X AP
?| — ?=(?a— ?) — (fa— ©1)^ -; (?a— ?l)
= ;^cos a— -e) — r^,
AT, ^'''"('-Ij
CALCULS GÉODÉSIQUKS. i'27
formules qui font connaître la latitude de P, et la différence de longitude de P et P| . Il suffit, pour calculer vj, de prendre
(^i=z ^ -\ — j~ cosa.
On peut calculer la convergence v des méridiens ainsi : l'angle PP^ A est égal à 90"* -|- e — a; Tazimut du point A vu de P, est
go*"— ojsin( pfl— ^ i; Tazimut a, de P vu de P^ en est la somme;
posant comme définition de v
V = 180"— a — ai, il vient :
V = w sin ( Oa — .^ ) — £ = w sin ( 0| -f- - r^ ) — £.
256. Longueur d'un arc dé méridien. Dimensions du méridien terrestre. — La formule (7) du n" 2o2 donne
ds - '
-;- = a(i — e*j(i — e^sin^cp) »,
ou
d'où, pour la longueur 5 de Parc de méridien compris entre deux points de latitudes o' et cp", une expression de la forme
( s = a[Ao(cp'— ç')-^ ABsin(ç''— ©')cos(cp"-hç') ( -f- A^sinaCtp' — ç')cos2(©''-»- ç')-+-. . .].
Les coefficients sont, par rapport à e, d'un ordre de petitesse marqué par leurs indices ; Ao est voisin de i . Rappelons que e* est à peu près -—^ e® ^ôf^vj;;, de sorte que les termes en e^ ne valent que quelques mètres, et on peut les négliger sans inconvénient. Il serait, au reste, aisé d'en tenir compte.
On voit qu'il suffit, pour déterminer a et e, de connaître deux arcs de méridien s^ et 52, d'amplitudes mi et m^, à des latitudes moyennes fi et (^2 ; I^s équations
— = Aomi-h Ajsin/ni COS291 -h A» sin2/ni cos4çi,
— = Ao/?ii-i- Aîsiomicosiçj -h A^sin2/?i2COs49î a ' *
\lS DEUXIÈME FARTIK. — CIIAIMTRK XVIM-
ilonnenl en première approximalion, en négligeante^ et remplaranl sinmi et sin/722 par ^^i et //?,,
4 ffii m^
/;ii * ifii ^
Ayant des valeurs approchées ^o^o de a et e, on applique à la détermination finale de ces éléments, d'après l'ensemble des arcs mesurés, les principes de la théorie des erreurs. A cet effet, on transforme l'équation (21), de la manière suivante. On pose a =zao-hoaoy e^=el-^oel et, désignant par 'i>^, rf^ les valeurs obtenues pour les latitudes des extrémités de l'un quelconque (les arcs mesurés, on fait '^'= "^'^ -h x\ f"^^ 'f 0 + ^^ ?' ^^ ^" ^^" signant les angles que font, avec l'équateur de l'ellipsoïde cherché, les normales à cette surface aux points où elle est percée par les verticales des extrémités de l'arc de méridien. L'équation (211 devient
C 22 ) cp „ -h x"" — ©i — a?' = Lo 4- Mu oao -h -\o 5e J ,
Lu, Mo, No étant actuellement connus, ainsi que les latitudes^,", et '^'p qui résultent des observations. On rend minimum la somme des carrés des écarts
relatifs à tous les arcs mesurés. On obtient , en y comprenant les équations (22), autant d'équations que d'inconnues. Si l'un des arcs a, par son étendue, plus d'importance que les autres, on considère un certain nombre de points intermédiaires et on introduit outre l'arc entier, chacun des arcs qui joignent une même extrémité à tous les points intermédiaires.
C'est ainsi que le géodésien anglais Glarke a déduit 14 équations de l'arc anglo-français, 12 de l'arc russe, i3 de l'arc indien. 4 de celui du Cap, i de l'arc du Pérou ; il a obtenu pour mesure de
Taplatissement = — .. >> les écarts x\ x" . . . . étant compris
CALCULS GëODÉSIQUES. 4'2tj
entre — 4'',o et h- 4'? 5: Bessel avait trouvé pour raplatissemeiU ^.jj ^g. Nous nous bornerons à signaler que la valeur trouvée par Clarke paraît plus forte que ne le permet la théorie physique de la figure de la Terre. La discussion des observations du pendule a donné à M. Helmert pour valeur de Taplatissement âôihi^-
Le Tableau ci dessous donne les résultats obtenus par Bessel en i84i, par Clarke en 1880, ces derniers adoptés par le Service géographique de TArmée :
Bcssei. Clarke.
Quart du méridien ]oooo856 1 0001 869
Aplatissement = rx — ^ ,,. .
