INTERPRETATION MECANIQUE DES LOIS DE KEPLER. IID

F n^étant plus une force centrale , mais la résultante des forces quelconques qui agissent sur le mobile, ^ Tangle de cette résultante ( ^ ) avec la partie MN de la normale à la courbe, au point considéré, sur laquelle se compte le rayon de courbure R en ce point, et V la vitesse {jig- 3i).

Fig. 3i.

Appliquons-le au cas du système solaire où la force F est dirigée suivant le rayon vecteur SM — : r, puisque les aires comptées autour du point S sont proportionnelles au temps. Soit t l'élément MM' de la trajectoire décrite dans l'élément de temps 6, en sorte que

V = r> et C le double de Taire décrite par rdans l'unité de temps?

L'aire élémentaire SMM' aura ainsi deux expressions égales

Jr<JCost^--=ilCô.

Par conséquent, pour le cas d'une force centrale, on aura

~ z^y zzi d ou Vn=:i

ô rcos4' Kcos'4'

Cette relation fera connaître la force quand on donnera la nature de la trajectoire (par R et ijy), ou bien la nature de la trajectoire quand la force sera donnée. Ici la courbe est une ellipse dont le Soleil occupe un foyer. Or, dans une telle courbe, Rcos'^[»=/? demi-paramètre. Donc

¥r^ :=- — :=: const.

Ainsi F varie bien réellement en raison inverse du carré de la

(') C'est le complément de l'angle I, p. ii5, t. I.

iG

distance, et tout ce qui précède se trouve justifié. Nous nous Irou- Aons encore ici en présence d'un cas où la théorie, déduite de lois expérimentales, en élargit singulièrement la portée. Rcos''ir=y> n'appartient pas seulement à l'ellipse, mais aussi aux paraboles rapportées au fover, et aux branches d'hyperbole tournant leur concavité vers ledit foyer. Ainsi toutes ces courbes sont des trajectoires possibles dans le système solaire. On sait en effet que ie> comètes décrivent des paraboles, ou du moins des ellipses leliement <*\ccntriques qu'il est impossible aux observateurs de les distinguer d'une parabole.

Arrêtons-nous ici pour démontrer, à l'aide des formules du t. I (p. 328), la proposition Rcos^'i^^/?.

Fi g. 3i.

Dans la//^. 32, où MX est la grande normale faisant Fangle i a\ec le rayon FM --- /*, on a, par le triangle MDF,

sin<!/