PERTURBATIONS DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE

Si les planètes n^avaient que des masses insignifiantes, comme les comètes ou les planéticules qui circulent entre les orbites de Mars et de Jupiter, les équations du Chapitre précédent suffiraient; les mouvements autour du Soleil s'accompliraient dans de véritables ellipses et les éléments de ces ellipses seraient de véritables constantes. Nous avons vu que tel n'est pas le cas de la nature ; les éléments des orbites varient tous progressivement avec le temps sauf les grands axes. Tl y a plus, lorsqu'on a déterminé ces variations comme nous l'avons fait, à l'aide des plus anciennes observations, et qu'on en tient compte dans le calcul des positions d'une planète quelconque sur l'ellipse qu'elle est censée parcourir actuellement, on trouve, entre l'observation et le calcul, de petits écarts, périodiques il est vrai, mais nullement négligeables. Et, comme les masses que nous venons de déterminer pour les planètes pourvues de satellites ne sont pas excessivement faibles, celles de Jupiter et de Saturne surtout, il faut en conclure que les variations susdites des constantes, ainsi que les écarts périodiques entre la théorie elliptique et les observations, sont le résultat des attractions planétaires que nous avons jusqu'ici négligées. Newton, le premier, en a tenu compted'une manière toute géométrique. Il décomposait l'attraction du corps /n' sur le mobile étudié m suivant deux droites, l'unedirigée de /n en S, l'autre mP parallèle à m' S. La première composante s'ajoute à la force centrale qui sollicite ce mobile m, et en altère légèrement la loi sans troubler néanmoins l'uniforme description des aires par le rayon S m; la deuxième ne troublerait pas le mouvement de la planète autour du Soleil si elle était égale à l'attraction de m' sur S. La différence variable de ces attractions est donc la seconde composante de l'action perturbatrice. Cette dernière doit être à son tour estimée suivant certaines directions telles

l'JlS LIVRE III. — CHAPITRE XII.

que la tangente, la normale à la courbe décrite, et la perpendiculaire au plan de Torblte, de manière à permettre d'apprécier isolément les effets de ses composantes. C'est aussi de cette manière que nous chercherons à donner une idée des déviations si considérables que la Lune nous présente par rapport aux lois du mouvement ellipli(jue. Mais cette voie toute synthétique ne peut être suivie bien loin. Les savants géomètres du continent n'ont pas tardé à Tabandonner pour celle de l'Analyse pure; ils ont complété les équation» générales du mouvement par des termes exprimant les attractions planétaires, puis ils ont procédé directement à l'intégration de ce< équations au moyen de développements en série poussés jusqu'aux termes qui cessent d'être appréciables aux observations. Nous devons nous borner ici à poser ces équations et à indiquer quelquesuns des résultats de ces immenses recherches dont l'ensemble constitue la Mécanique céleste.

Équations différentielles du mouvement troublé.

Désignons par ///, /*, x^ r, z la masse^ le rayon vecteur et les coordonnées de la planète étudiée: par m', /•', jc\y^ z' les mêmes données pour la planète perturbatrice; par o' leur distance mutuelle. Mous n'avons à tenir compte que de la différence des accélérations imprimées par m' à S et à m, lorsqu'on les a décomposées suivant les trois axes.

La première est *— ^ et sa composante suivant Taxe des x est ^,, ,' La deuxième est — < - > dont la comj)osante analogue sera

^^^rr ' — >7 On aurait de même les composantes suivant les deux

autres axes. Introduisons les différences de ces forces dans les équations diff»''rentielles du mouNement, en prenant pour unité d^ masse celle du Soleil :

rt\r

f{ I - m \.r fm' [ .r' — ,r\ fm' .r'

lit' "

f{ I — m » > fm'y v' y^ fm' y'

dr-

fr-z

f'i-m\z fm'\z'--z) fm' z'

dt^

PERTURBATIONS D L' HOl'VEaiENT ELLIPTIQUE. ISQ

Les trois couples de termes complémentaires peuvent être exprimés simplement par les dérivées partielles d'une même fonction de ces forces, prises par rapport à a:, ^et z. Celte fonction P, dite fonclion perturbatrice, est évidemment

yW /m' (,r' X -h y y -h z' z) ^ car la dérivée de P par rapport à x, par exemple, est

/m' dV fm'x' 8'* dx r'' '

eu comme

^xy^(y-yy'-^(z'~

on a

dx 8'

La symétrie de la fonction P permet même de Tétendre à Taclion perturbatrice de plusieurs planètes à la fois, m', m", ... en

'•crivant

t>ès lors, les équations diflerentielles prennent la forme

f{\-\.m)x dV

dr '

' dx'

di-

/( 1 4- m ) y dV /•» dy '

dl' ~

f(\-k-ni)z dP /•=» dz

Ces équations, qui ne sont pas intégrables en lernies finis ^^'^me les précédentes, ne répondent plus, en toute rigueur, à ^'*^ orbite elliptique ni même à une courbe fermée; mais, par uno '^^lon à laquelle se prête l'analyse à cause de la pelitcsse des per- ^"^bations, on peut les considérer comme représontanl le inouvr- *^^lld*un corps dans une ellipse légèrement variable de forme el . ^-* position.Pour nous contenter d'un simple à peu près, appliquons ^* les procédés d'intégration dont nous avons fait usage : on

l3o MVRB III. — CIIAPITilE XII.

aura, par exemple, pour les aires

xd^Y— yci^x dV dV

dt' ' dy * dx

de

et, en représenlani ficlivennenl le second membre par -j-> on aurait.

en înl*'*p:rant,

rdy — yd.r -=r. cdt. . .

