sur le géoïde. Du point Ao on a mesuré à Taltazimut l'angle des plans passant par la verticale en Ao et respectivement par les points Bo et Cq. On peut admettre, sans erreur sensible, qu'un plan vertical en Aq est encore vertical en A; mais celui de ces plans qui passe par Bo ne passe pas généralement en B. En désignant par e l'excentricité du géoïde, par a le rayon de la Terre, par h l'altitude de Bo, par '^ la latitude, par a l'azimut du plan AqBo, la différence azimut AB — azimut ABo

est sensiblement égale à (*)

sinaacos^o.

(') Nous énoncerons, dans ce Chapitre, sans les démontrer, plusieurs résultats de la haute Géoàésie.

4l4 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE XVIII.

Si l'on désigne par a Taplatissement dont la valeur surpasse à peine ^, on a

— vaut donc à peu près j^; - est une très petite fraction toujours

bien moindre que ^-^. La correction ci-dessus ne vaut donc jamais i", sans cependant être toujours négligeable.

Ces réductions faites, les mesures sont ramenées à ce qu'elles eussent été si les stalions géodésiques avaient été placées directement sur le géoïde. Que sont, au juste, les côtés et les angles obtenus?

Soient A, B, C les trois sommets d'un triangle. Du sommet A on a déterminé Tangle des plans verticaux en A et passant l'un par B, l'autre par C. Du sommet B on a déterminé de même l'angle des plans verticaux en B et passant par A et par C. Or il importe de remarquer que le plan vertical en A, passant par B, ne se confond pas avec le plan vertical en B passant par A. Ces deux sections verticales ne se confondent que si les deux stations sont sur un même méridien, ou sur une même parallèle.

D'autre part, qu'est la longueur AB? Adoptera-l-on l'une ou l'autre des sections verticales? En vérité, la différence des longueurs de ces sections est très petite et toujours négligeable, étant de

l'ordre de <?M - ) j s étant de la longueur d'une de ces lignes; e*

vaut g^^ et si s vaut Boo"""', - est ^; e*(-j est moindre que j~j de millimètre.

Néanmoins il est préférable de regarder comme vrai côté du triangle, soit une courbe d'alignement, soit une ligne géodésique.

LdL courbe d^ alignement entre deux points A et B est le lieu des point du géoïde en chacun desquels il existe un plan vertical en ce point passant par les deux points A et B; c'est une telle ligne qui est mesurée directement comme base d'une triangulation. On voit sans peine que cette ligne est tangente en A à la section verticale en A, en B à la section verticale en B. Elle est fréquemment située entre ces deux sections verticales : cependant il n'en est pas toujours ainsi. En supposant la latitude de B plus grande que celle de A et ces deux points dans l'hémisphère nord, la section verticale en B est au nord de la section verticale en A, et il peut

CALCULS 6É0DÉSIQUES. il5

arriver que la courbe d'alignement, d'abord située entre elles à partir du point A, traverse la section verticale en B et demeure ensuite au nord jusqu'en B. Il peut même arriver, et c'est notamment le cas quand A et B ont même lati tude, que la courbe d'alignement soit entièrement au nord des deux sections verticales confondues. Nous montrerons (n** 2o4) que l'angle en A des deux sections verticales est

c' cos* uslniQ^ sin* - y

c étant la longueur de Tune d'elles, a l'azimut de la section verticale en A, u l'anomalie excentrique du point A dans la section méridienne.

Il n'est pas moins important de considérer la ligne géodésique de A en B. On sait que c'est une ligne telle que le plan osculateur en un quelconque de ses points soit normal à la surface. Elle a la propriété d'être, en général, sur la surface, le plus court chemin entre deux de ses points. Elle n'est pas rigoureusement tangente à la courbe d'alignement en ses extrémités A et B, mais elle fait avec elle de très petits angles qui constituent en A et en B les différences entre les azimuts astronomiques et les azimuts géodésiques; la valeur azimut géodésique — azimut astronomique est

égale à

e* ( - smaa cos*cp.

Le coefficient —e^( — ) pour 5 = 64*^" vaut sensiblement o",oi.

