C- izz c- -f- c'- -t- c

ces i =z — , sin i sin N ::= ^ > sin i ces N := — ^- • 1-* Cl Cl

Les formules de la page 56, t. I. montrent que xy — yjd ou, en rétablissant le rayon pris pour unité, résiné sin 6' sin (A' — A) est le double de la projection du triangle aboutissant aux sommets C, (7. Il en sera de même dea:(>^ — y') — y(^x' — x\ Par conséquent, en passant aux différences infinitésimales, xdy — ydx-.:= cdt est la projection du double de l'aire décrite dans le temps dt par fe rayon vecteur. De même, c' dt et d' dt représentent les projections sur les ïleux autres plans coordonnés du double do cette même aire.

Ces projections étant des constantes, ilen sera de même du double de l'aire elle-même, qu'on peut désigner par C dt. On voit que ce résultat n^pond à la première loi de Kepler.

En désignant par ^la longitude dans l'orbite, nous aurons comme intégrale première la relation

(i) r-dj^—Cdt,

dont nous avons déjà fait usage.

Effectuons les carrés des expressions de c, c', d' en la forme indiquée, et en même temps ajoutons et retranchons

x^dx^^y^'dy'^-z'^dz-

dt' ^

on aura

'kxydxdY -- ixzdxdz -^ lyzdzdy -^ x^dx^ -^y^dy^ -f- z^dz^ ^

î'*4 LITBE III. — CHAPITRE XI.

c'esl-à-dîre

^ dl '

Cette équation devient, avec la valeur de dt tirée de la relation ( pt en mettant -^ -^ h pour \ -.

Irfp) ^ci'^ -ih^-'^^

relation où Ton reconnaît aussitôt Téquation diflerentielle d roniques rapportées à leur fover et à leur grand axe (M

ridentification s'obtient en posant /i = — — et C- =i p\x, L'int ji^rale sera donc, avec la constante nt.

I — f c*OM j — ro

C'est la seconde loi de Kepler.

L'intégrale de r'd^^=Gdi étendue aune révolution entière diirJ'e T comprend le double de Taire de l'ellipse et devient

3ra-\ I — e- -=CT.

IJevons au carré et remplaçons C- par/>uL, on aura

n étant le moven mouvement -'^ exprimé en parties du rayo

C'est la troisième loi de Kepler.

L'équation différenlielle (9.) en r et /, quand on v met pour /t

(* ) On robtient en éliminant v entre l'équation tics coniques ecos i' - — i

sa (Jiiïérentielle « sin v = ^ -;- -

INTEGRATION DES EQUATIONS DU MOUVEMENT. IVI)

O leurs valeurs, prend la forme (nous reproduisons ici le calcul »W la p. 4t>)

-y-T] ~—'iar — r' — ap^=^a'e* — [a — r).

Pour extraire la racine carrée, posons «5j a — /• :=: aef ces // ;

nous aurons

a dr

^r (5) donne

rclr^=^a{i — e ces // ) ae sin u du ;

piii' conséquent Téquation précédente devient

rt i / - 1 1 — e ces u )du=z dt^

*^ ^"Li, en remplaçant i / — par -

^*laiii une constante dont nous verrons la signification tout à

' neui-e. C'est r intégrale que Kepler a ^'de du même angrle auxiliaire //.

obtenue géométriquement à

Lorsqu'on fait ii = o, Téquation (6) se réduit à ^ ::= 0; comme

^ ^^=== a^i — ^cosw) devient alors r = a — ae^ rayon vecteur du pé-

**'"élîe, on voit que 0 est la date du passage de la planète en ce

^^^-^'nt de Torbile. Si d'ailleurs on désigne par ^q la longitude

^^^Venne à l'origine du temps t, par m l'anomalie moyenne, on

Slji-\- nt — m =L //i r= /i (^ ^ — 0), d'où J^^ — m r^ — wO.

'^ïs six constantes arbitraires se ramènent donc aux six éléments de ^'^l^ite adoptés par les astronomes, à savoir

iiy e, lu, ^oj '\ N-

* ^-> ur exprimer, en fonction du temps et de ces constantes arbi- ^**"c?s, les coordonnées du mobile, prenons d'abord pour axe des

od la trace du plan de Torbîte sur le plan primitif des x, y. Nous aurons, par les formules de la page 76,

or' :=rcos(4^— N), y nz rcosi sin(^ — N), z izi rsinisin(4^ — N).

Faisons tourner maintenant d'un angle N les axes des x' et desy autour de l'axe des z^ de manière à leur rendre leur première position; il viendra

X .. r[cos(4;^— N)cosN — sin(^ — NjsinNcosi], y : r[cos(^— N)sinN 4- sin(^— N)cosNcosi], z - r sin(4^ — N)sini,

Les coordonnées polaires r et 41.se calculent par les formules suivantes :

o}nr — [A,

// - esioM =: /i(^ — 0), /• -: a(i — ecosw),

4^::^ t'4-Tii;

elles sont donc fonctions du temps et des constantes a, e^ m, 8. L^s six constantes «, e, m, 0, / et N étant impliquées dans les expressions de x^ y^ Zj celles-ci peuvent être considérées comme le> intégrales des équations différentielles proposées; de fait, en les différentiant deux fois par rapport à t^ on retombera sur ces équations.