CHAPITRE VIII
Véritable marche suivie par Kepler.
Maintenant nous sommes en étal de corriger ce qui a été dit, dans la théorie du Soleil, au sujet des deux premières lois de Kepler. Il y avait intérêt, pour la suite des idées et pour n'être pas obligé de scinder en deux parts la théorie du Soleil, à y rattacher cette découverte. Mais il nous a falhi en cela commettre deux inexactitudes historiques.
En prenàier lieu, Kepler aurait eu besoin des rayons vecteurs pour reconnaître la vraie forme de l'orbite du Soleil. Nous avons supposé qu'il les avait déduits de la mesure des diamètres apparents du Soleil, chose impossible sans le secours des lunettes et qui, en fait, n'a été réalisée qu'un demi-siècle après Kepler. Aujourd'hui encore, ce serait un procédé fort insuffisant. En second lieu, l'orbite apparente du Soleil est trop peu excentrique pour faire apprécier Terreur que les Anciens commettaient dans le calcul de Téquation du centre que l'on peut écrire, dans l'hypothèse des Anciens (p. 24)> en faisant TC = s,
'i sin m -+- iz' sin 2 m h- . . . ,
tandis qu'elle doit être, par la théorie elliptique (p. 5i ),
2 es'inm -+- je- sin 2 m
En effet, si l'on s'en tient au premier terme et qu'on détermine £ par des observations convenables, vers m = 90**, et m = 270°, on trouve £ r= o,o33d. Or, e n'est que la moitié de cette valeur. La différence de ces deux théories, en posant £ = 2e*, a pour exprès-
sîon jC^sin^im. L'écart maximum a donc lieu pour les valeurs 45*^,135",... de m, et se réduit, dans la théorie du Soleil, à 43'',5, c'est-à-dire à une quantité presque insensible à l'œil nu.
Ainsi, pour éprouver la théorie de l'excentrique des Anciens, il fallait choisir une planète dont l'orbite fût beaucoup plus excentrique que celle de la Terre. Ce fut à Mars que Kepler s'adressa; mais, de quelque manière qu'il tentât d'accommoder l'hypothèse des Anciens aux belles observations de Tycho sur lesquelles il travaillait, en faisant varier les constantes e, ^o et m (p. 24)) il ne parvint pas à réduire les écarts du calcul au-dessous de 8', erreur incompatible avec la précision bien connue de ces observations. Il en conclut que l'orbite de Mars ne pouvait être un cercle excentrique.
Quelle était donc la nature de cette orbite ? Pour l'étudier, il fallait en déterminer les rayons vecteurs au moyen de la formule de la parallaxe annuelle (p. 79)
r sin? sin(L, — L) = Rsin (© — L,),
appliquée aux quadratures observées, et c'est môme pour Mars que ces rayons vecteurs seront le mieux déterminés par Tobservation. Kepler calcula donc ces rayons en corrigeant autant que possible les L, obtenues à l'aide de la théorie de l'excentrique, des erreurs désormais connues de celle théorie, et se trouva ainsi en possession des coordonnées complètes L et r sin^, et par suite ^ et r(p. 76), de points régulièrement répartis sur toute l'orbite. Cette seconde épreuve montra, comme la première, que Torbite n'était nullement circulaire. Elle apprit en outre qu'elle était légèrement aplatie dans le sens perpendiculaire à la ligne des apsides, sur laquelle les Anciens plaçaient la Terre et le centre de rexcenlricjue : c'était une sorte dovale. Kepler essaya la plus simple de ces courbes, rdlipse. Mais ses tonlalives seraient rest^'^es vaines s'il n'avait, en même temps, cherché et trouvé une relation entre le temps et les coordonnées du mobile. C'est surtout dans cette complication d'un problème ou il faut à la fois chercher la forme de la fonction de r et de -C, qui re|)résente l'orbite, et celle de la fonction de r, ^ et / qui la relie au temps, que consistait la difficulté. Ce grand astronome Ta résolue par ces deux lois, que rien ne faisait sou ronner avant lui : Les aires par^
courues par le rayon vecteur sont proportionnelles aux temps; la trajectoire est une ellipse dont le Soleil occupe un foyer.
Troisième loi de Kepler.
