II. II

Février i ii3.24 — 3. 40 54.19

Jn coup d'oeil sufGt pour voir que l'inclinaison est voisine de

Elle ne varie, dans le courant de l'année, que de 4°59' à 5® 18';

valeur moyenne est de 5**8'47''» Q^^^^t ^" nœud ascendant, on

trouvera la longitude par une simple interpolation entre le

et le 16 janvier. On aura celle du nœud descendant en opérant

même entre le i*^' et le 2, ou entre le 28 et le 29. Si l'on ajoute à

dernières 180®, on obtiendra deux nouvelles déterminations

N = 248<»5o' 1" janvier

^n calculant N à diverses époqujs par la formule précédente, on ra que le nœud est tantôt direct, tantôt rétrograde, mais qu'en

3oa LIVRE VI. — CHAPITRE XXXI.

somme, au bout de chaque mois, le mouvement rétrograde remporl*» toujours. Il est facile d^en déterminer la vitesse moyenne en comparant des valeurs de N à des dates très éloignées. On trouve ainsi

Moven mouvement diurne du Qz=z — S'io'.ôS.

Longitude moyenne du nœud à la date t.

No — i90%63^

No étant la longitude moyenne à Tépoque ^ = o. La durée de la révolution rétrograde du nœud est de i8*"%6.

Il est utile d'évaluer par rapport à ce point la révolution de Ij

Lune. Son moyen mouvement -=- est égal à

i3<»io'34%9,

d*oii la vitesse relative au nœud

La révolution synodique cherchée ou révolution draconitiquc est donc de 27^ , 2 1 229. Ce nom singulier vient de ce que le signe du nœud ascendant, que nous avons remplacé sur nos figures par unÛ, était et est encore pour les astronomes le symbole d'un dragon tortueux Q^, C'est le dragon céleste qui, d'après de bien vieilles traditions, guette la Lune à son passage dans l'écliptique et produit le^ éclipses.

L'orbite de la Lune, ou du moins sa perspective sur la voûte céleste, forme une suite de spires enchevêtrées qui occupent un espace do 5" au nord et de 5° au sud de l'écliptique, ce qui donne au zodiaque (zone parcourue par les planètes, suivant les anciens) une largeur de 10** (*). Les conséquences de ce mouvement du plan de l'orbite lunaire, dont l'inclinaison reste à peu près constante pendant que sa trace fait le lour du ciel en 18 ans, sont des plus remarquables.

(*) Les forlcs latitudes gcoccniriques de Vénus ont même obligé les aociei'^ donner au zodiaque une largeur de 17 à 18*.

ÉLÉMENTS DE l'oRBITE LUNAIRE. 3o3

Action perturbatrice du Soleil.

La figure L représente Torbite lunaire ÛDLD', . . et sa projection sur le plan de récHplique. La et T rf sont, en grandeur et en direction, les attractions du Soleil S sur la Lune et la Terre. Décomposons la force La suivant la droite LT, et suivant hb parallèle à TS. La composante Le s'ajoute à la force centrale qui sollicite la Lune

Fi p. 58.

ti

dans son orbite; elle n'a aucune action sur la position de ce plan. L'autre composante La ne troublerait pas les mouvements de L par rapport à T, si L 6 et Trf étaient égales. La force perturbatrice qui tend à faire sortir la Lune du plan de son orbite actuelle et, par suite, à déplacer ce plan est donc Le — Trf. Dans une partie de l'orbite la force perturbatrice est dirigée dans le sens ÏS ; dans l'autre, elle est de sens opposé, parce que la différence L/> — IW devient négative. Il y a deux points morts D et D', j/oints où la Lune, en quadrature, est aussi éloignée du Soleil que la Terre. Cette force varie évidemment comme le sinus de Tangle LTD.

Déplacement imprimé à la ligne des nœuds.

