COI

)S|x e' . . /sin'o sîn'oiN

^1^1 -^ '^V A| Aj /

— I -7- -^ sin*[jLsin(o — Oi)sin(ç -h Oi)-4-. . ..

Le coefficienl de e- est du troisième ordre, tandis que celui de e-. dans le rapport NP| : NP, est du second ordre. On a donc

sina'. I c* , . . ,,

'-. — - =1 (sinoi — sino)*;

sinai '2 1 — e^^ '

d'où, par la formule de Taylor

ai — ai — — 7-('f — O|)*cos*-^ ^'— tangai ;

en remarquant que pour le calcul du coefficient de e^ on peut regarder le triangle IIPPi comme sphérique, que par suite les formules de Delambre donnent approximativement

Ol — o

COS

que

sino) cos(p = sinxsinai,

que ai est sensiblement le supplément de a et que o) est pelil, Télimination de ç — cp, donne finalement

(20) a\ — 0Li = — c*cos'(p sin2atsin* -"*

ce qui est la formule donnée à la page 4i5.

CALCULS GÉODÉSIQl'RS. 4^^

236. Calcul des longitudes et latitudes. — I. Cas où V azimut a est égal à QO^. — Prenons, sur le méridien du point P, un point P',

rig.48.

ayant la même latitude '4)| que le point P| et soit vi Tangle PNP', . Dans le trièdre N . PP, Il rectangle suivant Tarête NP, on a

r, = P,Nn-PNn=:-=-^^^^^cotPNn (!)

et comme, d'après la formule (19), PAP| est égala -> on a

Si, d'autre part, p,„ est le rayon de courbure du méridien au point P, on a

PP; pT) T 5^

o — 5>j = -' — ' - = tangcp,

P//* P/« 2 pp,„ ^

(') Dans un triangle sphérique rectangle, dont 6 et c sont les côtés de l'angle droit et a l'hypoténuse, le côté c el l'angle C étant supposés très petits, les relations

ta ne c cosa = cosôcosc, tangC — — — .-t sin(9o«'— B) — sinC cosô

donnent respectivement les formules approchées

90»— B= Cco5|6-t- ^(ûf — 6) .

426 DEUXIÈlll': l>ARTIK. — CIIAIMTRK XVIII

puis désignant par Vt Tangle IIP, P (,/î^. 48)

90°— Pi = tosin/ç>— i Tj:

90** — P, s'appelle la com^ergence des méridiens.

H. Cas général. — Soît AP, une section plane passant par le point P,, normale au point A à Tellipsoïde et perpendiculaire au

l^^ig. 49.

méridien du point P. Considérons, sur une sphère, un triangle jiopopo ayant l'angle H" égal à II, les côtés n»P«, n^PJ égaux aux colatitudes de P et P, , et soit A® un point de II* P® ayant même latitude que A. Le triangle PAP, a mêmes côtés et mêmes angles que le triangle sphérique P^A^PJ; si e en est l'excès sphérique, on a par le théorème de Legendre, avec une précision suffisante, en désignant par a l'angle P

AP — ccosf a — ô*)' A!*i = 5 sin ( a — - e ).

Soit 'fa la latitude de A, p^ le rayon de courbure moyen du méridien entre A et P; on a, par les formules de l'alinéa précédent,

I AP.APt s^ t= -. — = r-sinacosa,