CHAPITRE VII
Parallaxe annuelle en tenant compte de Tinclinaison.
l\evenons maîntenanl en arrière et complétons l'expression de la parallaxe annuelle où nous avions d'abord négligé l'inclinaison de l'orbite sur Fécliptique. Rapportons la planète et la Terre à trois axes Sy ou SX, SY, dirigés à 90° de là dans le sens direct,
Fig. 21.
perpendiculaire au plan de IVcliptlque vers le nord [Jig> 21). *^nt z^ Xj J^, Si \y \ les coordonnées héliocentriques de la pla- ^ I^ et de la Terre T. Il s'agit de transporter l'origine de S en T. Coordonnées de P rapportées à ces nouveaux axes étant 5,
Y on aura
78 LIVBE II. — CIIAPITBE VII.
et comme on a, en désignant par Ô la longitude héliocentrique de la Terre,
7) =1 R sin 6 = — R sinQ»
Ç z= R cos Ô = — R cosQ,
ces formules exprimées en coordonnées sphériques seront, en désignant SP par r, TP par r,,
/ r^cosp, 1= r cosp,
(i) ■ r,sinp, cosL, ^= r sin^cosL -4-RcosOj
( r sin ^f sin Lf^mr sin p sîn L -f- R sin O-
Elles ne supposent pas connus les rayons r et r , maïs seulement leurs rapports à R. Pour avoir la parallaxe annuelle L, — L, il faut considérer que l'origine des angles a été prise arbitrairement à Sy; rien ne nous empêche donc de choisir une autre origine telle que SP' projection de SP, ce qui revient à retrancher L de tous les angles L, L« et ©• O*^ ^ alors
Ir, cosp, == r cosp, r, sinp,cos(L, — L)=: rsinp 4- Rcos(0 — L), ' r, sinp^sin(L, — L) =i Rsin(0 — L)»
d*oii, en éliminant r,
- sin(0 — L)cosécp
(3) tang(L,-L)=— ^Ij^
1 H cos(0 — L)cosécp
C'est, comme on le voit, une formule de parallaxe; elle s'applique indistinctement aux planètes extérieures ou intérieures.
Il y a là néanmoins une distinction à faire entre les deux cas. Si Ton suit sur la Jig, i6 les variations de l'angle P pour une planète extérieure (R<^r), on voit qu'il atteint un maximum pour T ou O — L,= 9o®. L'angle T,- au contraire, prend toutes les valeurs possibles dans le cours d'une révolution synodique. Celle valeur maximum de la parallaxe annuelle est la moitié de l'angle sous lequel on verrait, de la planète extérieure, l'orbite de la Terre.
S'il s'agit d'une planète intérieure, l'angle à la planète, c'est-à-dire
P = L, — L, prend toutes les valeurs possibles de o à 36o*», tandis que l'angle à la Terre T = O — L, ne peut dépasser la moitié de l'angle sous lequel on verrait, de la Terre, l'orbite de la planète intérieure. Il en résulte qu'une planète de ce genre ne peut s'écar-
ter du Soleil au delà de l'angle dont le sinus est — • Cet angle se
nomme Vélon galion de la planète. Comme r et R varient légèrement par suite des excentricités des orbites, la plus grande élongation de Vénus varie entre 4^^° et 45°; celle de Mercure entre 16 et 29° (Texcentricité de l'orbile de cette planète est très forte).
Il résulte de là qu'un astre quelconque, une comète par exemple, qu'on voit àmoins dego^du Soleil, peut être en ce moment à l'intérieur ou à l'extérieur d'une sphère décrite sur l'orbite terrestre. Mais si on le voit à 90° ou à plus de 90°, il est nécessairement plus loin du Soleil que la Terre ( * ). C'est ainsi que, la pointe de la lumière zodiacale s'élevant à plus de 90® du Soleil disparu sous l'horizon, on en conclut que la nébulosité quelconque qui produit cette apparence déborde l'orbite terrestre.
On parviendrait aux mêmes résultats en discutant la formule
(4) o=:r sinpsin(L — L,)4-Rsin(0 — L,),
<ju'on obtiendra en retranchant L, des angles du groupe (i).
Phases des Planètes.
\udi Jig, 11 montre que les planètes doivent présenter des phases et que celles-ci dépendent de l'angle SPT ou P = L, — L. Négligeant ici l'inclinaison des orbites, on voit que l'angle SPT est égal à l'angle dièdre formé par deux plans passant par P, et respectivement perpendiculaires aux lignes SP et TP. Le premier coupe la planète supposée sphérique suivant le cercle de séparation d'ombre et de lumière ; le second suivant le cercle de contour apparent. La figure donne le rabattement du disque vu de la Terre et la projection, sur ce disque, du demicercle d'illumination. Celle-ci est une ellipse qui limite à droite la partie éclairée de la planète. La figure montre que la planète
(') Car la perpendiculaire est plus courle que toute oblique.
vue en quadrature atteint la phase maximum. La partie manquante est proportionnelle au sinus verse de l'angle L, — L. Cela n'est sensible que pour Mars, qui paraît en effet gibbeux en quadrature.
