LES PLANÈTES

• mm>

Ce Livre comprend Tétude géométrique des planètes et des satellites. Il s'arrête à la découverte de la troisième loi de Kepler, qui a si heureusement complété la théorie du mouvement elliptique. On s'est efforcé d'y donner une idée nette du système des anciens, delà révolution que Copernic a opérée dans la Science par l'adoption des belles idées pythagoriciennes, et surtout de la part qui revient à Kepler dans les conceptions modernes. Ce Livre est donc, comme le précédent, consacré à la Géométrie céleste de Ptolémée, de Copernic et de Kepler; le Livre suivant le sera à la Mécanique céleste de Newton.

CHAPITUE VI.

Nous avons vu, dans l'introduction au Tome I, que les planètes se meuvent, comme la Terre, autour du Soleil dans des orbites peu excentriques, presque circulaires, dont les plans n^onl qu'une inclinaison très faible sur Técliptique. En outre, les intervalles qui séparent ces orbites Tune de l'autre sont considérables. Ce sont là des circonstances qui se prêtent merveilleusement à l'emploi d'une méthode d'approximation successive, en négligeant d'abord les excentricités et les inclinaisons pour déterminer d'autres éléments plus caractérisés.

Si nous étions placés sur le Soleil autour duquel les planètes circulent, l'étude de leurs mouvements ne différerait en rien de celle de l'orbite apparente du Soleil, et l'on y emploie elFectixemenl les mêmes formules pour exprimer la longitude et le rayon vecteur en fonction du temps, dans le plan de l'orbite. Mais l'observateur étant placé sur la Terre, pour passer des coordonnées L, et p^ qu'il y observe aux coordonnées liéliocen triques L et ^3, ou réciprocpiement, il faut effectuer une transformation de coordonnées par cliangement d'origine, ou opérer une réduction au centre de la station, comme on dit en Géodésie, c'esl-à-dire résoudre uik triangle STV {Jiff. i6) dont le Soleil, la Terre et la |)lanèle considén'e forment les sommets, et dans lequel on ne connaît a priori qu deux éléments, à savoir le rayon vecteur ST = R de la Terre, donn par les Tables du Soleil pour l'instant de l'observation, et Tangle e T, compris entre le Soleil et la planète.

Cet angle, on peut toujours le déterminer, car, en désignant pa L, la longitude géocentri([ue vTP de la planète et par O la longi

tude yTS du Soleil, on a T = Q — L,* Alors la réduction P au centre de la station sera donnée par

sinP = sin(L^ — L)=: — sin(0 — L,),

L étant la longitude héliocentrique ySP de la planète. L'angle P porte le nom àe parallaxe annuelle.

Ces deux données R et T ne suffisent pas pour résoudre ce

Fî(j. 16.

triangle et obtenir les longitudes héliocentriques. Il y a donc là un cercle vicieux; on en est sorti par la remarque suivante.

Oppositions et conjonctions.

Les vitesses angulaires des planètes étant en raison inverse de leurs distances au Soleil, il arrivera de temps en temps, comme pour les aiguilles d'une montre, que les deux mobiles T et P, circulant autour de S, se trouveront en ligne droite avec ce dernier, c'està-dire en conjonction ou en opposition avec le Soleil. Dans l'un et l'autre cas, la réduction au centre de la station est o ou i8c®, et l'observateur terrestre obtient immédiatement la longitude héliocentrique de la planète, comme s'il était placé sur le Soleil.

Ily a lieu de distinguer ici entre les planètes intérieures à l'orbite terrestre et les planètes extérieures. La planète extérieure Mars, dont l'orbite est tracée sur la Jiff, 17, est en opposition en M et en conjonction en M', tandis que la planète intérieure Vénus, qui ne peut être vue en opposition, présente deux sortes de conjonctions, interne en V, externe en V.

Le rayon STM est évidemment Taxe de Thémisphère céleste qui, pour l'observateur terrestre, est actuellement plongé dans ht nuit; c'est donc vers minuit, à peu près, qu'une planète passe au méridien de Tobservateurlorsqu'elleesten opposition. Réciproquement, si la planète avait des habitants, ils verraient à ce moment la Terre se projeter comme un point noir sur le disque du Soleil.

C'est aussi là le phénomène que les planètes intérieures nous présenteraient à chacune de leurs conjonctions internes, si leurs orbites étaient réellement couchées sur le plan de l'écliptique, comme nous l'avons supposé jusqu'ici.

Quand on tient compte de leur inclinaison, il faut une définition plus générale des aspects dont nous venons de parler. Une planète est en opposition ou en conjonction lorsqu'elle se trouve, avec le Soleil et la Terre, dans un même plan perpendiculaire à celui de l'écliptique. Sa longitude héliocentrique est alors égale à celle de la Terre (opposition, conjonction interne), ou à cette même longitude augmentée de i8o" (conjonction externe).