Considérons une région voisine du nœud et projetons l'orb.to» lunaire et l'écliptique sur un plan perpendiculaire à leur intersection {Jig- 59). La Lune y est figurée à trois instants différents en L, L', \J' . Soit D l'un des points morts, et admettons que le Soleil 5e trouve à droite. A.u-dessus de D, la force perturbatrice sera dirigée vers la droite; au-dessous de D, elle sera dirigée vers la gauche. En L', la résultante de la vitesse propre de la Lune et de celle qui lui est imprimée par cette force sera dirigée suivant L'û'. L't)' sera donc tan-

3o( LIVRE VI. — CHAPITRE XXXI.

gente à Torbitc instantanée décrite alors par la Lune, et TQ! sera la trace de ce plan sur Fécliptique, c'est-à-dire la nouvelle ligue des nœuds. On voit que celle-ci aura rétrogradé de TÛen Tff. Il

Fig. 59.

....-jz^^-"^^^

en sera de même en \J"^ lorsque la Lune aura franchi l'arc ûD. Mais entre (let D en L'^ ou bien, dans la région opposée, entre Û et D', la même construction donne un mouvement direct pour la ligne des nœuds. Il est facile de voir que la vitesse du nœud, alternativement direct et rétrograde, produira, au bout d'une révolution, un déplacement rétrograde dont nous avons évalué plus haut la vitesse moyenne, c'est-à-dire la partie constante. Newton a fait voir que la partie périodique était proportionnelle au produit des sinus des trois distances angulaires de la Lune au point D, de la Lune au nœud, et du point D au Soleil. En intégrant à sa manière l'expression algébrique de la vitesse, il a trouvé, pour la longitude du

nœud,

iN = No-i-v/-l-Ksln2[(N)— ©],

No étant la longitude moyenne du nœud à l'époque / = o, v !?on moyen mouvemcnl diurne, (N) sa longitude moyenne à l'époque/, c'est-à-dire Nq 4- v^. Ces coefficients v et K ont pour valeurs, en

fonction du rapport =^= x(*),

yt 3. vî J ? -vS t S^ 6 ^J i

Ce sont les premiers termes de séries rapidement convergentes.

o— 3'ii Il est facile de calculer ces coefficients en faisant x = "l' .-2

(*) T cl T', rcvolulions sidérales de la Lune cl de la Terre.

ÉLÉMENTS DE L'oRBITE LUNAIRE. 3o5

(environ ■—). On les réduira en secondes en les multipliant par ao6a65'^, et on aura

N = No--(3'i2'')/ + (i025'35'')sin2[(N)— O],

formule qui représente parfaitement les observations, bien qu^elle ne leur emprunte rien que la valeur de la constante Nq introduite par rintégration.

Inclinaison de rorbite lunaire.

L'inclinaison de Torbite varie également, mais non d'une manière progressive. Il y a ici une compensation qui revient à chaque révolution. La figure précédente fait voir, en effet, que si Tinclinaison en U tend à augmenter d'un petit angle correspondant àÛL'Û', l'effet contraire se produit dès que la Lune a franchi le point D, car en L" l'inclinaison diminue d'un petit angle correspondant à ÛL'"Û'''. Ces deux effets contraires se produisent et se compensent à chaque révolution. Ainsi l'inclinaison i oscille simplement et fort peu autour d'une valeur constante ({).

Newton a trouvé

tange = tang(i) + |îctang(f)cos2[(N) — O],

ce qui s'accordait bien avec les observations de Tycho-Brahé. Ce célèbre astronome, à qui l'on doit la découverte de ces inégalités périodiques du nœud et de l'inclinaison, en donnait môme une figuration géométrique saisissante. L'argument a [(N) — 0]a pour période la moitié de la révolution synodique du nœud dont voici le calcul :

Vitesse moyenne du Q "^ ^9- ^'» '9

Vitesse moyenne du nœud — 3.io,63

Vitesse relative i" 2.18,82

d'où révolution synodique du nœud = 346^,6195, dont la moitié est de 173 jours. La rétrogradation moyenne du nœud étant représentée par un mouvement conique uniforme de l'axe du plan de II. 20

3o6 LIVRE VI. — CHAPITRE XXXI.

l'orbite lunaire autour de l'axe de récliptique, sous un angle constant ( i), imaginez que le premier axe soit une ligne fictive autourde laquelle Taxe du plan actuel tourne coniquement en i ^3 jours, sous un angle de |xtang(«) ou de 9' : la combinaison de ces dcoi rotations coniques représentera, à tout instant, la direction réelle de Taxe du plan de Torbitc lunaire, et par suite les variations do nœud et de Tinclinaison.