Alors sinP== — ^,d'oii P==4i% angle dont le sinus verse est de
i du rayon. C'est ce qu'indique la figure. Pour Jupiter, la partie
Fii:. 22.
nian({uanle se n'duit à 0,02 du rayon du disque apparent de la planète. A la quadrature du 22 septembre 1882, le demi-dianiètrc angulaire t'tait de k/'; la phase n'duisait donc ce demi-diamùtre d'un tiers de seconde du coté opposé au Soleil. Pour Saturne, et k plus forte raison pour Uranus et Neptune, les phases sont absolument insensibles.
Il en est tout autrement des planètes intérieures. Pour celles-là l'angle Pn'a pas de limite et varie de o** à 36o°. Les phases vont donc de la complète illumination du disque à la complète invisibilité. Vénus, par exemple, en conjonction interne, tourne vers nous sa face obscure et devient invisible, ou, si elle se projette sur le Soleil, Vénus nous apparaît comme une tache noire parfaitement
LES PLANETES VUES DE LA TERRE. 8l
ronde. Alors sa distance à la Terre est R — r =; o,a8. En conjonction externe, elle est au delà du Soleil à la distance R + r = i ,79 ; son disque est plein, entièrement éclairé, mais six fois plus petit {fis- ^^}' ^ ^^ p'<'3 grande élongation elle ressemble à la Lune
4|ijand celle-ci est au premier ou au deuxième quartier. Dans le» positions intermédiaires elle est gibbeuse et très petite, ou en «croissant délié et très grande. Dans ce dernier cas, c'est un des plus L>eaux objets que les lunettes nous aient faire voir dans le ciel, IVfémes phénomènes, moins frappants, pour Mercure,
Distances des Planètes au Soleil.
Les formules (3) ou (4 ) des pages 78 el 79, dans lesquelles L et m^me ^ sont désormais connus, peruiellent de calculer le rap-
JX^rt variable — des rayons vecteurs, et par suite a, distance
moyenne du Soleil à la planète.
Une observation de Jupiter en quadrature, du 22 septembre 1SS2 à i'j''53"ai', a donné pour la longitude gtocentrique
Les éléments de l'orbite obtenus prc^cédemment par les opposi- *- ■ «DUS fournissent les coordonnées hé li oc en tri que s
L = 78'>55'i7*,i, ^ — go" -if 21', G.
8jt LIVRE II. — CHAPITRE VII.
Collos du Soleil soiil au nu^nie moment
v' So^o'-i-.!*",! j lo{;R — 0,001241 4-
\ oioi le calcul de /*par la formule (4) •
It^îï sin 1 1- 1 9.a9iCi6o7
I«»^' sin 'i 9 .9999^13
<'/Ioj;vin,0 !.. o.oooCKia6
loijU.. o.ooiajW
Lc> éléments de Torhite donnent à cet instant
On aura (h>ne .^aooS pt>ur la distance moyenne de Jupili-r i- SoltMl, en parties d<* la tlistanci* mo>enne du Soleil à la Terre* Jrmîgrand a\<' tle l\>rl)it<* terrestre^ prise pour unité.
Ainsi rol>s(M'vali<Mi «Pun»' planète «extérieure en quadratun*. <«i. celle d'une planète intérieure à sa plus grande élon^alion, n«»u?
iail connaît H', pour chacune d\'lK»s, la valeur du rapport — qm
fij^ure dans l'expression dt* la parallaxe annuelle, et par suite loul»> les distances des planètes au St>leil.
Il importe d<* noter ici (pie ces tliét)ries et ces formules élaitMil |)arfaitrin<'nt connu(*s des \n( icns, ainsi (pie la valeur numériqur
du rapport - pour clia<pie planète, ('.es formules restent en elTrî
les mêmes si on prend les mouxenuMits apparents pour de mouvements réeK, et si, plaçant la Terre au centre du svsténie. on fait man^lier les planètes dans des é|>icvcles de ra\on II, porter par de*i cendes déf'rents de ra\on /*. Seulenu'iit, pour les Ancien*. |a TcrnM'tait réell(*ment immobile; iln\ avait donc aucune raison (Pattrihuer aux épicvcles le même ravon. Il dexenait arbitrain»: il
en était de même diT, car, seulje i*apporl est délini par les tibservations.
Montrons d'abord que les apparences ne sont nullement changées quand on donne à ces rayons R et r des valeurs arbitraires, pourvu qu'on conserve leur rapport.
