L -= r H- Ts

L'angle v porte le nom iïanonuiNe vraie. L'angle u est Vanomalù* excentrique..

L'angle ni ^= ni est Wtnonialie moyenne ( ' ). Mais celle dernière n'est pas représentée sur la figure par un angle. Son produit par

7i<i'^\ V — e'^ donne la surface du secteur a>ant r pour angle. Il faut, à ce point de vue, exprimer n en parties du rayon, et, dans son

expression -7=-? remplacer o.t. par 6,a8... et non par 3^)0** ou

I Q^fiooo".

(^i<'sdeux premières lois de Kepler sont générales; elles doivent rire énoncées ainsi :

i" Toute planète décrit autour du Soleil une ellipse dont ic centre du Soleil occupe un foyer,

2" Dans cette ellipse les aires décrites par le rayon vecteur croissent proportionnellement aux temps.

(') Si le lem|>» t est romploà partir de IVpoquc du passdge du Soleil au périgée; autrenient il faudrait rrrirc m - I.# - nt - a.

Elles ont été découvertes expérimentalement au commencement du xvii*^ siècle; leur démonstration résulte de leur accord constant avec les observations dans toute l'étendue du système solaire. Pour le Soleil en particulier, elles représentent non seulement les longitudes observées, mais aussi les rayons vecteurs tels qu'ils résultent des diamètres apparents. Il ne s'agit plus de pures hypothèses comme l'excentrique des anciens : ce sont des lois de la nature. Mais, pour Kepler, leur sens était purement géométrique; leur interprétation mécanique, dont nous nous occuperons plus loin, n'a été connue que bien des années après ce grand astronome.

Voici un exemple numérique : On demande les coordonnées héliocentriques ^ et r de la comète de ^^ ans^ 9.00 jours après son passage au périhélie.

Le demi-grand axe est 3,854, l'excentricité 0,549, '^ longitude du périhélie 5o°49'? I21 durée de la révolution 7, 566 années.

Résolution de V équation w — esina — m.

«T hmî

*>Çn 2,67114

Voçîoo 2,60206

^Sw 5,27320

loK«-^ 9'7%57

log 206265".. 5,.3i^'|3

logsini/.. .

loge en sec. 5,o5|Oo

loge

5,o5^oo 5,05075

5,o5iio

ou environ 3i»

Nombre. . .

es\nu

Valeur approchée

2" val. de a.

de a... 52»-i-3i'»r 83*

val.déûnit.

Calcul de r.

logcosc/ 9,o6i55

log^ 9 > 739^7

Nombre o, 06326

Calcul de vit de i^.

log(i ' e)

log(i — e)

iog£

loga 0,58591

logr 0,55753

loglanglii. .. 9,94974

logtang^i' 0,21768

5o LIVRE PREMIER. — CHAPITRE IV.

Le calcul de u exige un tâtonnement. Le facteur e en secondes étant de près de 3 1°, et l'angle m — e sîn w devant être peu éloigné de 90", on prendra pour première valeur approchée 5a** -h 3 1** = 83". Avec cette valeur on calcule e sin u ; la deuxième approximation est

m -\-eûi\Uy ou 52<»8'-i- 3i"i3' — 83"ai'.

Avec cette deuxième valeur bien plus approchée on recommence le calcul et Ton obtient 83® 23'. Inutile d'aller plus loin, on retomberait sur le même résultat.

Il est aisé de se rendre compte de la rapide convergence de ces approximations. En différentiant l'équation, on voit que

, dm au r— ,

I — e ros//

ou à peu près du -- - dm si e cos;/ est très petit, comme c'est ici Ir cas. Faire, dans le premier essai, //r-83", c'est attribuera m la \^'' leur 83° — Si'^iS'r-. 5i°47', au lieu de 52"8'. L'erreur dm éunl de ai', il faut faire du^r^ ii' et essayer 83** -^21'.

Développement en série de la longitude et du rayon vecteur.

(^uand rexceniricité est petilo, comme elle Test réellement ilann tontes les orbites planétaires, il est utile d'intégrer Téquation différentielle relative aux aires en série procédant suivant les puissances croissante's de e, Heniplaçons /• par sa valeur dans celle équation, eu écrivant L - - rj pour e et dL, pour ds^ :

(1) r/l. -.(1 — c') *[i Uf'cos(!.- BT) ^-t'»eos*(!. - nr)]/!^//.

Si l'on néglige Cy elle se réduit a d\j - - ndty dont l'intégrale est

L - Lo"i- ^^^ Lo désignant une constante arbitraire. C'est la formule des premiers astronomes.

Pour la seconde approximation, portons cette valeur de L dans (i), en tenant compte celte fois du terme en e :

r/L -[i -i- 2ecos(Lo — ni — w)] ndi,

LES DEUX PREMIÈRES LOIS DE KEPLER. 5l

dont rintégrale est

L =:: Lq-H «/ 4- ae sin(Lo-i- nt — m).

C'est la formule des astronomes grecs, sauf le facteur a. Portons

enfin cette deuxième valeur dans (i), développons (i — e^)' '^ et effectuons les opérations en négligeant les ternies qui contiendraient des puissances de ^supérieures à la deuxième. L*équation(i) deviendra y en écrivant, pour abréger, -(^o -f- ^^^ — xs = m,

f/L r= [i -f- |e*-i- 2ecos(/w -\- 2esinm) -\- e* ces* (m -f- 2esïnm)]dm.

On peut y remplacer cos(2esinm) par i et sin(ae sinm) par ^esinm sans sortir des limites d'approximation ci-dessus ('). En outre, sin^m et cos^m devront être remplacés par ^ — ^ cos a//{ et ^ -7- ^cosam. On a ainsi

dL-—{i-\-2e cos m -h | e' ces 2 m ) dm ,

dont l'intégrale est

L =: Lo -i- /i/ 4- 2esinm h- f e* sin2//i.

Les calculs deviennent de plus en plus compliqués lorsqu'on tient compte de e', puis de e*', .... On aurait ainsi

Lin Lo-f- w^ 4- Aisinm -i- As$iii2/72 - - AasinSm -h . . . ,

Voici les valeurs de ces coefficients :

*•- 3o Va/ ■■■*

(») Car 3 e COS (aesin m), par exemple, est égal à 2c (i— }: 4«' sio' m -4- . . .); le second terme du développement aurait donc pour facteur e*.

5!2 LIVftE PftEVIEft. — CHAPITBE 1T.

Sous cette forme, la longitude L du Soleil se compose de deux parties, comme chez les anciens :

La Ion *!iiufle moyenne 1^ — /i/ croissant proportionnellement au temps:

VS équation du centre A|sinm . . ., comprenant les termes périodiques.

En second li«'u, pour le dê>eloppement de - =i — <*cos//, u

étant donné |>ar u = m — e sinf/, nous appliquerons une méthode due à Lagrange.

Soit, en général, à développer une fonction F(#/ ., a étant donné en fonction de la variable indépendante m |>ar #/ =: m -r- cfi^u) ; on aura

F 1 1/ ï ^^ F ^^ //i ^ — eV \ m \/\ m »

f/\ Fi ni • f^ ni I I <** //*| F* \ni^f\ m \\

(Ini \ ,'À.S iini'

Ici c'est co<#/ qu'il s'agit de dévelop|H^r: posons donc

F . m • -— cos m, V yni \^r — sin //i. f\ m \ -= sin m,

VdT conséquent.

. , . «* ^/>in'//i e' r/^ sin* /Il

co-^u — - t***<in — c *iii-/M — , i — -z — - —