La théorie mécanique de ces mouvements et celle d*une inégalité lunaire dont on parlera plus loin ont été données parNewtoD, et Ton a vu qu'il a déduit de la première, par une analogie plausible, la théorie de la précession et des termes à courte période de la nutation. Cet ensemble de recherches, d'un genre aussi profond que nouveau, a jeté une vive lumière sur de grands problèmes dont on n'avait môme pas entrevu la connexitc depuis 2000 ans. Si ces résultats frappants de la doctrine de l'attraction n'ont pas été appréciés par les contemporains de Newton, c'est que l'analyse entièrement nouvelle qu'il y a appliquée était masquée par les procédés d'exposition synthétique auxquels il se croyait tenu de s'astreindre, par respect pour les grands géomètres de Tantiquité.

Hypothèse géologique de la chaleur centrale.

Cependant son explication de la précession n'est pas de naluir à donner une idée complètement juste du phénomène. Aprc5 avoir isolé par la pensée la protubérance équatoriale, \e\*ton montre que la rétrogradation de ses nœuds s'opérerait de la même manière, que les matériaux fussent discontinus, comme une série d<* satellites, ou à l'état fluide, ou même formant un tout solidifié el résistant. Dès lors cet anneau, relié à la sphère interne, doit agir sur elle langenliellcment et communiquer à sa masse énorme b quantité de mouvement dont Taniment les faibles actions |)ertttrbatrices de la Lune et du Soleil. En suivant cet ordre d'idée>. quelques géomètres se sont dit que cette communication de mouvements, de la masse rigide de l'anneau à celle de la sphère intérieure, nese ferait pas sans frottements ou déformations, si celle-ci était à l'état de fluidité incandescente ; que, dans cette hypothèse, la précession observée devrait difl'érer de la précession calculée. Or,

ÉLÉMENTS DE l'oRBITE LUNAIRE. 3o7

3inme il y a accord entre la théorie et l'observation, il faut en inclure, suivant eux, que la masse intérieure possède une rigidité Dmplète, que le refroidissement s'y est opéré depuis longtemps et, nalement, que l'hypothèse des géologues sur la chaleur centrale si fausse.

Mais il y a là une erreur de fait. La Terre n'est pas homogène, omme le supposait Newton. Elle se compose de couches de ensités croissant vers l'intérieur, et ces couches ont chacune leur platissement particulier. L'action du Soleil et de la Lune ne exerce donc pas sur une masse rigide extérieure au noyau sphéique, mais sur chacune des couches dont la Terre se compose. •es matériaux à entraîner ne se distinguent pas de ceux qui sont lUs; ils n'en sont pas séparés par un bras de levier considérable; lais, à cause de leur mélange et de l'énorme compression qu'ils iibissent, les choses se passent comme si l'action perturbatrice 'exerçait sur la masse entière, affaiblie seulement dans un cerlin rapport.

Variation du périgée et de rexcentricité.

Nous avons maintenant tout ce qu'il faut pour passer, des cooronnées écliptiques, aux coordonnées dans l'orbite par la formule

lang(L— N)=i:cositang(-^— N),

u au moyen de la série connue qui la remplace. En comparant es longitudes à leur expression théorique (pour le mouvement lliptique)