Excentricité = 0,0816968 o, 0824831
Le lecteur trouvera de plus amples renseignements aux Chap. XX et XXI du l. Il du Traité de Mécanique céleste de M. Tisserand. L'exposé systématique des méthodes de la haute Géodésie se trouve dans FOuvrage de Clarke, Geodesy (1880), auquel nous avons emprunté plusieurs démonstrations données dans ce Chapitre, et dans Helmert, Die mathematisclien iind pliysikalischen Tlieorieen der hoheren Geodàsie (1880-1884^.
257. Compensation des triangles. — Le problème suivant est de haute importance pour la résolution des triangles géodcsiques :
Des valeurs mesurées A', B', C des angles A, B, C d'un triangle déduire les valeurs les plus probables de ces angles.
La somme de ces trois angles doit êlre égale à 180" -h £, £ désignant l'excès sphérique qui peut d'ailleurs être calculé si l'on a la longueur d'un côté. La relation
donne
A-+- B-f-G = lSo*-r-£
^3o DEUMI^MË PARTIE. — CHAPITRE XVlll.
et les équations approchées qui correspondent aux mesures sont
A-hB =i8o"-he — C.
On résoudra ces équations par la méthode des moindres carrés; les équations normales sont
Elles donnent
A — A' = B — rV = C — G' = — ^ ( A'-+- B'-H C'~ 180" - £).
Il faut donc, pour avoir les valeurs les plus probables des angles A, B, C, retrancher de A', B', C le tiers de Texcès de la somme des mesures sur 180" -h s.
Si Ton a un réseau de triangles, on applique les mêmes principes. Le plus souvent, les valeurs des angles doivent satisfaire rigoureusement à un certain nombre de relations. Tout triangle dont on a mesuré les trois angles donne une relation (R|) A-f- B -h C ::^ 180" H- e. Si, en un sommet, on a fait un tour d'horizon, la somme des angles, en ce sommet, doit être égale à 36o°, ce qui donne une relation (Ri)- On a aussi des relations d'une forme différente si Ton a mesuré une base de vérification. La longueur de cette base, calculée par l'ensemble de la triangulation, doit être égale à la longueur mesurée regardée comme exacte, les erreurs des bases ayant beaucoup moins d'importance relative que celles des angles. La relation (R3) obtenue ne sera pas linéaire par rapport aux angles inconnus; mais, si Ton pose
les erreurs x^y, :;,... seront assez petites pour qu'on en puisse négliger les puissances supérieures à la première et l'équation (R3) sera linéaire par rapport k x, y, z^ ... ; il en sera encore de même des relations (R, ), (R^). Au moyen de ces équations, on éliminera des équations
CALCULS GÉ0DÉSIQUE8. 4^1
OU
ap = o, 7 = 0, . .,
un nombre d^nconnnes égal au nombre total des équations (Rf), (K2)î (Rs)) après quoi on résoudra les équations restantes par la méthode des moindres carrés.
258. Nivellement géodésique. — Le nivellement est la détermination des altitudes des divers points du sol au-dessus du géoïde. Cette détermination a été longtemps effectuée par opéralions à grandes distances, ayant pour objet l'altitude des stations géodésiques, et pour moyen immédiat la mesure des distances zénithales de chaque station vue des stations voisines.
Les résultats des mesures sont affectés d'une erreur provenant de la réfraction terrestre, c'est-à-dire de la réfraction par l'atmosphère entre les deux stations. Si la différence d'altitude de deux points est connue, l'observation de la distance zénithale de l'un ou de l'autre permet de déterminer la quantité de cette réfraction. Les mesures faites prouvent qu'elle est sensiblement proportionnelle à l'angle v des verticales des deux points et de . la forme ms^y le coefficient m étant sensiblement égal à 0,08. Ce coefficient est d'ailleurs variable et la variation atteint fréquemment un huitième du coefficient lui-même ou un centième de l'angle ç', ce qui, pour des points éloignés, est loin d'être négligeable.
Le calcul des altitudes, d'après le nivellement géodésique, se fait avec une précision suffisante en regardant la surface de la Terre comme une sphère dont le rayon r soit l'inverse de la racine carrée de la courbure dans la région considérée. Si l'on désigne par k et A' les altitudes de deux stations A et A', ;; la distance zénithale vraie de la seconde vue de la première, par 5' celle de la première vue de la seconde, par v l'angle des verticales en A et en A', le triangle CAxV donne les relations
(u3) z' -\-z—\%if-k-s;,
( 2.4 ) lang = .- — -r cot - .
Si l'on connaît A, h' et t' ou, ce qui revient au même, 5, la dislance BB' des deux stations projetées sur le géoïde, ces équations
432 DEL'XIKMR PARTIE. — CHAPITRE Wlll.
déterminent z et z\ et la comparaison de ces valeurs avec les disfances zénithales mesurées fait connaître la réfraction terrestre. C'est par de telles mesures que l'on a vérifié qu'elle est proportionnelle à s>^ et qu'on en a déterminé le coefficient.
Si l'on connaît la dislance s^ et par suite r, et que l'on ait mesuré les distances zénithales, la seconde équation donnera, en
remplaçant tang ^ par ^ -j- ^,
