METHODE DE LAPLACE

I^es coordonnées géocentrîques de Taslre nouveau étant, à la ^ï*to f, L| et ^1, si nous désignons par /•, sa distance inconnue à '^ lierre, les coordonnées héliocentriques auront pour expression

:r = ; -H /'i sin pj ces L, , ii=T, -h /'isinpisinLi, z=z /-iCOsPi,

*ian s lesquelles les coordonnées héliocentriques de la Terre, Ç et tj, ^ ^kliennent par

^ ^ . { $ = K ces Ô ,

( T, =z R sin Ô .

I^our simplifier un peu, remplaçons Ti sin^i par p, projection de ''« s\ir l'écliplique. C'est ce que les astronomes nomment dis iance

ia:=i ; -h p cosL,, v^T, -hpsinL,, ^ zz: pCOtp,.

en déduit r, rayon vecteur de Tastre,

^ ^ > r« = a*-+-r'-h3*=R«-h2Rpcos(L,— ô)-4- ^^^î^.

^*^ posé, en difTérentiant une première fois les équations (a) par t^port au temps, on fait apparaître-^» 777' 7^' c'est-à-dire les ^^^posantes de la vitesse suivant les trois axes. Seulement ces

l64 LIVRE IV. — CHAPITRE XV.

dp ^ équations contiendront p et sa dérivée -—• En différenlîanl une

seconde fois, on aura trois équations dans lesquelles on remplaceni les dérivées secondes de jr, j', z, ; et r, par leurs valeurs tirées <les équations générales du mouvement (*) :

dt^ /•'» '

dt^ \v'

d^ V y dl' /•»'

dl* z

do d^ o <^es trois équations finales feront connaître p, "zn^ ~~f7i' ^' ^"^

facile dès lors, eu remontant aux équations (2) et à leurs dérivées, de calculer les coordonnées x^ )', z et leurs vitesses, ce qui conduit à la solution du prohième.

Mais ces différenlialions feront apparaître les dérivées premières et deuxièmes des coordonnées observées L| et ^i. 11 faul donc, avant tout, obtenir ces quantités ù Taide des observations éocentriques. Voici les trois phases de cette méthode : i** calcul

les (lenvees - . > , ^ ? —7-» — rV » a l aide des observations: a" for-

dl dl' de dl*

tr

(') Pour éviter rintrnduction, dans res raiciils, <le lactnirs aussi petits qor u <!t {x*, on rciiiplare ;x par l'unitr, rc (pii cnlraini* un rhanpMiieiit d'unité p«>ar k temps. C'est re (|ui arriverait si, dans les < aïeuls de .Mérani<|ue terrestre, on avait besoin de reniplaeer g par 1, tout en ronser\ant le mètre pour unité de longaear. M faudrait prendre, pour exprimer le temps /, non plus la seconde, mais une aatr.* unité 6 telle que

ee qui entraîne 0 - — -• lei, |x est une aeeéïêration toute pareille à g\ il faudra <lon<* poM'r

ou, ce qui revient au même, multiplier les iiiler\alles de temps exprimés en jo«n et en fractions de jour par le facteur \ jj.. dont le loj^aritlime est 8,a3ô38i3 —10. Nous emploierons la notation t à la pla<e de / |M)ur indiquer que la durée f, ca ji»urs, a été exprimée avec la nouvelle unilc, ou multipliée par \ jï.

MÉTHODB GéNÉRALB DB LAPLACE. l55

mation et résolution de l'équation en p; 3" calcul de x^ y\i z,

TiT » rii» -t:' d'où Ton déduit les éléments de l'orbite. dt dt dt

Calculs préparatoires.

Les données de l'observation sont

Coordonnées Coordonnéet

Dates. équttorltles. éclipUqaes.

/' 1^ V\ /Lp"^

^ [ On eo conclut ', ,^

Prenonsunedateintermédiaire^etdésignonsparLi, ^4; -^> -~y •••

les coordonnées correspondantes et leurs dérivées, par t — x', t — t*^ les intervalles / — ^, / — f multipliés par ^[jl, on aura

L'-i ^,. .,/L. (T-T')'rf'L. (.-T')»rf»L.

L, L, -f-(.-0-^-l- ^ W'^^Tf ~dti"*'-'

On écrira autant d'équations linéaires de ce genre qu'on a de longitudes observées, et l'on en déduira, par la méthode la plus commode,

L,, -7**) -~ • Parles dislances polaires observées p',, p% p^', . . .

on obtiendra ^j, -4^> -;y^' pour la même date t.