4^= ^ + 71/ -h Al sin (^0 + 'î^ — w) -+- . . . ,

n déterminerait les trois éléments 4;^o> ^j w« Mais, dès les premiers as, on rencontre un phénomène bien remarquable. La direction u grand axe, donnée par la longitude u du périgée, change connuellement d'un jour à l'autre, comme le nœud, mais plus vite Dcorequelenœud. Le tableau de la page 3oo montre, sans calcul,

ue l'apogée, correspondant au minimum de -> tombe le 7 janvier

►ar 146** de longitude. On le retrouve le 4 février par i49°> tandis [ue le périgée, qui devrait être à 180° de là, tombe le ao janvier

par 3i2°. Pour alténuer reflet de ces inégalités considérables, on comparera des observations très distantes et on constatera qoe le périgée fait le tour du ciel, en sens direct, dans une période de Dcof ans, et que son moyen mouvement diurne est de -i- 6'4<>"',92.Cc$l un eflet de la force perturbatrice du Soleil estimée, dans le plu même ({e Torbite, suivant la tangente à Torbite et le rayon vecleor. On se rend compte facilement de l' eflet de la composante tangeotielle(/î^. 60). Soient T la Terre à l'un des foyers de Tellipsc

Fig. 60.

lunaire, F' le second foyer, PTA la direction du grand axe. Lia Lune, L5 la force perturbatrice appliquée en L parallèlement à TS, r et r^ les rayons vecteurs. Si l'on désigne par aa le grand axe, on aura r -f- /•'= 2 a. La composante tangenlielle L^ augmente ici la vitesse V de l'aslre; elle ne modifie ni r, ni la force centrale ;i. et, comme on a toujours

en dlfl'érenliant, on aura i\ d\ = ^da; ainsi a et, par suite, r

augmentent en même temps que V. Si r' = LF' augmente, le second foyer F' ira se placer en/'; par conséquent, le grand axe se déplacera, dans le sens direct, de l'angle ATa, et rexcentricilé augmentera. Des eflets analogues se produiront sur la partie DAD' àt Torbile; ils seront inverses sur l'autre partie.

La composante radiale a un rôle non moins efficace, mais plus compliqué. La question ne saurait être traitée complètement qur parTanalyse. On trouve alors que le mouvement du périgée présente une inégalité de la forme asina[(Tn) — Q] et qu'à ces fluctua-

ÉLÉMENTS DE l'oRBITE LUNAIRE. Sog

lions répond une variation dans rexcentrîcîté qui s'exprime par aecos2[(m) — ©].

Ainsi on peut appliquer à l'étude des mouvements de la Lune les formules du mouvement elliptique, à la condition de prendre pour T7, à la date t,

Wo-h 6' 40", 92^ — asin2[(Tïy) — Q]»

et pour excentricité

e-+- aecos2[(Tïj) — Q],

C'est ainsi que Newton a présenté les choses, mais, lorsqu'il a voulu calculer théoriquement la principale constante de la première inégalité, ou, ce qui revient au même, le mouvement du périgée pendant une révolution de la Lune, il a trouvé i°3o' ^ lieu de 3°3' (6' par jour) que donnent les observations. Longtemps après lui les géomètres les plus éminents, Euler, Clairautetd'Alemberl, essayèrent en vain de résoudre ce point faible de la théorie de Tattraction. Clairant en vint même, en désespoir de cause, à proposer à TAcadémie de modifier la loi de l'attraction et d'y ajouter un petit terme proportionnel à l'inverse de la quatrième puissance de la distance. Buffon protesta hautement contre cette complication, qu'il jugeait incompatible avec la simplicité des lois primordiales de la nature. Clairaut vit enfin que l'erreur de Newton provenait de ce que le coefficient a se compose d'une série peu convergente de termes qui ne peuvent être obtenus que par des intégrations successives. Newton s'était arrêté au premier, qui ne représenle guère que la moitié de la valeur définitive. Clairaut rétablit l'accord entre la théorie et l'observation, et fit ainsi disparaître l'objection la plus grave qu'on pût faire à la nouvelle théorie.

Le mouvement moyen diurne du périgée étant de -|- 6'4o'»92 parjour, on en conclut la révolution de laLune par rapport à ce point

mobile :

Révolution anomalistique = 27J,554Goo.

3lO LIVRE VI. — CHAPITRE XXXI.