Nous verrons bientôt que les planètes peuvent être assimilées à des projectiles qui auraient été amenés à diverses- distances du Soleil, à peu près dans le même plan, et qu'on aurait lancés ensuite avec des vitesses déterminées par les distances, de manière à leur laîre décrire autour du Soleil des orbites presque circulaires. Ainsi ** peut, il doit même exister une relation entre ces distances et ces vitesses, autrement dit entre ces distances et les durées des révolutions. Mais le choix des distances elles-mêmes reste arbitraire, du ***oins c'est là une question d'origine qui tient au mode de forma- ^*on du système solaire. Elle était bien prématurée au temps de ■^^pler : elle est aujourd'hui encore peu accessible, malgré la con- ^^ption cosmogonique de Laplace.
I3c là deux voies, l'une stérile, l'autre scientifique. La première Consiste à chercher une loi entre les distances des planètes et les ^^rnbres entiers qui expriment leurs rangs à partir du Soleil; la ^^Uxième, à chercher une relation entre ces mêmes distances et ^^ vitesses ou les durées des révolutions.
K^epler passa une partie de sa vie à chercher la première. Frappé
^'«^*^s sa jeunesse de la perfection des cieux, idée antique alors
^^^i»iinantc, et de la perfection analogue des cinq corps réguliers
^*^ I3 Géométrie, il avait cherché là une loi. Il trouva, en employant
^s distances de Copernic,
^^ entre les sphères idéales, autrefois cristallines, de Mercure etde
^ ^rtus on pouvait placer un octaèdre circonscrit à la première et in-
^o m dans laseconde. Il plaça de même l'icosaèdre entre les sphères
^ ^énus et de la Terre, le dodécaèdre entre la Terre et Mars, la
Py^mide entre les sphères démesurément distantes de Mars et de
^Pïler, enfin le cube entre Jupiter et Saturne. Et comme la
^^^'ïïétrie ne fournit que cinq corps réguliers, il était naturel,
'sait^il^ qu'on ne trouvât au ciel que six planètes.
90 LIVBE II. — CBAPITRE VIII.
Les modernes ont aussi suivi cette voie stérile, témoin la loi de Bode qui a joué un certain rôle dans la découverte de Neptune en fournissant une mauvaise hypothèse à MM. Adains et Le Verrier. Désignant par D la distance d'une planète au Soleil et par n son rang d'ordre à partir du Soleil, on aurait par cette loi
Si Ton admet que les planéticules qui circulent entre les orbites de Mars et de Jupiter tiennent lieu d'une planète ayant le cinquième rang, cette prétendue loi donnait 38,8 pour la distance de la planète cherchée par ces deux habiles astronomes. La découverte une fois faite en dépit de la loi, il se trouva que la planète n'était qu'à la distance 3o. L'erreur allait à 8 ou 9 fois la distance de la Terre au Soleil.
Lorsque Kepler eut découvert les deux, premières lois, il comprit enfin, bien vaguement il est vrai, qu'il y avait là une question de Mécanique; que le Soleil devait exercer une force s'étendant jusqu'aux j)lanètes les plus éloignées pour en régler les mouvements. La seconde voie se présenta alors à son esprit et il se mit à chercher une relation entre les périodes et les dislances. Après bien de-^ tâtonnements, il s'avisa de comparer les temps des révolutions aux puissances successives des distances. Les [)remières puissances simples ne réussirent pas :
Plan^ick. T. a. n}.
Mercure 0,241 0,89 0,1 5
Vénus o,0i3 0,7^ o,52
La Terre i i 1
Mars 1,881 1,32 2,3a
Jupiter n,8G{ 3, 20 27,07
Salurnr '^9,457 \),'i\ U<>,<J9
Il essaya donc yne puissance intermédiaire entre 1 et 2, c'est-à-ilire I ^ ou jj et il trouva :
PlanfiM. T. a*.
Mercure 0,2 ji 0,241
Vénus o,Gi3 o,Gi3
La Terre i 1
Mars 1,881 1,874
Jupilei 11,863 11,86
Saturne '^î),457 '29,46
Ainsi T =r !■/ > , (jnand 'e de mi -grand asr dr r«lHk'
l'nt)a(l*i|Uc di
rVsl-4-dire les carrés àe»
comme lex cultes dfj
cation iiiùcani(|af dr mais non la cODcJuâJuD ■sb celte loi est vniie, ^Vr di temcnt connus, un parfait que la durres dps r^voIutitBj» *
une pri.-cîsîon loajn
donnent les dîstanen. d^
y\wti, le sont mnia*
Saturne,
Par conséquent,
a! -= 5,2oi2 (*).