La combinaison des trois intégrales premières de ce genre donnerait, pour Tune des intégrales définitives,

cz -\- c X -\- c" y — o,

de même forme que celle du mouvement elliptique et représenlani encore un plan, mais un plan incessamment variable avec les quantités r, c'y r", qui ne sont plus ici des constantes. De uiême, on poursuivant cette marche, on obtiendrait pour la trajectoire une ellipse, mais une ellipse variable de forme et de position avec le temps.

L'intégration eflective fournit deux sortes de termes profondément distincts : les uns contenant le temps explicitement à ses diverses puissances, les autres ne le contenant que sous les signes sinus ou cosinus. Les premiers sont les variations séculaires df> éléments; les autres sont des inégalités purement périodiques dont les effets ne s'accumulent pas, et qui repassent par les mêmes valeurs, tantôt positives, tantôt négatives, au bout de périodes plus ou moins courtes.

Un fait capital est que les grands axes ne présentent que des inégalités de seconde espèce, c'est-à-dire périodiques : leur* expressions ne contiennent aucun terme proportionnel au temps. Cesl ce qui explique Tinvariabilité des durées moyennes des révolutions planétaires que nous avons signalée plus haut comme un résultat de plus de 2000 ans d'observation.

Influence d'un milieu résistant.

Si pourtant Tespace céleste était occupé par un milieu résistant (•), sa résistance, proportionnelle au carré de la vitesse.

(•; II faudrait qu'il échappât à la loi géoérale de rallraclion newtonienne, m-

PERTURBATIONS DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE. l3l

serait exprimée par Q ( -î; ) i Q étant une constante relative à la

figure et à la densité du mobile. Sa composante suivant Taxe

1 • r^ f ds\^ dx ^-^da dx , ., ,

des X serait v ( ;/" ) ~7" ^" ^< ;7" tt" ' ^^ 1^ première, par exemple,

de ces équations deviendrait

d^x /(i -+- r}\)x dP ^ ds dx

lî^ ~~ '' 7^ ^ dr~^dt7ri'

L'intégration donnerait alors des termes séculaires pour les grands

axes ; ceux-ci diminueraient progressivement, et les révolutions

iraient en s'accélérant par reflet de la résistance du milieu. Le

terme final de ces variations serait la réunion de toutes les planètes

au Soleil et, par suite, la destruction du système.

La stabilité du système solaire repose sur Tin variabilité des

grands axes ou des révolutions sidérales. Comme celle-ci existe en

fait, il faut en conclure qu'il n'y a pas de milieu résistant, ou que,

si les physiciens ont besoin d'un étlier universel pour expliquer

les phénomènes de la lumière, cet éther est trop rare pour exercer,

même en 2000 ans, une action appréciable sur un système aussi

sensible à l'action des moindres forces que l'est le système solaire.

Les astronomes suppriment donc ce dernier terme quand il s'agit

des mouvements célestes. Il faudrait au contraire le conserver pour

avoir les équations du mouvement de nos projectiles dans l'air,

dP et supprimer les termes -y- y . . . , parce que les actions mutuelles

de ces projectiles ou celles des corps voisins ne sauraient entrer en ligne de compte.

Variations séculaires des éléments.

Nous nous bornerons à réunir ici dans un même Tableau les variations séculaires des éléments des orbites des planètes à partir de 1^50 : elles ont été déduites de la théorie et sont ainsi mieux déterminées qu'elles ne le seraient par les observations.

trement ses diverses parties circuleraient isolément, comme les planètes, autour du Soleil, et ne constitueraient pas un milieu proprement dit : de là la notion d*un éther impondérable.

LIVBE III. — CHAPITBE 3LII.

Qnmé»

CxeMtricilé*.

— 0,00004^4 — 0.0000350 — O.OOOlSlG

— o,oooa4aa —0,0000269 -T-o,ooooo56

4b périkelie.