Soient (y7^. a4) «/^Torbite de la planète, R lerayondeTorbite delà Terre et aussi de Tépicycle véritable de la planète, S le Soleil; p la
Fig. 24.
position actuelle du centre de Tépicycle sur le déférent ap. Pour avoir le lieu P de la planète vue de la Terre, on mènera />P parallèle à TS. Il est évident que la direction TPne sera pas changée si Ton prend pour rayon du déférent la ligne T/?', à la condition de
prendre pour le rayon de Tépicycle P'/?' tel que ~-r = ?fr- =t (*)•
Les Anciens avaient trouvé, pour le rapport — > les fractions suivantes, que j'ai réduites au même numérateur loo :
Mercure -rrrr
,r, 100 Venus
Mars
Jupiter - —
Saturne —
(') Cependant l'angle à la planète SPT qui règle les phases ne restera plus le
84 LIVRE II. — CHAPITRE Vil.
C^est avec ces valeurs qu'ils calculaient la formule
sin(L, — L)m — sin(0 — L, )cosécp
pour suivre la planète sur son épicycloïde.
Copernic, en adoptant les idées des Pythagoriciens, de Philolaiis ( — 45o), d'AristarquedeSamos ( — 280), etc., n'a eu qu'à prendre l'inverse de ces rapports pour obtenir les distances des planètes au Soleil. Voici les distances de Copernic :
Mercure o , 36
Vénus 0,72
La Terre i
Mars I , Sa
Jupiter 5,aa
Saturne 9, ai
Cette dernière est un peu trop pelite; elle doit être 9,54- Pour tout le reste, Copernic conserva les artifices des anciens Astronomes; il faisait circuler les planètes d'un mouvement uniforme dans des cercles dont le centre était écarté du Soleil, et il adopta les valeurs que l'on avait appliquées à ces diverses excentricités.
Sur les stations et rétrogradations des planètes.
En calculant, avec les distances et les durées des révolutions, les \itesses linéaires des planètes dans leurs orbites, on trouve que les vitesses linéaires sont d'autant plus petites que la planète considérée est plus loin du Soleil. De là le phénomène de la rétrogradation des planètes extérieures en opposition, ou des planètes intérieures en conjonction interne. Une simple figure, sur laquelle les intervalles V< Va, V2V3 (^fig* 20), parcourus en temps égaux par une planète intérieure, sont plus grands que les espaces T,T2,TjTj parcourus par la Terre dans le même temps, et ces derniers plus grands que les espaces J4 J2, J2J3 parcourus par une planète exté-
même; il devient SP'T, en sorte que le système des Anciens, qui représente passablement les mouvements des planètes, est complètement en erreur pour leurs phases.
rîeure, met la chose en évidence, car il suffit de transporter les lignes visuelles T^JoTaJa,... parallèlement à elles-mêmes en un
Fig. 25.
JiiîJi . Jï.
jT
même point quelconque T,'pour voir que les planètes V et J paraîtront, en T, se mouvoir dans le sens rétrograde. C'est ce que donne aussi la formule de la parallaxe annuelle. On a en effet [groupe (i)]
rsinL-f-Rsin©
tang L, = = rr ,
^ ' rcosL-hRcosO
en négligeant Tinclinaison de l'orbite. Si on néglige aussi les excentricités, on aura
dhz^ndt — -dt, dQ—^dt—-r'dty
71, N étant les moyens mouvements, i' et V les vitesses linéaires. Différentions l'expression précédente, il viendra, toutes réductions iaites, et en remarquant (p. yS) que r,cosL^= rcosL -f- R cosQ,
dL, rp 4- RV -4-(R (^ -f- Vr)cos(0 — ^^
dt r
A l'opposition ('), O — L^iSo**; le numérateur se réduit à ^r — R) (^' — V). Cette dérivée est négative, puisque r — R et «» — V sont de signes contraires pour les planètes extérieures comme pour les intérieures ; par conséquent, L, va en décroissant SI cette époque, autrement dit la planète rétrograde.
(*) Ou à la conjonction interne pour les planètes intérieures.
^ La planète est stationnaîrc quand cette dérivée est nulle, c'està-dire lorsque
cos(G — L)— — -.
La condition de réalité
(R — /Oi'XR — r)V
est évidemment satisfaite dans les deux cas que nous examinons. Pour Mars, par exemple, les époques des stations seront déterminées par
ces ( 3— L) — — 0,9575, d'où Q— L — i63°i5' et iqG^/iS'.
L'arc compris, égal à (N — n) tj donne t -r- j^J pour la durée de la rétrogradation. En portant les valeurs de (j — LdansTexpression de tang (L, — L), on aura Tare de rétrogradation vu de la Terre, lequel est d'une quinzaine de degrés pour Mars, de 10® pour Jupiter, de 7" pour Saturne. Pour la solution complète de questions de ce genre, il faudrait tenir compte de l'excenlricilé, mais ce que nous venons d'en dire suffit amplement.
Nous verrons un peu plus loin qu'il résulte du tableau des
vitesses et des durées des révolutions que V^r = const. dans le
système solaire. Si au lieu de cela on avait V = const. il n'y aurait
pas de rétrogradation, mais seulement station au moment de Top-
position. Si Ton avait — ^^ const., une planète vue de la Terre en
op|>osition y resterait perpétuellement, etc.