Les planètes extérieui^es ont un trop faible éclat pour être visibles près du Soleil, même avec les plus puissantes lunettes. Il ne faut donc compter que sur leurs oppositions, mais celles-là suffisent. En effet, les vitesses angulaires des différentes planètes étant, de fait, incommensurables entre elles, leurs oppositions se répartissent assez régulièrement sur toute l'orbite, en sorte qu'en suivant ainsi une planète, d'opposition en opposition, on obtient une série de longitudes héliocentriques parfaitement disposées pour l'étude de ses mouvements.

MOI^yEMENT DES PLANETES AUTOUR OU SOLEIL. 71

Voici des observations méridiennes de Jupiter supposées faites vers l'opposition de 1882, à Paris :

h m s o f if

Décembre 16 5.44.55,33 66.57.33,3

On en déduit les coordonnées écliptiques L,, p, et[^on place en regard les valeurs correspondantes de O — 180**.

Temps moyen. L^. p,. O — i8o«.

• hms o , „ 0,9 o , „

Décembre 16.. .. 12. 2.52 86.3i.4i,8 90.21.58,6 84.59.58,0

18 ii.53.5o i5.25,4 4i,7 87» i'45,7

Une simple interpolation montre que le phénomène

a eu lieu le 17, à 19*^50" 19*. Par conséquent, décembre 17, à i9**5o™i9*, opposition de Jupiter :

Longitude hélioc. L = 86*» 20' 53^6. Quant à la distance au pôle E, on trouve au même instant

Nous verrons plus loin comment on obtient la valeur correspondante de p, c'est-à-dire de l'autre coordonnée héliocentrique.

On vient de voir, par ces observations, que Jupiter en opposition était animé, pour nous, d'un mouvement rétrograde de 8' 10'' par jour. Si on avait pu l'observer, cette année, à l'époque de la conjonction, vers le 3o mai, on aurait constaté que son mouvement apparent était alors direct et de i4'o" par jour (*).

Révolutions synodiques.

Il importe donc de connaître d'avance les périodes qui ramènent les oppositions des planètes extérieures ou les conjonctions in-

(') Du 10 mars au 17 août, Jupiter, noyé dans la lumière du jour, a été inobser- Table.

ternes des planètes intérieures. T et T' étant les durées en jours des révolutions de la planète et de la Terre, n et n' leurs movcDS mouvements diurnes, si on néglige les excentricités des deux orbites, les mouvements de la planète et du Soleil seront uniformes

et leur vitesse relative constante sera //' — n. L'intervalle d'une oppo-

35qo tt'

sition à l'autre sera donc ^7——=:=— -=7. C'est la durée de la révolution synodique de la planète. On a calculé ainsi les nombres du tableau suivant :

Koms RéTolntlons

et symbole*. syoodlqaes.

7 Mercure 1 1 5 , 8775

9 Vénus 583, 9214

o* Mars 779,9365

2r Jupiter 398,8006

ï) Saturne 378,0921

Mais, à cause des excentricités, ces périodes ne peuvent être considérées que comme des valeurs moyennes autour desquelles les vraies périodes oscillent.

Révolutions sidérales.

Néanmoins ces périodes moyennes avaient autrefois une gr?.nde importance; on les observait directement et on en déduisait immé diatemcnt la durée T de la révolution de chaque planète. Pour les obtenir, on comparait deux oppositions de dates très éloignées, dans lesquelles la planète était revenue à peu près à la même longitude, en sorte qu'elle avait fait dans l'intervalle plusieurs fois le tour du ciel. Ces deux dates comprenant un nombre entier de révolutions synodiqucs, affectées de petites inégalités, tantôt en plus, tantôt en moins, il suffisait de diviser l'intervalle par ce nombre entier pour avoir, avec une grande précision, la révolution synodique moyenne, par suite n et T. C'est ainsi que ces éléments ont été connus des anciens avec une très grande exactitude. Aujourd'hui on y pourrait employer 2000 ans d'obser\'a-' lions.

Toutes ces révolutions se nomment tropiques et se rapportenCau |)oint vernal y» origine des longitudes. Ce point n'est pas abso-'

liiment fixe; il rétrograde sur récliptique de do" par an (précession). Les durées obtenues comme nous venons de le dire ne mesurent donc pas les révolutions véritables, celles qu'on trouverait en rapportant les longitudes à un point réellement fixe, à une étoile par exemple. De là le nom de révolution sidérale qu'on applique à ces dernières (*). Voici le tableau de ces durées pour les anciennes planètes, toutes exprimées en jours solaires moyens ou en années.

RÉVOLUTIONS SIDÉRALES eo Joars solaires moyens. en années.