ém

larliMliM

Mercure. o

Vénus o

La Terre .... o

.Mars o

Jupiter o

Saturne o

Iranus o

Neptune o

Pour éviter toute méprise, il faut aller un peu plus avant dans cetle question. On est fondé à représenter l'excentricité de Jupiter, par exemple, par o,o483835 — o,oooi3i6 (t), t représentant des siècles, mais c'est à la condition de ne pas pousser trop loin l'emploi de celle formule dans le passé et dans l'avenir. Elle ne s'appliquerait plus en dehors de la période historique. S'il s'agissait des périodes géologiques, où l'on compte par m illions d'années, ces formules assigneraient aux excentricilés des variations telles que les orbites des planètes s'enchevêlreraient les unes dans les aulres. (le serait un inconvénient analogue à celui dont les Anciens se préoccupaient tant lorsqu'ils choisissaient, pour l'éviter, certaines combinaisons dVpicvclesel de déférenlsqui nous paraissent aujoa^ dliui singulières. La stabilité du svstème solaire serait compromise. Mais, lorsqu'on envisage de telles durées, où l'histoire de notre globe nous montre si clairement que les conditions astronomiques de la vie (excenlricilés cl inclinaisons des orbites) étaient à |>eu près les mêmes qu'aujourd'hui, il faut pousser beaucoup plus loin les développements de l'Analvse. Lagrange a montré que c<-s varialions séculaires de l'excenlricilé et de l'inclinaison ne sont pas indéliniment progressives; elles onl un caractère oscillaloin* v.l restent enfermées, dans la suite des millions d'années, entre des limites assez étroites. Laplace a fait voir que les sommes suivanl«*5

m \ ae- -h ni \ a i

m\ a laiii;*/ -T- m'\ fï'tanîr-r-^ m' \ «'lanç-T —

resteront toujours constantes tant que le svstème solaire ne sera soumis qu'aux forces intérieures qui résultent des attractions mutuelles des corps qui le composent. Or ces sommes sont actuelle-

PEETVRBATIONS DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE. l33

menl très petites : elles Tont donc été et le resteront toujours. Cela lient aux conditions que nous avons signalées dans l'Introduction du I*"^ Volume : i° Tisolcment du système solaire au sein de l'univers; a° les orbites des planètes sont à peu près circulaires, très peu inclinées l'une sur l'autre, très éloignées les unes des autres et, circonstance essentielle, 3" les mouvements s'y opèrent dans le même sens. Nous pouvons même préciser davantage et assigner les limites entre lesquelles l'excentricité de l'orbite terrestre restera toujours comprise, ainsi que les limites analogues de l'obliquité de Técliptique. Ces nombres-là ne doivent pas être perdus de vue par les géologues qui cherchent, dans les conditions astronomiques de notre globe, Pexplication des phases géologiques qu'il a traversées (Chap. XXVII).

Inégalités périodiques.

La théorie permet d'en calculer les moindres termes. Pour en donner une idée, nous consignons ici les principales inégalités de la Terre, dues à l'action de la Lune, de Vénus et de Jupiter. Lorsqu'il s'agit d'obtenir la position de la Terre pour une date donnée, on calcule à l'aide des Tables les coordonnées elliptiques ^ et r pour cette date, en tenant compte, bien entendu, des variations séculaires qui affectent les éléments. Puis on forme les arguments suivants : longitude de la Lune — longitude du Soleil; longitude moyenne de la Terre — longitude moyenne de Vénus, c'est-à-dire 4j)4-/i'^ — -G — n" t\ longitude moyenne d*^ la Terre — longitude moyenne de Jupiter, etc. ; on prend ensuite dans les Tables la valeur correspondante des termes suivants :

Ëquat. lun... -4-6',5s

Inégalités pro- \ —5,7 s

duites parvenus, i — 0,7 s

Inégalités pro- i «fuites par Jupi- '| ter

1^4 LIVBE III. — CHAPITBE SU.

et on en ajoute la somme à la longitude elliptique. De même, au rayon vecteur elliptique R, on ajoute les termes suivants :

0,0<XX>2G3 C05 2 ( ^0 -r- /!/ — J^ — w'/ M I — [Xi

-T- u ,CK ooi 6i cos { ^'; -T- n*^t — '^i — n't ) il — jx" ) — . . . ,

formules dans lesquelles [x" et rx' désignent de |>etites corrections dont les niasses adoptées pour Vénus et Jupiter pourraient avoir besoin.

Ces mêmes termes nous montrent comment on parvient à déterminer les masses des planètes Mercure et Vénus, qui n'ont pas de satellites. L'argument de la première inégalité due à Vénus indiqu»* que la période de celte inégalité est la révolution synodique de Vénus, c'est-à-dire de 584 j*>urs; il suffit donc de déterminer la position de la Terre (ou du Soleil) pendant cette période pour sui\re complètement la marche de celte inégalité, qui passera, à 291 jours d'intervalle, de — b^yO à -f- j',o. Si les observations montrent que ce coefficient 5" doit être un peu augmenté ou diminué, on en conclura la valeur de la petite correction p-'qui devra être appliquée à la masse supposée de Vénus. Mais c'est surtout dans les inégalités séculaires de l'obliquité de l'écliptique, du périhélie, etc., de l'orbite terrestre que se révèle le mieux l'influence d'une erreur sur la masse de Vénus, et c'est par elles qu'on en détermine le plus exactement la valeur, parce qu'ici les effets de celle pelite force ^rallraction de Vénus sur la Terre) vont en s'accumulant de siècle en siècle.

Quant à l'inégalité lunaire, dont la période est d'un moi$, nous la déterminerons plus loin. C'est la seule qui puisse être traitée à part dans cet Ouvrage; elle nous fera connaître la niasse de l'astre perturbateur, la Lune.

CARACTÈRES DE l'aTTRACTIOX NE WTON I ENN E. i35