Cette correction est le plus souvent négligeable, et, si elle ne l'est pas, on peut la calculer et considérer la triangulation comme formée de triangles ayant pour sommets les stations A, B, C, . . . ; pour angles les angles mesurés (après application s'il y a lieu des corrections précédentes) et pour côtés les lignes géodésiques qui joignent les sommets A, B ; A, C ; B, C ; .... Une seule longueur a été mesurée, la base, qui n'a pas plus d'une dizaine de kilomètres; or la longueur s de la ligne géodésique, qui joint deux points A et B, est liée à celle p de la section plane verticale en A et passant parB par la relation

5 = p 1-+- —- e* I - I cos* o sin* 2 a -h . . . . L 36o \a/ • J

4l6 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE XVIII.

Même si i^ = j^ a, ce qui donne

p "~ Sooooooooo

s — ('ne dépasse pas 3"". Pour les distances qui se rencontrent dans la pratique, les différences entre les longueurs des sections verlicales, de la courbe d^alignement, de la ligne géodésique sont entièrement insensibles; on ne constate d'ailleurs au théodolite aucun écart entre les deux sections verticales et la courbe d'alignement. La théorie montre que Técarl entre les intersections des deux sections verticales et de la courbe d'alignement par un même méridien est approximativement représenté (* ) par

, 2 sin - sin —

ae^cos-^ — (sino — sin© ),

cos —

f et cp' étant les latitudes des extrémités, x, y les segments dans lesquels le méridien considéré coupe l'une des lignes AB. Si Ton fait X = S''"*, y^= S**", que l'on remplace sin© — sino' par a — tp' ou au plus 57^, on voit que l'écart n'atteint pas j^ de millimètre. D'autre part, on peut démontrer qu'un élément infiniment petit d'une surface quelconque est applicable sur une sphère ayant pour rayon l'inverse de la racine carrée de la courbure totale de la surface au milieu de l'élément, en appelant, d'après Gauss, courbure totale en un point la limite du rapport de la courbure totale d'un élément renfermant ce point à l'aire de cet élément. La courbure totale d'un élément est l'aire d'une portion d'une sphère, de rayon un, déterminée par des rayons tous parallèles aux normales à l'élément. Si Rj et R2 désignent les rayons de courbure principaux

en un point, la courbure totale en ce point est ^ p et l'élémehl

de surface est applicable sur une sphère de rayon y/RiR2« Dans cette transformation, sans déchirure ni duplicature, les lignes conservent leurs longueurs; les lignes géodésiques sont remplacées par des lignes géodésiques de la sphère, c'est-à-dire par des grands cercles, et les angles se conservent.

(«) Clarke, Geodesy, p. ii5.

CALCULS GÉODÉSIQUËS. ^ly

On peut donc calculer chaque triangle d'une triangulation comme si c'était un triangle sphérique ayant les mêmes éléments sur une sphère de rayon y/RjRa, R|R2 étant les rayons de courhure principaux en un point situé au milieu du triangle considéré. D'autre part, ce triangle sphérique pourra se calculer comme recliligne par application du théorème de Legendre; si les angles ont été mesurés on aura l'excès sphérique, et l'on n'aura pas besoin de connaître R| et R2; si les angles n'ont pas été mesurés, l'excès sphérique sera égal à

I nh sinC li U1R2 sin l"'

(t, 6 étant deux côtés et C l'angle compris.

252. Formules relatives à la position du point sur l'ellipse méridienne. — Soient a le rayon de l'équateur terrestre, e l'excentricité du méridien ; soient aussi u l'anomalie excentrique d'un point, o sa latitude, Xy z ses coordonnées par rapport aux deux axes principaux du méridien de ce point, 5 l'arc de méridien compté depuis l'équateur. La Géométrie donne immédiatement les relations suivantes

i\) tanga = v''i — e^tangcp,

et, en posant

Aç = \/i - - e* sin*o.