C'est ainsi que Kepler a opéré; les nombres contenus dans le tableau suivant et tirés des Tables toutes récentes de Le Verrier ont été obtenus de la même manière.
Nom^s Durées DUttnret
des des rnTolulions moyennes
planètes. sidérales. au Soleil.
Mercure 87,969^58 0,3870987
Vénus 2a4j7oo787 o,7a333aa
La Terre 365,256474 > ,0000000
Mars 686,979646 1,5^36913
Jupiter 4^32,588171 5,202400
Saturne 10759,236360 9,53886i
Uranus 3o688, 39036 19,18329
Neptune 60181,1 i3i6 3o,o55o3
Tables et éphémérides des planètes.
Les Tables de chaque planète sont de même forme que celles du Soleil, dont nous avons déjà donné une idée au Chapitre V.
Elles comprennent uneTable destinée à faciliterle calcul de la longitude moyenne K^çi-\-nt pour les siècles passés et futurs ; une Tablede l'équation du centre dont l'argument est m =:= ^0 -+- ^^ — ^î ""^ Table des rayons vecteurs ayant même argument : ces deux dernières répondent aux développements
K^'~ -d'» "- ''^ ^ ^1 sinm -H A,sin2//i -h . . . ,
— -: .\ -\-\é^ — B. CCS ni — B, ces 2 m — ... ; a
puis la Table de la réduction à Técliptique, déduite de la formule
tang(L— N)=:cosi tang(^— N)
et mise sous la forme
L ir.^^— lang«lisin2(4;^-N)4-;tang*JisinN..(^— N)...,
dont l'argument est !^ — N; enfin uneTable pour la coordonnée écliplique p. Par ces Tables, qui réduisent le calcul à de simples
(*) Nous reviendrons plus tard sur ce résultat, qui a besoin d'une correctioo d'environ âTy-J^,,-
additions, on obtient, pour une date^, les coordonnées écliptiques de la planète L, p, r. Quant aux coordonnées géocentriques, on les calcule par les formules de la page 78.
Lorsqu'il s'agit d'une éphémeride, comme celles*de la Connais^ sancedes Temps, donnant les coordonnées L, p, r, L,, p„ r, pour tous les jours de l'année à midi moyen, on calcule ces positions de 10 jours en 10 jours à l'aide des Tables, puis on interpole pour les jours intermédiaires, en tenant compte des différences premières, deuxièmes, etc.
Quant aux planètes nouvellement découvertes et aux comètes, on ne saurait recourir à des Tables pour le calcul des coordonnées héliocentriques. On applique alors les formules de Kepler, qui n'exigent que la connaissance des six éléments de l'orbite :
Ks
~h nt — cj,
esmu m,
- ecosw,
tangi(^— iîj) = i/-j---^ tang-jM
Correction des éléments elliptiques.
En comparant ces éphémérides avec les observations journalières des grands observatoires, on détermine les erreurs des Tables qui résultent de celles des éléments adoptés. Lorsqu'elles deviennent trop sensibles, il faut corriger ces éléments et procéder à la construction de Tables nouvelles. Celles-ci vont ainsi en se perfectionnant d'âge en âge.
L'observation donne aux dates ^, t\ i' ^ ... les iR et 8 de la planète considérée. On en déduit les coordonnées écliptiques géocentriques L,et p,, puis on passe de celles-ci aux coordonnées héliocentriques L et ^ par les formules de parallaxe annuelle de la page 78. Désignons par dL et d^ les écarts entre ces coordonnées observées et les coordonnées tabulaires. Pour les faire disparaître, il faudra appliquer aux éléments adoptés des corrections d/i, d^j^, 3e j àra^ di^ <îN. En différentiant l'équation
cos p = sin (41^ — N ) sin i
par rapport à ^^, on a
lang ? d? =: — col (4^— N ) dN -}- col idL D'autre pari, la page 53 nous fournit Téquatlon différentielle ( I -h 2 e CCS m ) ( di^ -h tdn)-\- 2de sin m — 2 e dw ces m m c^L.
On formera donc, à Taidc des écarts constates d^^ (^L, deux stTies d'équations de condition qu'on traitera parla méthode des moindres carrés (*), de manière à obtenir les valeurs les plus probables de> corrections cherchées. Il n'y a pas lieu de s'occuper du demi-grand
axe a, car cet élément est lié à T ou an par la relation — r= K.