Si l'on n'employait que trois observations, on aurait tout avantage à partir de l'observation intermédiaire, et, en désignant les dates transformées par t, t', t", on aurait

A. (x'-t')«(L'.-L.)+(V-t)'(L-,-L'.) I rf'L,

rff — (T* — t')(t'' — X)(-w' — T) 6' '^ ' dt^

D*où Ton voit qu'en se bornant au premier terme, le seul qu'on II. 10*

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METHODE GENEBALE DE LAPLACB. 167

deuxième par cot^i sInLf, la troisième par — i ; mais nous remarquerons d*abord qu'en opérant de même sur les équations (i) et (2) on a

j?cotpi cosL, -+-^cotPisinLi — z :=:5cotPt cosLi-i-TicotPi sinLi

= — R cot pi cos(Li -— Ô ).

La somme susdite devient alors

( -Rcot?,cos(L,-Ô)(^-j{^) (9) I

\ sm'Pi ^ ^' ^ ni sin'p, *^' sifi'p, *^

Il est aisé d'éliminer dp entre les équations linéaires (8) et (9). On a ainsi

(•0) P^'"(^-Rî)'

en désignant par m le coeflicient suivant, qui ne contient que des quantités connues,

^ P sinPi cosPj cos(L| — Ô )dLi -+- sin(L| — Ô )d^i

^~ ~^Lie/«p, — û^pjt^L,— a^L^^pîcotpi — sinpiCospi^Lî'

Il faut joindre à (10) la valeur de r, donnée par Téquation (3). L'élimination de r entre ces deux relations conduirait à une équation en p du huitième degré,

m«=:[R» + .Rpco3(L.-ô)+.|L-J(p+^y,

s'abaissant au septième, parce que le terme tout connu est nul ; mais

il est plus simple d'opérer sur les deux équations (10) et (3) par

approximations successives, à l'aide d'une première valeur de p

obtenue graphiquement ou par une première hypothèse.

Dès que p sera déterminé avec une exactitude suffisante, une des

dû^ dy dz équations (6) donnera rfp, les équations (4) donneront ^' ;j^ ' ^>

et les équations (a) feront connaître les coordonnées héliocentriques x^y^ z.

l58 LiVfcE IV. — CHAPITRE XV.

Calcul des éléments de Torbite.

OnauraV*par(^)v(^y+(§y;p«îsaparV« ^^^-^ -

S'il s'agît d'une petite planète, on estceruin d'avance que a serass— a compris entre 2 et 4. S'il s'agit d'une comète, très probablemen» .^t

on trouvera - très petit, d'un ordre de grandeur imputable au:

erreurs d'obsen^ation, et l'on en conclura provisoirement que l orbite est parabolique.

Supposons qu'il s'agisse d'une orbite elliptique. On calculera le

aires

puis on aura C par

dy dx

dz dy

dx dz

"" -" dt "" dt'

dn c* 4- C'« -h C'S

et, comme C^ = a (i — e*), cette relation donnera e.

L'équation de l'ellipse, dans laquelle r, a, e sont déjà connus^ donnera v ou ^ — ra pour la date /.

D'autre part, a'/i^ = [x(*); on en lire la durée de la révolution

T — — . Quant aux éléments /et N, on les obtient par

c- Ccosi, c' =: C sini sinN, c'' ^^ — CsînicosN.

Il reste à trouver w, car nous n'avons encore que l'anomali vraie j(^ — nj. Il est facile de voir que la longitude héliocenlrique

est donnée par tangL ~^ -> et la longitude 4^dans Torbite par

laiig(L - N) r cos/laiig(^- N); nous aurons donc m par i» — i\

('; Kii réUblis>;«iil iri ;j., nous reproiidnius |M»ur uuilc de temps le jt>ur.

MÉTHODE UKNÉUALK DK LAPLACK. I ->9

Enfin H s'obtiendra par

r -rzL a(i — e cos // ) , ^* où // qui figure dans

// — e siiw/ :zz fl(l — 0)(').

^^ pat* suite Ô, date* du passage au périhélie. Pour une planète, les •^'^es sont décrites d^in mouvement direct, et

(/.r ^ (It

^sl jzïositif. Dans le cas d'une comète, il y a autant de chances poi« ï- que Taire c soit négative; on sera averti, dans ce cas, que le mo«a.A'ement est rétrograde. S'il en est ainsi, il faudra ajouter 180" à la longitude précédente du nœud pour avoir celle du nœud ascendant.

^ > Ici / et 6 sonl exprimes en jours coiiiiiie d'ordinaire.

l6o LIVRE IV. — CUAPITRE XV|.