O) AçA,,= V^r-Ts

AaSincp = siniij coso = Açcosw,

(4) •d'où

On a aussi

9sînC© — ff \

dx = — a sîn 11 du =. — sin <p ds

dz = a^\ — e* cos u du = coscp ds^

COS* u cos* ©

4l8 DEUXIÈMK PAttTIE. — CII.IPITRK XVIII.

et, si il désigne le rayon de courbure du méridien terrestre au point considéré,

Au point considéré le méridien elle parallèle sont des lignes de courbure, puisque les normales à la surface en tous les points de chacune de ces lignes forment une surface développable. Les sections normales principales sont tangentes aux lignes de courbure; Tune d'elles est le méridien, l'autre est la section normale perpendiculaire. On sait que le centre de courbure de cette section normale tangente au parallèle est sur l'arête de rebroussement de la surface développable formée par les normales à ce parallèle; c'est le point où la normale au point donné rencontre l'axe de rotation de la Terre. La dislance de ce point au point donné s'appelle la grande normale. Son expression est

^3. Relations entre la longueur de la droite qui joint deux points, les anomalies excentriques, leur différence de lon^tade, leurs azimuts et leurs distances zénithales réciproques. — Soient FI le pôle de l'ellipsoïde terrestre, O le centre, EE, l'équateur, DPE, nP^Ei les méridiens de deux points P, P^, o) leur angle.

Prenant OE et Oïl pour axes desx et des 5, et pour axe des y la perpendiculaire Oj" au plan zOx; les coordonnées des deux points sont

( X =: acosUy y = Oj z = a\/i — e'sinu.

( Xi = a cos Wi cos (»>, j'i = acosMiSino), Zi = a^i — e*siniii.

Soient k la longueur de la droite PP|, a l'azimut de P| vu de P et compté du nord, 90° H- [jl sa distance zénithale.

Menons par le point P trois axes rectangulaires : P^ tangent ù nE, Pvi perpendiculaire dans le plan tangent, P^ normal. Les coordonnées Çi, r^,, Ç, du point P^ par rapport à ces axes sont

$, = — X'cosficosa, Ti = ^cosfisina, Ç| = — A^sin;x,

D'autre part, désignant par 9 la latitude du point P, on a visiblement

a^i — ar = 2^1 cos» -+- Ji sino,

Donc

A:(sin{jicoscp -\- cosficosasincp) = a(cosa — cosMiCOSw), (10) i ArcoSjUtsina =acosMisincù,

' X:(sin;x sino — cosfji cosacaso)=: ay^i — e-(sin w — sin w, ).

Ces équations donnent aisément A: sinix, k cos[Jicosa, A"cos[i.sina, d'où l'on tirera /»-. On trouve

(A) A:sin{jL= — (1 — cosacosMiCOSw — smi^sinui),

ArcosjJicosa = ~ [cosasin«/i — smacosMiCosco

-h e*cosM(sina — sint^i)],

(D) I -^ = cosMCOSMiCOsu>-H sine^sini^iH (sina — sinMi)'.

Si l'on construit sur une sphère de rayon a un triangle dont

deux côtés soient 90° — w, 90" — «i et w Tangle compris, que roii désigne par x le côté opposé et que Ton pose .

.Ml — n Ml -h M . X . ,

e sin cos = sm - sinu/,

les formules A et D se simplifient et l'on a, pour déterminer /r, [x, a,

{ D') A: = -lasin -cos4',

< A') sinjjL = Aysin-séc^l^,

((. ) sinacosfi = , cosMi sino).

De même, si ai et U| ont en P|, par rapport à P, la même signification que a et [Ji en P, par rapport à Pf, on a

{ \j) sinfii== Aç, sin -séci|/,

<(.i) siDZi cosfii = -r cosu sincu.

2oi. Théorème de Dalby. — En divisant membre à membre ré(|uation B par l'équation G^ et introduisant au lieu de u et U\ les latitudes cp et ©i, on trouve

cosQSÎncpi sinocoso> f»'coso /Ag, . . \

cota= -r * '. 1 — ; '■ — ^— smo — sinai ).

sin cocos (pi sino) smu) cosoi \ Ao ^ ^ J

Si Ton désigne par ^ la valeur que prend a si, (o, '^, '^, restant invariables, e s'annule, on a

<n) cota = coip -h/ie*,

où

<i2) h=- ■ ( -— smo — sin«P| )

-et, de même,

<!)) cotai = cotPi-h Aie»,

ro«o, / Aç . , \

*' sinwcosç \Aç ^ V

CALCULS GÉODESIQUES. î^k

La formule (i i) donne sin(j3 — a), d'où, en négligeant r",

p = a -t- hé^ sin* a -h A* e* sin^ a cos x, et, de même,

(i5) ^^T=ai-¥- Aie'sîn'ai-+- /ife^sin'ai cosai.