On procède ainsi, depuis 2000 ans, par des approximations^ successives. Mais la théorie elliptique de Kepler a porté subitement les Tables des mouvements célestes à un haut degré de perfection qui ne s'est pas démenti, même lorsque, dans le cours du xvii*' siècle, Tapplicalion des lunettes aux instruments de nnesure est venue augmenter tout à coup l'exactitude des observations d'une manière extraordinaire.
Cependant on a dil noter, peu de temps après la découverte de ces lois fondamentales qui ont renouvelé toute l'Astronomie, des circonstances qui devaient faire comprendre que tout n'était pas dit. La première est la variation que les éléments des planètes subissent dans la suite des siècles. Tel est le mouvement du périht'*lie de l'orbite terrestre, dont la lonj^itude augmente de 1100^ par siècle. Les astronomes arabes avaient découvert ce phénomène en comparant leurs observations à celles de rAlmag<?ste. Pour la Lune, ces mêmes variations, portant sur presque tous les éléments, sont bien plus grandes et ont été reconnues dès les débuts de l'Astronomie exacte. Les unes et les autres seraient inexplicables si Ton s'en tenait aux luis de Kej)ler. En second lieu, la théorie elliptique, bien qu'elle satisfasse de très près à toutes les observations d'un même siècle, laisse néanmoins subsister de petits écarts de nature périodique. Or il n'est pas possible de les faire disparaître, quelques
(') L'emploi de relie nicthotlc ne sera léjïilime que lorsqu'on aura tenu compte des perlurbatious dans la comparaison des observations avec les Tables.
corrections que l'on applique aux éléments des orbites. La théorie elliptique que nous venons d'exposer et les Tables qu'on en déduit, si supérieures à celles des Anciens, ne sont donc elles-mêmes qu'une seconde approximation. La troisième et dernière est celle que fournit la Mécanique céleste.
Variations séculaires des orbites des planètes.
Pour en donner une idée, nous nous bornerons à deux éléments de l'orbite de la Terre, la longitude du périhélie et l'inclinaison de l'écliptique sur l'équateur. Le premier élément a été déterminé à diverses époques, par les Grecs d'abord, puis par les Arabes, enfin par les Modernes. Lorsqu'on en défalque l'elfet du mouvement rétrograde du point y (précession), pour ramener les longitudes à une même époque, celle d'Hipparque, on trouve :
Longitude Dates. Observateurs. du périhélie.
— 127 Hipparque G5.3o
833 Albategnius 68.59
1231 Aboul-Hassan 69.21
1858 Le Verrier 72.46
Ainsi la longitude du périhélie va en augmentant d'un tiers de degré par siècle. Bien que cet élément ait dû être très difficile à déterminer avec précision, par des observations faites à l'œil nu (on a vu que la correction dxn ne figure dans les équations de condition qu'avec le très faible facteur e), les astronomes arabes n'ont pas manqué de remarquer le déplacement subi par le périhélie entre leur époque et celle d'Hipparque. C'est à eux qu'est due cette importante découverte.
Quanta l'obliquité de l'écliptique, sa variation a été déterminée, au dernier siècle, par des observations faites au gnomon avec une précision suffisante pour mettre en évidence des changements 24 fois moindres que ceux du périhélie. Voici quelques-unes de ces mesures, que Laplace a fait recalculer avec soin :
96 LIVKE II. — CHAPITKB VIII.
Obliquité
Dates. Obsenratears. observée. calculée.
— 1100 Tcbéou-Kong. en Chine a3.5a a3.5i. 8
iOOO Ben>JouniSy en É«nirpte a3. 34.36 !t3.34.ao
1280 Cochéou-king. en Chine a3.3ti. !i a3.32. 6
i437 Ouloug-Beg, à Samarcande a3.3i.4d a3.3o.5o
1750 Bra«llev, à Greenwich a3.'28. 18 a3.!i8.ao
1850 Observatoire de Paris a3.-27.3a a3.a7.3a
La dernière colonne a été calculée en prenant pour point de départ Tobliquité mesurée en i85o et en supposant la variation de — 48'' par siècle. On voit avec quelle précision les observations les plus anciennes sont représentées. Il v a ici deux conséquences à tirer : i^ les observations faites au gnomon avaient un caractère bien remarquable d*exactitude; 2** Tobliquité de l'écliptique décroît bien réellement de 48" par siècle, à très peu près.
