CHAPITRE IV

Étude du mouvement du Soleil dans son orbite.

Il est aisé, désormais, de transformer les coordonnéesifV du Soleil^ observées au méridien, en coordonnées écliptiquesL, et de comparer les longitudes ainsi déterminées avec la théorie des anciens. On reconnaît alors que leur formule, L = L© H-/i/ -+- 1 ° 36°sin (Lo -f- nt — m), de la p. 24, basée sur Thypothèse de Texcentrique, s'accorde assez bien avec Inobservation; mais il n'en est plus de même de la seconde

— ^=1 — r-cos(Lo-f-ii^ -ro) ou - -^ I — Tr-C0S//l.

Les passages du Soleil au méridien nous font connaître chaque jour le diamètre apparent de cet astre et nous apprennent qu'il varie, dans le cours de chaque année, entre les extrêmes

3i' 28" fin juin et 82' Sa" fin décembre.

La distance du Soleil à la Terre ou le rayon vecteur variant, à très peu près, en raison inverse de ces diamètres apparents, les rayons vecteurs restent compris entre les extrêmes

I ^! Pf I -4 . JL

Cette variation de ^ n'est que la moitié de celle qu'exigerait la théorie des anciens; celle-ci est donc fausse.

On concilierait tout, à ce qu'il semble, en écrivant

h— -ho -{- nt -\- 2e s'in m,

- —\ — ecos//?

et en faisant e = ^; mais alors la courbe décrite par le Soleil ne serait plus un cercle : ce serait une sorte d'ovale, dans lequel la Terre occuperait une position excentrique (').

Kepler, après une étude approfondie de ces discordances entre la théorie ancienne et les meilleures observations de son temps, celles du célèbre astronome danois Tvcho-Brahé, pensa que cette courbe pourrait bien être une ellipse dont la Terre occuperaîl un foyer. On aurait alors

a I -i- erosf

a étant le demi-grand axe (moyenne distance du Soleil à la Terre), e Texcentricité, ç la longitude comptée à partir du périgée.

Les rayons extrêmes seraient encore i — e ei i -\- e, et, d'après ce qui précède, e serait de '^^, L'angle v devant être nul lorsque le rayon vecteur est i — e, cet angle serait L — tît, m désignant ici, comme dans la théorie des anciens, la longitude du point de Forbite le plus voisin de la Terre, c'est-à-dire du périgée.

Par cette seule supposition d'une orbite elliptique, Kepler rompait hardiment avec les idées des Grecs, des Arabes, des Copcrniciens même, car tous étaient convaincus qu'un astre ne saurait se mouvoir autrement que sur un cercle et d'un mouvement uniforme.

Mais cela ne suffisait pas; pour être en étal de vérifier cette conjecluie, c'est-à-dire de suivre le Soleil sur celte ellipse et d'v calculer son mouvement, il fallait encore une relation entre le temps et l'une des coordonnées v ou /*. Cette relation, les anciens la trouvaient dans l'hypothèse de l'uniformité; celle-ci donnait immédiatement la longitude moxenne parLo-h/'^; ils n'avaient plus qu'à déduire L de celte longitude moyenne par la formuhî de l'excentrique. Kepler chercha donc dans le mouvement elliptique quelque chose (runifornie, un élément qui variât proportionnellement au temps. Ce n'était certes pas l'angle i*, car

aux deux époques où — ^ i - /' et . ^ i t- e, c'est-à-dire au pé-

(•) Ot cxix)S«; de la découvcrlo <h* la première loi de Kepler n'est que provisoire. Nouh le rcrliricrons dans le livre II.

rigée et à Tapogée, Tobservalion donne :

Anfl« ptrconra en un Jour.