On peut développer les seconds membres suivant les puissances de e^, dont A et a dépendent. En introduisant la considération du triangle qui, sur une sphère, a pour angle to et pour côlés adjacents 90® — cp, go** — (pi, et désignant par x' le côté de ce triangle opposé à l'angle to, on trouve, pour le coefficient du terme en e*, dans l'expression de p,

cos:p coscpi sinco(sino — sinoi ) sin^x'

Le coefficient de e'^, dans l'expression de ^i, n'en diffère que par le signe. Donc, dans la somme ^ 4- j3|, le terme en e^ disparaît. On trouve, par un calcul facile, que la somme des coefficients^ des termes en e' est

cos — cos* — cos —

OU, en utilisant les formules de Delambre et désignant par Ael A, les angles du triangle sphérique qui correspondent à a cl a,

A 4 A A A A tang» —

, r^ ry A — A, .A — Al., ..A + At ^5t

(iG) G= — cosçcosoicos sin* sin(9 + oi)sin

cos* —

L'angle o> est toujours petit, A| voisin de iSo'* — A, x' de-> et le coefficient (16) de

— jsinçcos'tp sin AiCos*Ai f — J >

dont le maximum est

I fkY

Le terme Ce*, même pour k = 1000^°™, n'atteint pas o",oo! .

422 DliUXlÈMK PARTI K. — CHAPITRE XVI H.

Oïl a donc, daos tous les cas, sans erreur sensible,

(17) p-hPi = a-i-2i.

La somme des angles du triangle ellipsoïdal II PP| est donc égale à la somme des angles du triangle sphérique correspondant dont les points ont mêmes longitudes et mêmes latitudes. Il s'ensuit immédiatement que :

Si l'on considère sur r ellipsoïde un triangle ABC dont cha<]ue angle soit déterminé par les plans verticaux au sommet correspondant et passant par les deux autres, et dont les côtés soient des courbes d'alignement, la somme des angles de ce triangle est la même que la somme des angles correspondants d'un triangle sphérique dont les sommets auraient mêmes différences de longitudes et mêmes latitudes,

âo5 . Formules préliminaires pour la détermination des longitudes et latitudes des sommets d'une triangulation. — Soit {fi g- 4;) -^ un arc PF de la section verticale en P; joignons le point P' au point N, et calculons l'angle PNP' que nous désignerons par 6. Soit r' la dislance NP' et 90*^— '^ Tangle P'NII : Tangle 4' est évidemment voisin de la latitude du point P'. En écrivant que le point P' est sur une section méridienne de centre O, d'axes a et a\ I — 6'-, que NP' fait avec Nil Tangle 90° — 'V, se souvenant (|iie NO est égal à e^psinjp et a^ à p2(i — e^gina^^ qq obtient entre /*', la longueur p =: PN de la grande normale et l'angle i!/', la relation

(18) -. -i — ( -siiKl'— sino ) = I.

Ou peut remplacer i^' au moyen de 0 par la relation évidente

sîn 4^' = sin <p cos 0 -f- cos cp sin 6 cos a.

En posant, pour abréger,

-— . — r sin (5 — /, - ^__;COStp cosa = À,

on obtient

-^ H- -(/cosO-h/isinô)— / =1,

d'où Ton lire pour — > qui devient égal à i pour 0 = o, un développement suivant les puissances ascendantes entières de 8

où

D'autre part, /•'etO sontles coordonnées polaires du point P' dans le plan PNP,, et l'on a

dii ~ y '^ d^-^j "'^ ^ 'ir' we y 8/-'' \d^ } '^"''

d'où l'expression de s en fonction de 0, où l'on supposera, pour déterminer la constante d'intégration, s nul en même temps que 9, et, par le retour des suites,

iïï-

Quand on suppose que l'azimut a soit égal à 90°, h s'annule et l'on trouve

s . e' . , es

Si l'on supposait que 0 vaille 10®, le second terme vaudrait à peu près i*^"*. On a donc, pratiquement, dans cejcas

Cl 9) s = pe.

Il convient de remarquer encore que, si l'on suppose que le point P' vienne en P|, ^ deviendra à peu près égal à ©i, et l'équation (18) donnera approximativement

NPi I e*

sina; sinPPiNi sinPPiNi NPj NP, cos[JLt sina7 ~ sinPPjN ~ sinPiPN MP "" NF cosfi '

Par les équations (A') el (A',) on a

el, comme

cette formule devient

cos