MÉTHODE D'OLBERS

Géométriquement, le problème général revient à ceci : Étant donnéeslesdroites indéfinies Te, T'c',T"c"(/?^. 33) dans la direction desquelles la comète a été vue aux dates ^, t ^ f ^ quand la Terre se trouvait en T, T', T", couper ces trois droites par un plan passant par le Soleil, en des points C, C, C" tels, que les secteurs de la courbe du second degré passant par ces trois points, avec un foyer

Fig. 33.

au Soleil, aient pour surfaces des aires égales à celles qu'on calculerait avec les éléments de cette courbe et les intervalles t! — /, f — ^. La solution algébrique de ce problème, même en le restreignant au cas simple d'une parabole, conduirait à une équation d'un degré très élevé ; le seul moyen de l'éviter est de procéder par tâtonnements.

Équations relatives au plan de l'orbite.

La méthode s^applique à trois observations séparées par un petit nombre de jours. Désignons par C, C, C" les positions de la comète aux dates t^ l\ t"; par or^^, z^ ^S JK'> ^S ^"j y" 't s" les coordonnées

l66 LIVRE IV. — CHAPITRE XVII.

héliocentriques correspondantes. Si i et N sont rinclinaison de Torbite et la longitude héliocentrique de son nœud ascendant, les coordonnées des trois points devront satisfaire à Téquation du plan de cette orbite, plan qui passe par l'origine des coordonnées, le Soleil; de là les relations

z -h tangisinNo? — tangicosN/ =o, z' -h tangisinNj:' — tangtcosNy :=o, z" -\- tang/sinNa?" — tangtcosNj^zz: o.

On peut éliminer i et N de trois manières différentes entre les trois équations ; on obtient ainsi d'abord

{x' y ^ y x')z ■^{xy'' - yx")z' -v-{œy -- yx')z'' z=zo.

Or x'y — yaf est le double de la projection du triangle SC'Cf sur le plan des xy,, xf'y — yx'^ est le double de la projection du. triangle SCC" sur le même plan ; de même xy — ya^ est le doabW de la projection de SCC. On aura djonc, en représentant par ^ a', a? les aires de ces triangles,

dx — a' a:' 4- a" j?" = o,

OLZ — aJz' -h cl' z" = o.

En désignant par p, p', p" les projections sur l'écliptique des d tances TC, T'C, T'CJ' de la comète à la Terre, nous avons vu q

/ z =pcotpi, {ibis) I a:ri= pcosL, -H RcosÔ ,

( j z= p sin Lj -h R sin Ô .

Portons ces expressions et leurs analogues pour les six autr^ coordonnées dans les équations (i), il viendra

-îpcol?,— -;p'col?;-f-p'coi?';= o,

( 2 ) { -î p cosLi ip'cosL', -f-p'cosL'; = j Rcos ô -^- -^ R'cos t '— R'cos i

-i p sinLi ; p'sinL'i -4-p'sin L'j = — -, Rsin t *- -. R'sin A ' — R'sin t ^

MÉTHODE d'OLBERS. 167

Sabstitation du rapport des temps à celui des aires

triangulaires.

Les aires triangulaires a, a', a" sont inconnues, mais leurs rapports sont à peu près égaux à ceux des secteurs paraboliques correspondants, ou à ceux des temps i' — /', f — t^t! — t employés par le rayon vecteur à parcourir ces derniers. Examinons d^abord jusqu'à quel point il nous sera permis de substituer les seconds '■apports aux premiers. La série de Taylor permet d'écrire

Eliminons la première dérivée et remplaçons -^ par — ^ ,

^ t — t'^t'^t'' ■ 1.2 7'»"^ 1.2.3 dt^ ""

On aurait deux équations pareilles pour les coordonnées x eij\ ^i les intervalles f — t' cl t' — t sont égaux, le dernier terme dis- P^i*aît; en négligeantles termes suivants, qui sont du troisième ordre ^^ petitesse par rapport aux intervalles considérés, les deux équa- ^*c>iis analogues en a: et enj^ seront

Éliminons entre les deuxdernières le facteur ;r)il vient

xy' — vx' x' y" — y' x" Vibien

lG8 LIVRE IV. — CHAPITRE XVII.

Quand les intervalles sont égaux, cette relation est exacte jusqu'aux termes du second ordre inclusivement. Elle a encore à peu près le même degré d'exactitudes! les intervalles sont très pea diflerents. Nous supposerons qu'on aura choisi des observations satisfaisant à la condition que /" — t' diffère peu de /' — t. Dès lors

on sera endroit de remplacer, dans les équations (a), — par -7

Il n'en est plus de même de l'autre rapport — ; il n'est assimi-

lable à qu'aux quantités du premier ordre près, et, comme

nous le verrions figurer dans cette anal^'se avec un diviseur fort petit (ainsi du reste que le premier rapport), l'erreur passerait du premier ordre de petitesse à un ordre supérieur, c'est-à-dire à l'ordre des quantités mesurées, et les résultats du calcul en pour-

raient être profondément viciés. Nous devrons donc considérer -5

comme une inconnue à éliminer entre les équations (a). Multi — plions la deuxième par sin Ô' et retranchons-en la troisième mult» pliée par cosô ' :

-^psin(L,- ô')--,p'sin(L;- Ô')

-}-p''sin(L; - Ô')^- ^RsinÔ - ô' -^R'sinCÔ'— ô')

En 1.1 combinant avec la première des équations (2), -^ 0' dis paraîl :

i ^ p[col3, sin(I., — 6')— cot?isin(L, - Ô')] (1) ' :-o"[col?;sin(l/, - Ô')-cot?;siii(L;- Ô')]

-^^UsiiUÔ - Ô')-irsin(Ô"- Ô')]cot?;.

Formules finales et tâtonnements.

Si l'on introduit le fadeur IV dans le deuxième membre, les produits IUVsin( ô — ô'),irR'sin(ô"— ô') seront les doubles aires triangulaires STT, S'PT n^lalives à la Terre, aires dont le rapport est sensiblement égal à celui des temps, avec plus d'exactitude