Fin décembre 6i'> i4

Fin juin ^7', i8

Ce n^étaît pas non plus la vitesse linéaire, car, en la calculant

comme dans des cercles de rayons i — jô ^*^ ' + b^» ^" devrait avoir

57,18 "" I — êV ^9'

ce qui est faux, car le premier rapport est i ,069; lesecondest i.o34. Mais le simple aspect de ces deux nombres montre que le premier est sensiblement le carré du second, car 0,069 est à peu près le double de o,o34* S'il en était ainsi partout, r^à^* ou le double de l'aire parcourue dans un très petit intervalle de temps (c'est ici un jour) serait constant; autrement dit, les aires décrites danslVllipse croitraientproportionnellement au temps. Voyons donc si cette constance se vérifie ailleurs qu'aux deux bouts du grand axe. Nous prendi'ons pour cela les longitudes observées de jour en jour, et nous formerons le Tableau de leurs variations pour un jour, d'un bout à Taulrc de Tannée; puis nous mettrons en regard les rayons vecteurs

calculés par - --= > en faisant c -^ r^ cl i^ ^^h — w.

^ a I -r-6'COSt^ ""

AnKie parruiiru Date*. en un jour. Ra}un v(>cl«ur. Aire décrite.

Janvier i i . i . 1 1 0,9833 0,00860

Mars 27. o.5g.27 0,9972 0,00860

Juin 20 0.57.14 1,0164 0,00860

Septembre 18 0.59. o 1,0012 0,00860

Octobre 18 0.59. jo 0,9916 0,00860

Novembre 18 i. o.|9 0,9862 0,00860

Ce calcul n'est pas tout à fait rigoureux, car nous avons traité des aires elliptiques finies comme des secteurs circulaires; mais il nnontre que dans le mouvement elliptique du Soleil on doit avoir

^C étant une constante qui exprime la surface décrite par le rayon

vecteur dans l'unité de temps. Sa valeur est évidemment

aire totale de l'ellipse T.à^\/i — e*

ou, en introduisant Tantique notation -=- = ^h

{r^(fv - irt*y 1 - e^neit.

Telle est l'équation que Kepler a eue à intégrer à une époque où le Calcul intégral n'existait pas.

Voici comment on le ferait aujourd'hui. De l'équation de IVUîpsc on tire

, rrd — e^) rir av - — . — - y

et comme

Miii-T^i, r' — I — - — -Il - — -\o^e^ — {a /• r,

Téquation différcnlielle se réduit à

a^ndt.

\ a^c- — {a — /•)* i*our faire disparaître le radical ^ posons

d'où

/• f/r ( (t (te co< // ) ac >i n // du.

L'équation devient alors

(i ecosu)du ndty ne sin// /i/.

dont l'intégrale e>t

la constante étant nulle si Ton compte le temps t à partir de Tépoquc où le Soleil avait a — ac pour rayon vecteur (passage au périgée].

Kepler a obtenu cette intégrale géométriquement à Taidc des propriétés drs coniques découvertes et démontrées par les géomèlr<»s grecs.

Problème de Kepler.

A la date t, comptée du passage au périgée, troui^er les coordonnées du Soleil.

On calcule d'abonl Faire ^a'^^ i ~ - e'^nt décrite par le rayon vecteur pendant le temps /, et le problème se trouve ramené à celui-ci :

Étant donnée, dans U ellipse ci-jointe, Caire du secteur PTS, en déduire C angle en T et le rayon TS.

Fig. i3.

Considérons Tellipse comme la projection d'un cercle décrit sur le grand axe PA comme diamètre et ayant pour inclinaison sur le

plan de la figure un angle ç dont le cosinus = r- y/ 1 — e- ; puis

rabattons ce cercle sur le plan de la figure. En menant SS' perpendiculaire àPA, S' est le point du cercle dont la projection est S, cl le secteur elliptique PTS, projection du secteur circulaire PÏS',

sera égal à PTS' y/i — e*-*. Or, en menant le rayon CS' et en nommant u TanglePCS', on a

PTS' ^'^ PCS' - TCS' -:z, 1 a^ u --^{a^eûnu.

Donc le secteur elliptique PTS^=(^rt*/^ — \;a'^ e s\n u) \/ \ — e'^, Egalant cette expression à la valeur déjà calculée de Taire, il vient

(\à^u — |a'esinw)y/i — e^ — }«'v ' — ^*^^»

c'est-à-dire

u — e sin u r^ nt.

On en tire u, puis de u on déduit - par

-- ^= I — ecosi/,

et enfin de - on déduit v par Téquation de l'ellipse.

Ce dernier calcul se fera plus sûrement de la manière suivante. Puisque

on déduit de là

a i -\-e ces ('

e -+- cos (

=: I — ecosM,

cos u ^=z