INTERPRÉTATION MÉCANIQUE DES LOIS DE KEPLER. II

II est bon d'examiner l'expression de R cos'i. Puisque r^=:a — exj r' ^= a -h ejc et x ::zi N sin ).,

on aura donc

R cos'> = — —r-l

et, comme

il vient

H ces 4/

\ r al W* a !

en désignant ici par [jl la constante (M -\- ni)/.

Étant données la vitesse et la direction du mobile, déterminer

sa trajectoire.

Déterminer l'orbite parcourue par un mobile de masse m, actuellement placé à la distance r du Soleil, et animé d'une vitesse V dans une direction inclinée de l'angle ^ sur le rayon vecteur.

La force centrale est (M -|- ni)/. Désignons-la ici par [x. La

dernière formule donne déjà le demi-grand axe a par-, puisque V, /• et [X sont connus.

Si V- < ---> - sera positif, la courbe sera une ellipse. a a ^ '

Si \- — -— , — X , la courbe sera une parabole.

Si V* > — > -est néffatif et on a une hyperbole.

Il est facile d'obtenir R {/ig. Sa ) par la formule

yj ,.2

Kcos'J^ '

puisque r, V et ij sont donnés. On portera R sur la normale en MC ; en le projetant sur MF, en MC, on auraR cos'i. En projetant MC sur la normale, on aura, en MD, Rcos^ij^^: /i. Ainsi le point D

Il8 LIVRK III. — CHAPITRE X.

sera sur Taxe, et la droite DF en donnera la direction. Si on construit le second foyer F', on aura Pexcenlricilé, que l'on déduirait d'ailleurs de la projection de MD sur MF, ce qui donnerait />. L'orhite sera donc entièrement connue.

Remarquez ici que l'espèce de section conique que doit décrire le projectile est indépendante de l'angle <J^, c'est-à-dire de la direction où on le lance. Elle ne dépend que de la vitesse qu'on lui imprime.

Pourrhyperbole, il ne peut être question ici que de la branche pour laquelle R cos^'i est positif, c'est-à-dire pour laquelle ^ est un angle aigu. C'est celle qui présente sa concavité au foyer où le Soleil est placé. Pour l'autre branche, Rcos'^ est négatif.

Enfin, dans le cas de ces orbites à branches infinies, il n'y a pas de temps de révolution. La troisième loi de Kepler subsiste encore, mais sous une autre forme. Nous avons vu que

4Va' C-

de là l'énonct' applicable à tous les cas : les aires décrites par le rayon vecteur dans le même temps, pour tous les mobiles qui se meuvent autour du Soleil, sont en raison des racines carrées des paramètres de leurs orbites.

Autres orbites.

1° Si l'ellipse décrite par un mobile autour du Soleil avait son centre et non son fover au Soleil, la loi d'attraction serait toute différenle. Les symboles adoptrs en Géodésie ( 1. 1, p. 3 27) donneraient

roos^* -f- ON cosX - N,

et, comme ON = Ne^cos)., on aurait

Par suite,

/•cos'}/ \(i - e-cos-X ) -^ -^•

IN

n cos^o —

INTERPRÉTATION MÉCANIQUE DES LOIS DE KEPLER. ll(>

La formule d'Huygens pour les forces centrales deviendrait

a'^ii — e-) Ainsi Tattraclion serait proportionnelle à la distance. Posons

-,—li, d'où C' — [La*{i — e-).

Comme, d'autre part,

il en résulte que

La durée de la révolution serait la même pour toutes les planètes. Si les orbites étaient circulaires et couchées sur le même plan, le mouvement du système se réduirait à une simple rotation

avec une vitesse angulaire égale à y/jji. Les vitesses linéaires seraient

^/jx.r, tandis que dans notre système elles sont i/^ 5 ce qui diffère beaucoup d'une rotation.

L'attraction newtonienne prend cette forme remarquable à rintérieur d'une sphère homogène ('). Si la densilé de cette sphère était celle d'un gaz ou d'une simple nébulosité excessivement rare, des corpuscules très denses qui se mouvraient à l'intérieur décriraient sensiblement des ellipses concentriques à la sphère, avec une même durée de révolution.

2° Si l'orbite était une spirale logarithmique, A, complément de l'angle constant I sous lequel cette courbe est coupée par le rayon vecteur, serait constant lui-même. Or on a, pour toutes les courbes (t. I, p. ii5),

j dr j dr ^ , ., , r^ ds

dS:=:-. — -y dv =: C0t6, dp — — d^ -^ dVy R =z: ->-j

sm^ ^ T7 r T ^

(* ) En effet, pour un point placé à l'inléricur, à la distancer du centre, l'altraction des couches sphériques de rayon > r est nulle ; seule celle de la sphère de

rayon r, proportionnelle à sa masse -~ r* et en raison inverse de r', subsiste. On

voit que cette attraction est/ ^ irr.

lao LIVRE III. — CHAPITRE X.

et comme ici dij = o, on aura

COSiJ'

L'équation Fr^= rr rr devient donc

* n ces' ^

r^cos-i}''

par suite, la force centrale est inversement proportionnelle an cube de la distance. Bien que le mobile décrive une infinité de révolutions autour du centre, le temps au bout duquel il l'atteindra est fini, puisque Taire totale décrite par le rayon vecteur, c'est-à-dire rintégrale, de /• à o, de ^r^rfi^ = ^/v/rcot»} est finie cl égale

à jT^^cot'}. En désignant Fr' par [x, ce temps serait ^ — -

I y jA siny

3° Supposons enfin qu'un mobile parcoure une branche d'hyperbole et que le contre de force soit au foyer extérieur. Dans ce cas ♦} serait obtus, cos»]^ négatif et Ton aurait

ri • ^*

La force centrale serait bien inversement proportionnelle au carré de la distance, mais répulsive. Nous en trouverons une application dans la théorie de la figure (le»s comètes.

INTEGRATION DES EQUATIONS DU MOUVEMENT. Z2l