Mercure 87,969258 0,2408

Vénus 224,700787 o,6i52

La Terre 365,25637» (') i

Mars 686,979646 1,881

Jupiter 4332,588171 11,863

Saturne 10759,236360 27,457

Il y a une autre manière de déterminer ces durées, en dehors des oppositions : c'est de comparer deux dates, aussi éloignées que possible, auxquelles la planète aura été vue dans l'écliplique. Quelle que soit la position de la Terre, et, par suite, de l'observateur, si une planète est vue traversant l'écliptique, c'est qu'elle passe réellement par ce plan. Ce procédé est d'ailleurs celui que nous avons employé déjà dans la théorie du Soleil, pour déterminer la durée de l'année tropique, en déduisant des observations ies instants où le Soleil traverse Téquateur,

Étude du mouvement héliocentrique.

Comme la planète Jupiter revient presque chaque année à l'opposition, on obtient ainsi, pendant une révolution entière de la planète, une dizaine de longitudes héliocentriques assez régulièrement distribuées sur toute Torbite. En les comparant avec Tex-

(') Ce nom a le tort de donner à croire aux coinincnçants que ces durées sont exprimées en jours sidéraux.

(*) Rappelons que la durée de Tannée tropique est de 365^2^2217.

pression de la longitude

h ^=z Lfi -h ni -h éq. du centre (*),

dans laquelle n est déjà parfaitement connu, on déterminera aisé* ment les constantes Lo, e, m. Dans Tantiquité et, à Tépoque moderne, de Copernic à Kepler, Téquation du centre, déduite de la théorie de l'excentrique, s'écrivait

esin(Lo-h ni — TiT)4-^e*sin2(Lo-+- ni — m)-|- . . . .

Depuis Kepler la théorie du mouvement elliptique a prévalu, et on écrit ainsi Téquation du centre, en négligeant les puissances de e supérieures à la deuxième :

2esin(Lo+ ni — ro)-h je*sîn2(Lo 4- /i^ — ro).

Ce qui nous importe actuellement, c'est de faire remarquer que la connaissance des éléments ai, Lq, ^, nj donne le moyen de calculer, pour une date quelconque l, la longitude héliocentrique L de la planète. Nous serons donc en état de calculer aussi la parallaxe annuelle P, applicable à une observation faite en dehors des oppositions, par

sinP = sin(L^ — L)= - sin(0 — L,),

formule dans laquelle nous ne connaissions jusqu'ici que les deux éléments O — L^ et R. On en tire

R sin(L, — L) /• ~ sin(0 — IV) *

La circonstance la plus avantageuse pour l'exacte détermination de ce rapport est celle où © — L^ = 90" ou 270®. Alors la planète, vue de la Terre, se trouve à 90° du Soleil à droite ou à gauche; elle est dite en qua frafure. Ces observations-là se font le matin ou le soir, non loin de G*'.

Ainsi on observe la planète dans ses oppositions pour étudie^ son mouvement autour du Soleil et déterminer les constantes d^ son orbite. On l'observe dans ses quadratures pour en déduire le-' ^

(' j L^ est la longitude moyenne à l'époque < = o, et non une valeur particulier**"^ de la longitude vraie désignée par L.

rayons vecteurs en parties du demi-grand axe de Torbite terrestre pris pour unité. Il y a donc là, je veux dire dans les observations de quadrature, un contrôle pour la théorie du mouvement héliocentrique fondée sur les oppositions, et, en même temps, un moyen de déterminer les dimensions de Torbite.

Position du plan de Torbite.

Jusqu^ici nous avons négligé Tinclinaison du plan de Torbite sur l'écliptique. Les distances polaires P, observées de la Terre ne répondent pas aux distances ^ vues du Soleil, mais, à chaque oppo-

Fig. 18.

sition, les trois points S, T et Q, projection de la planète P sur Técliptique, étant en ligne droite, on a, entre ces angles {fig* 18), la relation

sin(p,-p)=5si„p,.

L'expression du rayon vecttur, en fonction de ^0» ^> ^> fait connaître les variations que subit r entre une quadrature et l'oppo-

sition. En appliquant cette formule, on déterminera ainsi autant de valeurs de r que de L.

Soient donc en perspective sur la sphère céleste {Jig» 19), dont

le Soleil occupe le centre, yûP'l'éclîplique, y'ûP Torbite de la planète, û le nœud ascendant, N sa longitude yû et i rinclînaison. Convenons, de plus, de compter les longitudes dans Torbîte à partir d'un point y' tel que 0^= ûy = N. La longitude de la planète dans l'orbite étant désignée par ^, on aura, pour passer des coordonnées dans Torbite aux coordonnées éclipliques, en prenant pour axes SE, Su, Sû -h 90°,

snzrcosp =:rsinisin(^ — N),

-5=irsinpcos(L — N)=rcos(^— N), jmr sin3 sin(L — N)=: r cos«sin(^ — N),

ou tout simplement, par le triangle rectangle de la fig. ao,

Fig. 20.

cos^ =:sin« sin (^ — N), tang(L--N) = cos£tang(4^ — N),

équations déjà employées dans la théorie du Soleil. La dernière» réduite en série, donne

L — ^=: — iang*iisinQ(^ — N)h-

C'est la réduction à Técliplique.