Ces faits ne sont pas particuliers à Torbite terrestre; on en retrouve Téquivaient pour les autres planètes ('). Les éléments de leurs orbites subissent aussi des >ariations séculaires. Il n^y a d'evception que pour les dur^l'es des révolutions sidérales, que Ton retrouve toujours les mêmes, aujourd'hui ou au temps d'Hipparque ou des plus anciens observateurs chinois. Comme ces durées sont liées aux grands axes par la troisième loi de Kepler, il faut conclure de ce qui précède que les grands axes sont euxmêmes invariables. C'est là évidemment un élément de stabilité pour le système solaire, et c'est le triomphe de la Mécanique céleste d'avoir, à la fois, prouvé théoriquement cette invariabilité et ex[)liquc les variations progressives des autres éléments.
Satellites.
Les satellites de Jupiter ont été découverts en 1610 par Galilée. Ça été le premier résultat astronomique de Tinvention des lunettes. Une simple lorgnette d'opéra les fait voir. Il n'en est plus de même des satrllitcs des autres planètes, qui tous exigent des
(') La théorie elliptique est incapable de reudrc compte de ces variations. Il fallait néanmoins en tenir compte après les avoir déterminées comme nous venoDS de le faire. C'étaient des éléments empiriques qu'on était bien forcé d'introduire, du temps df! Kepler ju>4|u'a .Newton, dans les Tables des planètes, comme on l'a vu au Chapitre V.
THEORIE £T TABLES DU MOUVEMEiXT ELLIPTIQU2. 97
lunettes puissantes. On n'a môme jamais observé en France ceux de Neptune, d'Uranus et l'un des satellites de Mars.
Les quatre satellites de Jupiter se meuvent dans des plans peu inclinés sur l'orbite de leur planète. Ils passent donc, presque à chaque opposition, dans le cône d'ombre qu'elle projette derrière elle et y sont éclipsés. L'observation de ce phénomène est facile et comporte une certaine précision. On en déduit les périodes synodiques moyennes :
i" satellite i ,7698605
De celles-ci on déduit les révolutions sidérales.
On a construit pour ces satellites de véritables Tables par lesquelles on calcule les dates des éclipses qui ont lieu chaque année. Celles-ci sont publiées dans la Connaissance des Temps. jNous verrons plus tard le parti que l'on a tiré de ces éclipses pour la détermination des longitudes géographiques et pour mesurer la vitesse de la lumière.
Les rayons de ces orbites presque circulaires s'obtiennent à l'équatorial. L'observateur, placé en T(Jig. 26), mesure micrométriqucmentla distance angulaire du satellite t au centre J de la planète, au
Fi g. 26.
Ai
moment de la plus grande élongation ; il obtient ainsi un angle <tTJ = a d'où l'on tire le rayon o-J par le triangle tJÏ, rectangle en 0". On a en effet, à cet instant,
ff J =: a' in TJ sina.
Or TJ est donné par les éphémérides en parties de Tunité astronomique, c'est-à-dire du demi-grand axe de l'orbite terrestre. Pour le premier satellite, par exemple, on trouve
<jj ou a' =: 0,00188, T'=ii, 76913-8.
On en déduit pour la constante K'' = =7^, relative à Jupiter et à
son système, la valeur 0,0000000071 563.
C'est à peu près la millième partie de la constante K du système
solaire. Pour avoir le rayon a!' de l'orbite d'un autre satellite de
Jupiter, il sufTira dès lors de déterminer la durée T" de sa révolu-
lion et d'appliquer la formule o!' =^ y K^T''^*.
La Terre a aussi un satellite, la Lune, mais sa distance ne saurait être obtenue ainsi en parties de l'unité astronomique, parce que nous faisons partie de ce petit système. Par d'autres procédés dont il sera question plus loin, on trouve pour cette distance o,oo25j48. Voici le tableau de ces divers systèmes avec les constantes qui s'v rapportent; nous en verrons bientôt l'importante signification mécanique.
Soleil. . . .
La Terre.
Mars
Jupiter... .
Saturne
DisUnces de» Miel II te*.
o , 0028 I 88 0,0044846 0,0071 ')37 o,oi2584o
burée« des réTolullons.
Contlantet keplérienoe».
0,942424 I , 3702 I 7 1,887904 2,736916 4,5i73o3 i5,9453 26,3ii3 79,32936
^'j Ce nSultal nV>l <iuc provisoire et sera rectifié plus loin, p. 143,
DUtanceB Durées Constanleit
des Mtelliles. des réTolulions. keplérlennes.
\>plunr... 0,0023717 8,876000 K**" — — ,,-
lOO LIVRE II. — CHAPITRE IX.
